2025届上海市北中学数学高二上期末质量检测模拟试题含解析

2025届上海市北中学数学高二上期末质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.(－∞，0) B.C.(0,1) D.(0，＋∞)2．一物体做直线运动，其位移(单位:)与时间(单位:)的关系是，则该物体在时的瞬时速度是A. B.C. D.3．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.给出下列三个结论：①正方体在每个顶点的曲率均为；②任意四棱锥总曲率均为；③若某类多面体的顶点数，棱数，面数满足，则该类多面体的总曲率是常数.其中，所有正确结论的序号是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③4．命题“，”的否定是A， B.，C.， D.，5．某校高二年级统计了参加课外兴趣小组的学生人数，每人只参加一类，数据如下表：学科类别文学新闻经济政治人数400300100200若从参加课外兴趣小组的学生中采用分层抽样的方法抽取50名参加学习需求的问卷调查，则从文学、新闻、经济、政治四类兴趣小组中抽取的学生人数分别为（）A.15，20，10，5 B.15，20，5，10C.20，15，10，5 D.20，15，5，106．为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（）A.10种 B.12种C.16种 D.24种7．已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为A.15 B.C.6 D.38．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（）A.1 B.2C. D.49．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为6π，则椭圆C的标准方程为（）A. B.C. D.10．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（）A. B.C. D.11．若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.12．椭圆：与双曲线：的离心率之积为2，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为抛物线上的动点，，，则的最小值为________.14．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________15．等轴（实轴长与虚轴长相等）双曲线的离心率_______16．半径为R的圆外接于，且，若，则面积的最大值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在直三棱柱中，，是中点.（1）求点到平面的的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值；18．（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离相等.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于A，两点，且满足(为坐标原点)，证明：直线与轴的交点为定点.19．（12分）如图，四边形为矩形，，且平面平面.（1）若，分别是，的中点，求证：平面；（2）若是等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.20．（12分）已知直线与圆.（1）当直线l恰好平分圆C的周长时，求m的值；（2）当直线l被圆C截得的弦长为时，求m的值.21．（12分）已知数列满足，（1）设，求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数m，使得对任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由22．（10分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，其中第90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：参考公式：，月份12345违章驾驶员人数1201051009580（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程；（2）预测该路口10月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点则实数a的取值范围是（0，）故选B2、A【解析】先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在时的瞬时速度【详解】对求导，得，，因此，该物体在时的瞬时速度为，故选A【点睛】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题3、D【解析】根据曲率的定义依次判断即可.【详解】①根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为，故①正确；②由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为，故②正确；③设每个面记为边形，则所有的面角和为，根据定义可得该类多面体的总曲率为常数，故③正确.故选：D.4、C【解析】特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题5、D【解析】利用分层抽样的等比例性质求抽取的样本中所含各小组的人数.【详解】根据分层抽样的等比例性质知：文学小组抽取人数为人；新闻小组抽取人数为人；经济小组抽取人数为人；政治小组抽取人数为人；故选：D.6、A【解析】对中心组学习所在的阶段分两种情况讨论得解.【详解】解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有种方法；如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有种方法.综合得不同的安排方案共有10种.故选:A7、C【解析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入{an}前6项的和公式中即可求出结果【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{an}前6项的和为2a1+5d）=故选C【点睛】本题考查等差数列前n项和求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用8、B【解析】根据抛物线定义，转化，要使有最小值，只需最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程与抛物线方程，求出斜率，然后求出点坐标，即可求解.【详解】由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知.由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切.设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：，整理得：则，解得即，解得，代入得或，再利用焦半径公式得故选：B.关键点睛：本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，解题的关键是要将取最小值转化为直线斜率最大，再转化为抛物线的切线，考查学生的转化思想与运算求解能力，属于中档题.9、D【解析】设椭圆的方程为，根据题意得到和，求得的值，即可求解.【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的方程为，因为椭圆C的离心率为，可得，又由，即，解得，又因为椭圆的面积为，可得，即，联立方程组，解答，所以椭圆方程为.故选：D.10、B【解析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可.【详解】.故选：B.11、D【解析】对选项A，令即可检验；对选项B，令即可检验；对选项C，令即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.【详解】若，则可得：，故选项A错误；若，则可得：，故选项B错误；若，则可得：，故选项C错误；不妨设的首项为，公差为，则有：则有：，故选项D正确故选：D12、C【解析】先求出椭圆的离心率，再由题意得出双曲线的离心率，根据离心率即可求出渐近线斜率得解.【详解】椭圆：的离心率为，则，依题意，双曲线；的离心率为，而，于是得，解得：，所以双曲线的渐近线方程为故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6【解析】根据抛物线的定义把的长转化为到准线的距离为，进而数形结合求出最小值.【详解】易知为抛物线的焦点，设到准线的距离为，则，而的最小值为到准线的距离，故的最小值为.故答案为：614、4x＋3y－6＝0【解析】直接求出两直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P的坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线方程【详解】由方程组可得P（0，2）∵l⊥l3，∴kl=﹣，∴直线l的方程为y﹣2=﹣x，即4x＋3y－6＝0故答案为：4x＋3y－6＝015、【解析】由题意可知，，由，化简可求离心率.【详解】由题意可知，，两边同时平方，得，即，，所以离心率，故答案为：.16、【解析】利用正弦定理将已知条件转化为边之间的关系，然后用余弦定理求得C；利用三角形面积公式，结合两角差的正弦函数公式和二倍角公式得，再利用辅助角公式得，最后利用函数的值域计算得结论.【详解】因为所以由正弦定理得：，即，所以由余弦定理可得：，又，故.由正弦定理得：，，所以，所以当时，S最大，.若，则面积的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，函数的图象与性质，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，再利用公式计算即可；（2）易得平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，再利用计算即可小问1详解】解：（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系所以因为，设平面的法向量为，则有，得，令则，所以可以取，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的的距离的距离为；【小问2详解】（2）因为平面，取平面的法向量为设平面与平面的夹角为，所以平面与平面夹角的余弦值18、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)利用抛物线点，n)到焦点的距离等于到x轴的距离求出，从而得到抛物线的标准方程(2)联立直线与抛物线方程，通过韦达定理求出直线方程，然后由，即可求解【小问1详解】由题意可得，故抛物线方程为；【小问2详解】设，，，，直线的方程为，联立方程中，消去得，，则，又，解得或(舍去)，直线方程为，直线过定点19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）通过构造平行四边形，在平面中找到即可证明（2）建立直角坐标系，通过两个面的法向量夹角的余弦值求出面面夹角的余弦值【小问1详解】证明：设为的中点，连接，，因为，分别为，的中点.所以且，又，为的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】取的中点，连接，，则，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵是等边三角形，为中点，∴，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，.设为平面的一个法向量，则有即取可取，设为平面的一个法向量，则有即可取，所以，设平面与平面的夹角为，则，∴，即平面与平面夹角的余弦值为.20、（1）；（2）1.【解析】(1)将圆C的圆心坐标代入直线l的方程计算作答.(2)由给定条件求出圆心C到直线l的距离，再利用点到直线距离公式计算作答.【小问1详解】圆的圆心，半径，因直线l平分圆C的周长，则直线l过圆心，即，解得，所以m的值是.【小问2详解】由(1)知，圆C的圆心，半径，因直线l被圆C截得的弦长为，则有圆心C到直线l的距离，因此，，解得，所以m的值是1.21、（1）；（2）存在，3【解析】(1)结合递推关系可证得bn+1－bn1，且b1＝1，可证数列{bn}为等差