2025届河北省沧州市沧县凤化店中学高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

2025届河北省沧州市沧县凤化店中学高二数学第一学期期末综合测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过坐标原点作两条互相垂直的射线，，与分别交于，则直线过定点（）A. B.C. D.2．曲线的离心率为（）A. B.C. D.3．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，则椭圆的方程为A B.C. D.4．用数学归纳法时，从“k到”左边需增乘的代数式是（）A. B.C. D.5．已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右分支上，是等边三角形，则的面积是A. B.C. D.6．据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（）A. B.C. D.7．若抛物线x＝﹣my2的焦点到准线的距离为2，则m＝（）A.﹣4 B.C. D.±8．将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（）A. B.C. D.9．已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，M，N两点分别在C的左、右两支上，若四边形OFMN为菱形，则C的离心率为（）A. B.C. D.10．已知直线的方向向量为，则直线l的倾斜角为（）A.30° B.60°C.120° D.150°11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于（）A.4 B.2C.2 D.312．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为A. B.1C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若数列满足，则称为“追梦数列”.已知数列为“追梦数列”，且，则数列的通项公式__________.14．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围__________15．“直线和直线垂直”的充要条件是______16．椭圆的右焦点是，两点是椭圆的左顶点和上顶点，若△是直角三角形，则椭圆的离心率是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）判断的单调性.（2）证明：.18．（12分）两人下棋，每局均无和棋且获胜的概率为，某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得2700元奖金，（1）分别求以获胜、以获胜的概率；（2）若前两局双方战成，后因为其他要事而终止比赛，间，怎么分奖金才公平？19．（12分）已知直线.（1）若，求直线与直线的交点坐标；（2）若直线与直线垂直，求a的值.20．（12分）已知圆.（1）若不过原点的直线与圆相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）求与圆和直线都相切的最小圆的方程.21．（12分）求满足下列条件的曲线的方程：（1）离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程（2）与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程22．（10分）已知直线l过定点（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由椭圆方程可求得坐标，由此求得抛物线方程；设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，根据可得，由此构造方程求得，根据直线过定点的求法可求得定点.【详解】由椭圆方程知其焦点坐标为，又抛物线焦点，，解得：，则抛物线的方程为，由题意知：直线斜率不为，可设，由得：，则，即，设，，则，，，，，解得：或；又与坐标原点不重合，，，当时，，直线恒过定点.故选：A.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.2、C【解析】由曲线方程直接求离心率即可.【详解】由题设，，，∴离心率.故选：C.3、D【解析】根据等腰直角三角形的性质可得，将代入椭圆方程，结合离心率为以及性质列方程组求得与的值，从而可得结果.【详解】设直线与椭圆在第一象限的交点为，因为，所以，即，由可得，，故所求椭圆的方程为.故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与性质，以及椭圆离心率的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.4、C【解析】分别求出n＝k时左端的表达式，和n＝k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式【详解】当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左边需增乘的代数式是故选：C【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，分别求出n＝k时左端的表达式和n＝k+1时左端的表达式，是解题的关键5、C【解析】设点在轴上方，由是等边三角形得直线斜率.又直线过点，故方程为.代入双曲线方程，得点的坐标为.同理可得，点的坐标为.故的面积为,选C.6、D【解析】由欧拉公式的定义和复数的概念进行求解.【详解】由题意，得，则复数的虚部为.故选：D.7、D【解析】把抛物线的方程化为标准方程，由焦点到准线的距离为，即可得到结果，得到答案.【详解】由题意，抛物线，可得，又由抛物线的焦点到准线的距离为2，即，解得.故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点到准线的距离为是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8、D【解析】设，，则折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，故求出AB中点坐标，折痕与直线AB垂直，进而求出斜率，用点斜式求出折痕所在直线方程.【详解】，，所以与的中点坐标为，又，所以折痕所在直线的斜率为1，故折痕所在直线是，即.故选：D9、C【解析】由题意可得且，从而求出点的坐标，将其代入双曲线方程中，即可得出离心率.【详解】由题意，四边形为菱形，如图，则且，分别为的左，右支上的点，设点在第二象限，在第一象限.由双曲线的对称性，可得，过点作轴交轴于点，则，所以,则，所以，所以，则，即，解得，或，由双曲线的离心率，所以取，则故选：C10、B【解析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.【详解】因直线的方向向量为，则直线l的斜率，直线l的倾斜角，于是得，解得，所以直线l的倾斜角为.故选：B11、A【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由定义可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出结果.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设在第一象限，根据椭圆和双曲线定义，得，，，由可得，又，在中，，即，化简得，两边同除以，得.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查共焦点的椭圆与双曲线的离心率问题，解题的关键是利用定义以及焦点三角形的关系列出齐次方程式进行求解.12、A【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.【详解】如图所示由正四面体的性质可得：可得：是棱中点故选：【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】根据题意，由“追梦数列”的定义可得“追梦数列”是公比为的等比数列，进而可得若数列为“追梦数列”，则为公比为3的等比数列，进而由等比数列的通项公式可得答案【详解】根据题意，“追梦数列”满足，即，则数列是公比为的等比数列.若数列为“追梦数列”，则.故答案为：.14、【解析】联立直线与双曲线方程，可知二次项系数不为零、判别式大于零、两根之和与两根之积均大于零，据此构造不等式组，解不等式组求得结果.详解】将代入双曲线方程整理可得：设直线与双曲线右支交于两点，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查根据直线与双曲线位置关系求解参数范围的问题，属于基础题.15、或【解析】利用直线一般式方程表示垂直的方法求解.【详解】因为直线和直线垂直，所以，解得或；故答案为：或.16、【解析】由题设易知，应用斜率的两点式及椭圆参数关系可得，进而求椭圆离心率.【详解】由题设，，，，又△是直角三角形，显然，所以，可得，则，解得，又，所以.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）在R上单调递增，无单调递减区间；（2）证明见解析.【解析】（1）对求导，令并应用导数求最值，确定的符号，即可知的单调性.（2）利用作差法转化证明的结论，令结合导数研究其单调性，最后讨论的大小关系判断的符号即可证结论.【小问1详解】由题设，.令，则.当时，单调递减；当时，单调递增故，即，则在R上单调递增，无单调递减区间.【小问2详解】.令，则.令，则，显然在R上单调递增，且，∴当时，单调递减；当时，单调递增.故，即，在R上单调递增，又，∴当时，，；当时，，；当时，.综上，，即.【点睛】关键点点睛：第二问，应用作差法有，构造中间函数并应用导数研究单调性，最后讨论的大小证结论.18、（1）以获胜、以获胜的概率分别是；（2）分给分别元，元.【解析】（1）以获胜、以获胜，则分别要连胜三局，前三局胜两局输一局，第四局胜利；（2）求出若两局之后正常结束比赛时，的胜率，按照胜率分奖金.【小问1详解】设以获胜、以获胜的事件分别为，依题意要想获胜，必须从第一局开始连胜局，；要想获胜，则前局只能胜局，且第局胜利，故概率;【小问2详解】设前两局双方战成后胜，胜的事件分别为.若胜,则可能连胜局，或者局只胜场，第局胜，故概率；由于两人比赛没有和局，获胜的概率为，则获胜的概率为，若胜,则可能连胜局，或者局只胜场，第局胜，故概率.故奖金应分给元，分给元.19、（1）（2）【解析】（1）联立两直线方程，解方程组即可得解；（2）根据两直线垂直列出方程，解之即可得出答案.【小问1详解】解：当时，直线，联立，解得，即交点坐标为；【小问2详解】解：直线与直线垂直，则，解得.20、（1）或；（2）.【解析】（1）根据题意设出直线的方程，然后根据直线与圆相切，即可求出答案；（2）首先根据题意判断出最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为，然后设出最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，从而可求出答案.【小问1详解】因为直线不过原点，设直线的方程为，圆的标准方程为，若直线与圆相切，则，即，解得或者3，所以直线的方程为或者；【小问2详解】因为，所以直线与圆相离，所以所求最小圆的圆心一定在圆的圆心到直线的垂线段上，即最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为，设最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，所以，即，解得(舍)或，所以最小的圆的方程为.21、（1）或；（2）【解析】(1)根据题意,由椭圆的几何性质可得a、c的值,计算可得b的值,讨论椭圆焦点的位置,求出椭圆的标准方程,即可得答案；(2)根据题意,求出椭圆的焦点坐标,进而可以设双曲线的方程为,分析可得和,解可得a、b的值,即可得答案【详解】解：（1）根据题意,要求椭圆的长轴长为6,离心率为,则,,解可得：,；则,若椭圆的焦点在x轴上,其方程为,若椭圆的焦点在y轴上,其方程为,综合可得：椭圆的标准方程为或；（2）根据题意,椭圆的焦点为和,故要求双曲线的方程为,且,则有,又由双曲