甘肃省兰州市兰州第一中学2025届数学高二上期末学业水平测试试题含解析

甘肃省兰州市兰州第一中学2025届数学高二上期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知梯形中，，且，则的值为（）A. B.C. D.2．已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（）A. B.C. D.3．函数在定义域上是增函数，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.4．某学生2021年共参加10次数学竞赛模拟考试，成绩分别记为，，，…，，为研究该生成绩的起伏变化程度，选用一下哪个数字特征最为合适（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的标准差；C.，，，…，的中位数； D.，，，…，的众数；5．若的解集是，则等于（）A.-14 B.-6C.6 D.146．空间直角坐标系中，已知则点关于平面的对称点的坐标为（）A. B.C. D.7．“”是“直线与直线垂直”的A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件8．已知，，，则下列判断正确的是（）A. B.C. D.9．已知直线l，m，平面α，β，，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10．直线过椭圆内一点，若点为弦的中点，设为直线的斜率，为直线的斜率，则的值为（）A. B.C. D.11．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为()A B.C. D.12．把点随机投入长为，宽为的矩形内，则点与矩形四边的距离均不小于的概率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____14．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，、分别为、的中点.设异面直线与所成的角为，则的最大值为____15．等差数列的公差，是其前n项和，给出下列命题：若，且，则和都是中的最大项；给定n，对于一些，都有；存在使和同号；.其中正确命题的序号为___________.16．若方程表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是___；该双曲线的焦距是___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围18．（12分）已知圆C的圆心在y轴上，且过点，（1）求圆C的方程；（2）已知圆C上存在点M，使得三角形MAB的面积为，求点M的坐标19．（12分）已知数列的前项和为，且，（1）求的通项公式；（2）求的最小值20．（12分）设命题对于任意，不等式恒成立．命题实数a满足（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围21．（12分）已知圆，点（1）若点在圆外部，求实数的取值范围；（2）当时，过点的直线交圆于，两点，求面积的最大值及此时直线l的斜率22．（10分）已知在等差数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）若的前n项和为，且，，求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据共线定理、平面向量的加法和减法法则，即可求得，进而求出的值，即可求出结果.【详解】因为，所以又，所以.故选：D.2、A【解析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，易知平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，故选：A3、A【解析】根据导数与单调性的关系即可求出【详解】依题可知，在上恒成立，即在上恒成立，所以故选：A4、B【解析】根据平均数、标准差、中位数及众数的概念即得.【详解】根据平均数、中位数、众数的概念可知，平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，标准差描述数据的波动大小估计数据的稳定程度.故选：B.5、A【解析】由一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求参数a、b，即可得.【详解】∵的解集为，∴-5和2为方程的两根，∴有，解得，∴.故选：A.6、D【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得答案.【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于平面的对称点的坐标为，故选：D.7、B【解析】先由两直线垂直求出的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为直线与直线垂直，则，即，解得或；因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出，所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.故选B【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.8、A【解析】根据对数函数的单调性，以及根式的运算，确定的大小关系，则问题得解.【详解】因为，即；又，故.故选：A.9、A【解析】由题意可知，已知，，则可以推出，反之不成立.【详解】已知，，则可以推出，已知，，则不可以推出.故是的充分不必要条件.故选：A.10、A【解析】设点与的坐标，进而可表示与，再结合两点在椭圆上，可得的值.【详解】设点与，则，，所以，，又点与在椭圆上，所以，，作差可得，即，所以，故选：A.11、C【解析】利用向量投影和勾股定理即可计算.【详解】∵，∴又，∴在方向上的投影，∴P到l距离故选：C.12、A【解析】确定矩形四边的距离均不小于的点构成的区域，由几何概型面积型的公式计算可得结果.【详解】若点与矩形四边的距离均不小于，则其落在如图所示的阴影区域内，所求概率.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,∴圆锥的侧面积S=πrl=2π故答案为2π【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.14、【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，，，由向量法可得，令，，，利用导数研究函数的单调性即可求得的最大值，从而可得答案【详解】解：由题意，根据已知条件，直线AB，AD，AQ两两互相垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系不妨设，则，0，，，0，，，1，，设，，，，，，，，，，，令，，则，函数在上单调递减，时，函数取得最大值，的最大值为故答案为：15、【解析】对，根据数列的单调性和可判断；对和，利用等差数列的通项公式可直接推导；对，利用等差数列的前项和可直接推导.【详解】不妨设等差数列的首项为对，，可得：，解得：，即又，则是递减的，则中的前5项均为正数，所以和都是中的最大项，故正确；对，，故有：，故正确；对，，又，则，说明不存在使和同号，故错误；对，有：故并不是恒成立的，故错误故答案为：16、①.②.2【解析】由题意可得，由此可解得m的范围，进一步将方程化为标准方程即可求得焦距【详解】由所表示的曲线是双曲线，可知，解得，当时，方程可变为：，此时双曲线焦距为，当时，m不存在，不合题意；故双曲线的焦距：故答案为：；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求，分别讨论不同范围下的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合，分别求出的范围再求并集即可.【详解】解：（1）由已知定义域为，当，即时，恒成立，则在上单调递增；当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.所以时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满足对任意的恒成立.所以综上所述：.18、（1）；（2）或.【解析】（1）两点式求AB所在直线的斜率，结合点坐标求AB的垂直平分线，根据已知确定圆心、半径即可得圆C的方程；（2）求AB所在直线方程，几何关系求弦长，由三角形面积求点线距离，设M所在直线为，由点线距离公式列方程求参数，进而联立直线与圆C求M的坐标【小问1详解】由题意知，AB所在直线的斜率为，又，中点为，所以线段AB的垂直平分线为，即，联立，得，半径，所以圆C的方程为.【小问2详解】由题意，AB所在直线方程为，即，圆心到直线AB的距离为，故，因为三角形MAB的面积为，则点M到直线AB的距离为，设点M所在直线方程为，所以，所以或，当时，联立得：或，当时，联立，无解；所以或19、（1）（2）【解析】（1）由可求得的值，由可求得数列的通项公式；（2）求得，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.【小问1详解】解：由题意可得，解得，所以，.当时，，当时，，也满足，故对任意的，.【小问2详解】解：，所以，当或时，取得最小值，且最小值为.20、（1）（2）【解析】(1)由即可获解(2)p、q一真一假,分情况讨论即可【小问1详解】由命题为真,得任意,不等式恒成立所以即所以实数的取值范围为【小问2详解】由命题为真,得因为“或”为真,“且”为假,所以p、q一真一假若真假,则,即若假真,即所以实数的取值范围为21、（1）；（2）最大值为2，【解析】（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，由点与圆的位置关系可得，求解不等式组得答案；（2）当时，圆的方程为，求出圆心与半径，设，则，分析可得面积的最大值，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离，设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式列式求得的值【详解】解：（1）根据题意，圆，即，若在圆外，则有，解得：，即的取值范围为；（2）当时，圆的方程为，圆心为，半径，设，则，当时，面积取得最大值，且其最大值为2，此时为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，设直线的方程为，即，则有，解得，即直线的斜率【点睛】易错点点睛：本题第一问解答过程中，容易忽视二元二