重难点06六种几何综合模型（原卷版）

重难点06六种几何综合模型能力拓展能力拓展题型一：两圆——中垂构造等腰三角形模型一．选择题（共2小题）1．（2021秋•浉河区校级月考）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2020•龙岗区模拟）平面直角坐标系中，已知A（1，2）、B（3，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8二．填空题（共1小题）3．（2021秋•定州市期中）如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有个．三．解答题（共2小题）4．（2022•开州区模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，D是BC的中点，E为AC边上任意一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，交AB于点G．（1）如图1，若AB＝6，AE＝，求ED的长；（2）如图2，点G恰好是EF的中点，连接BF，求证：CD＝BF；（3）如图3，若AB＝4，连接CF，当CF+BF取得最小值时．请直接写出S△CEF的值．5．（2018秋•徐州期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（4，0）、（0，3）．（1）求AB的长度．（2）如图2，若以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，求点C的坐标．（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

题型二：两垂——圆构造直角三角形模型一．选择题（共1小题）1．（2020•章丘区模拟）如图，已知点A（﹣6，0），B（2，0），点C在直线上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．解答题（共4小题）2．（2021秋•开州区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（3，1）．（1）求点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标；（3）在第四象限是否存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2021秋•曾都区期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，点F是AB延长线上一点，CB平分∠FCD．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BE：CE＝1：2，求FC的长．4．（2022•江北区一模）如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，其中AB＝AD，对角线AC、BD相交于点E，在AC上取一点F，使得AF＝AB，过点F作GH⊥AC交⊙O于点G、H．（1）证明：△AED∼△ADC．（2）如图2，若AE＝1，且GH恰好经过圆心O，求BC•CD的值．（3）若AE＝1，EF＝2，设BE的长为x．①如图3，用含有x的代数式表示△BCD的周长．②如图4，BC恰好经过圆心O，求△BCD内切圆半径与外接圆半径的比值．5．（2021秋•驿城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A（0，2），B（8，8），点C（m，0）为x轴正半轴上一个动点．（1）当m＝4时，写出线段AC＝，BC＝．（2）求△ABC的面积．（用含m的代数式表示）（3）当点C在运动时，是否存在点C使△ABC为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在，请说明理由．题型三：胡不归模型一．填空题（共4小题）1．（2021秋•北碚区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，BE+AE的最小值为．2．（2022•郧西县模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为．3．（2022•贡井区模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是．4．（2020•渝中区校级自主招生）已知在正方形ABCD中，AB＝5，点N在DC的延长线上，过D作BN的垂线分别交BC、BN于点P和点M，点Q在CD边上且满足＝，连接AE、CE，则CE+（+1）AE的最小值等于．二．解答题（共5小题）5．（2022春•沙坪坝区校级期中）在菱形ABCD中，∠DAB＝30°．（1）如图1，过点B作BE⊥AD于点E，连接CE，点F是线段CE的中点，连接BF，若ED＝2﹣，求线段BF的长度；（2）如图2，过点B作BE⊥AD于点E，连接CE，过点D作DM⊥DC，连接MC，且∠MCE＝15°，连接ME，请探索线段BE，DM，EM之间的数量关系，并证明；（3）如图3，连接AC，点Q是对角线AC上的一个动点，若AB＝2，求QB+QC+QD的最小值．6．（2021•津南区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x+c交x轴于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），其对称轴交x轴于点C．（Ⅰ）求该抛物线的顶点D的坐标；（Ⅱ）设P是线段CD上的一个动点（点P不与点C，D重合）．①过点P作y轴的垂线l交抛物线（对称轴右侧）于点Q，连接QB，QD，求△QBD面积的最大值；②连接PB，求PD+PB的最小值．7．（2021•番禺区一模）如图，△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，过点A作AO⊥AC交BC于点O．（1）求证：BO＝BC；（2）设AB＝k．①以OB为半径的⊙O交BC边于另一点P，点D为CA边上一点，且CD＝2DA．连接DP，求S△CPD．②点Q是线段AB上一动点（不与A、B合），连接OQ，在点Q运动过程中，求AQ+2OQ的最小值．8．（2021•罗湖区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，a≠0）与x轴的正半轴交于点A，其顶点C的坐标为（2，4）．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△PAC面积的最大值；（Ⅲ）点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接QA，求QC+QA的最小值．9．（2021秋•简阳市期中）如图1，在平面直角坐标系中，点D的横坐标为4，直线l1：y＝x+2经过点D，分别与x、y轴交于点A、B两点．直线l2：y＝kx+b经过点D及点C（1，0）．（1）求出直线l2的解析式．（2）在直线l2上是否存在点E，使△ABE与△ABO的面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从点C出发，沿线段CP以每秒2个单位的速度运动到P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到D后停止，求H点在整个运动过程的最少用时．题型四：阿氏圆模型一．填空题（共2小题）1．（2022春•长顺县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为．2．（2020秋•天宁区校级月考）如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为．二．解答题（共3小题）3．（2021•渝中区校级自主招生）如图，在△ABC与△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，BC＝AC，ED＝FD，点D在AB上．（1）如图1，若点F在AC的延长线上，连接AE，探究线段AF、AE、AD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点D与点A重合，且AC＝3，DE＝4，将△DEF绕点D旋转，连接BF，点G为BF的中点，连接CG，在旋转的过程中，求CG+BG的最小值；（3）如图3，若点D为AB的中点，连接BF、CE交于点M，CE交AB于点N，且BC：DE：ME＝7：9：10，请直接写出的值．4．（2021•沙坪坝区校级模拟）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ+BQ的最小值．5．（2019秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．

题型五：瓜豆原理一．填空题（共4小题）1．（2020春•綦江区期末）如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为．2．（2020•兰溪市模拟）如图，∠AOB＝30°，OD＝4，当点C在OA上运动时，作等腰Rt△CDE，CD＝DE，则O，E两点间距离的最小值为．3．（2020•邗江区校级一模）如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连接EF，将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连接CG，则CG的最小值为．4．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为．二．解答题（共2小题）5．如图，在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上中点，点F为直线BD上一点．当点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．6．若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．①点P'的轨迹是（填“线段”或者“圆”）；②CP′的最小值是；（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为．

题型六：几何中的等分面积问题一．选择题（共1小题）1．（2022春•连江县期末）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若S△ABC＝24，则S△ACE等于（）A．6 B．8 C．10 D．12二．填空题（共3小题）2．（2022•金平区一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝．3．（2021秋•河西区期中）如图①，O1，O2，O3，O4为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，O1，O2，O3，O4，O5为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．（答案不唯一）4．（2021春•宁强县期末）已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6），直线y＝mx﹣3m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为．三．解答题（共3小题）5．（2021春•福山区期中）如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化．其中，四个角部分是半径为（a﹣b）米的四个大小相同的扇形，中间部分是边长为（a+b）米的正方形．（1）用含有a，b的代数式表示需要硬化部分的面积（直接列式，不需要化简，单位：平方米）；（2）若a＝20，b＝8，求硬化部分的面积（要求：先化简再求值，结果保留π的形式）．6．（2019秋•雅安期末）如图，将边长为4的正方形放在平面直角坐标系第二象限，使AB边落在x