重难点专项突破06相似三角形中的“8”字模型（3种题）（原卷版）

重难点专项突破06相似三角形中的“8”字模型（3种题）【题型细目表】题型一：8字平行型（1）直接利用“8”字型解题（2）添加辅助线构造“8”字模型解题题型二：8字不平行型【知识梳理】8字_平行型条件：CD∥AB,结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;四边形ABCD为一般梯形.条件：CD∥AB,PD=PC.结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似)ΔPAD≅ΔPBC左右全等；四边形ABCD为等腰梯形；8字_不平行型条件：∠CDP=∠BAP.结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似);ΔAPD∼ΔBPC(左右相似);【考点剖析】题型一：8字平行型（1）直接利用“8”字型解题例1.如图，在平行四边形中，点在边上，若，则 ．例2.如图，为对角线上任意一点．求证：．例3.如图，在平行四边形中，的延长线上有一点，交于点，交 于点．求证：．例4.如图，点在线段上，和都是等边三角形． 求证：（1）； （2）．例5.如图，已知．，，求的长．（用、的代数式表示）．例6.如图，为平行四边形的对角线上一点，，的延长线交 的延长线于点，交于点，求的值．例7.如图，，，，求的值．例8.过的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、E．求证：．AABCDEF例9.如图，AD是的内角平分线．求证：．AABCD题型二：8字不平行型例10.如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（）A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC【过关检测】一．选择题（共4小题）1．（2023•包河区二模）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AC于点F，则的值是（）A． B． C． D．2．（2021秋•亳州期末）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列相似三角形成立的有（）①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．A．1对 B．2对 C．3对 D．4对3．（2022•砀山县模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，E为AB的中点，CE交BD于点F，且∠ADB＝∠BCE，则BF的长为（）A． B． C． D．4．（2021秋•安徽月考）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）A．16 B．17 C．24 D．25二．填空题（共8小题）5．（2022•宣州区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为．6．（2022秋•安徽期中）如图，BD是△ABC的中线，点F在BD上，延长AF交BC于点E．（1）若点E为BC中点，则＝．（2）若BF＝3DF，则＝．7．（2021秋•舒城县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，则＝．8．（2023•瑶海区二模）Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，点F为BC中点，∠CBE＝∠CAF，BC＝2．（1）写出一对相似三角形；（2）AC的长为．9．（2022秋•无为市期中）如图，已知矩形ABCD对角线AC和BD相交于点O，点E是边AB上一动点，CE与BD相交于点F，连结OE．（1）若点E为AB的中点，则＝；（2）若点F为OB的中点，则＝．10．（2020•大通区模拟）如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA＝3：1，BC＝10，则AE的长为．11．（2022•庐阳区二模）已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，且∠BAD＝90°，连接AC、BD交于点O．①若AB＝BC，则＝；②若AB＝AC，则＝．12．（2023•庐阳区一模）正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE＝CF，CE交AF于M．若E为AB中点，则＝；若∠CMF＝60°，则＝．三．解答题（共6小题）13．（2022•芜湖一模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．14．（2021秋•包河区校级期末）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F．（1）求证：△AOB∽△COE；（2）求证：BO2＝EO•FO．15．（2022秋•庐阳区校级期中）如图是小孔成像实验，火焰AC通过小孔O照射到屏幕上，形成倒立的平行实像，像长BD＝3cm，OA＝50cm，OB＝10cm，求火焰AC的长．16．（2023•蜀山区校级模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝a，D是BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE并延长，交AC于点F．（1）如图1，当a＝1时，①求证：∠ECD＜45°；②求证：；（2）如图2，若D是BC的中点，求tan∠CEF的值（用含a的代数式表示）．17．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．18