第七章锐角三角函数（知识归纳题型突破）

第七章锐角三角函数（知识归纳+题型突破）一、锐角三角函数的基本概念在Rt△ABC中，∠C为直角，则锐角∠A的三角函数为（∠A可换成∠B）：定义表达式正弦余弦正切二、特殊角的三角函数值1、特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值：三角函数30°45°60°12、锐角三角函数的有界性与增减性：（1）有界性：锐角三角函数值都为正值，即当0°＜α＜90°时，有0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，tanα＞0；（2）增减性：锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小．3、同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系：（1）sin2α＋cos2α＝1；（2）4、互为余角的两个锐角的正弦、余弦和正切的关系：（1）sinα＝cos(90°－α)；（2）cosα＝sin(90°－α)；（3）三、解直角三角形1、直角三角形的性质（C为直角顶点）：①边与边的关系：；②角与角的关系：∠A+∠B=90°；③边与角的关系：；；．2、解直角三角形的四大类型：类型已知条件解法两边两直角边a、b，，一直角边a，斜边c，，一边一锐角一直角边a，锐角A，，斜边c，锐角A，，题型一求正切值【例1】在中，，，，则的值是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】首先画出图形，利用勾股定理求出，然后根据正弦的概念求解即可．【详解】如图所示，∵在中，，，，∴，∴∴．故选：A．【例2】如图，在边长为的方格纸中，与交于点，其中、均为所在正方形小方格一边的中点，则(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作于点，根据题意得出，根据正切的定义即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，

依题意，，∴，故选：B．巩固训练1．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据折叠后所形成的图形全等，利用三角函数的定义解答即可．【详解】由题意可知：，设，则，在中，，∴，∴，∴，故选：C2．如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据网格的特点判断是直角三角形，根据正切的定义即可求解．【详解】∵由图可知，，∴是直角三角形，且，，故选：C．题型二正切概念辨析【例3】在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（

）A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍【答案】B【分析】根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余切值保持不变．【详解】解：∵在中，各边的长度都缩小4倍，∴各角的大小不变，即大小不变．∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，∴锐角A的余切值保持不变．故选B．巩固训练3．小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为米．【答案】【分析】由正切的定义分别确定的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案．【详解】解：如图，CD为树高，点C为树顶，则，BD=AD100∴依题意，有由①得将③代入②，解得故答案为：．4．如图，在中，．（1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？（2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？（3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？【答案】（1）；（2）；（3）【分析】利用正切的定义：，进行运算即可．【详解】解：（1）∵，∴（2）∵∴∴，∴（3）∵∴∴，∴题型三已知正切求值【例4】如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，米，则树高为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】利用三角函数值中正切，可得到与的关系，计算即可．【详解】在中，，，故选C．【例5】在中，，，将绕点B旋转后，点C落在射线上，点A落到点处，联结．那么．【答案】2或【分析】设，，由锐角三角函数和勾股定理可求，由旋转的性质可求，，，分两种情况讨论，求出的长，即可求解．【详解】解：∵，，∴设，，∴，∵将绕点B旋转后，点C落在射线上，点A落到点处，∴，，，如图1，当点C落在线段上时，则，∴，如图2，当点C落在线段的延长线上时，则，∴，故答案为：2或．【例6】如图，已知是⊙O的直径，C为⊙O上一点，的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交的延长线于点E．(1)求证：；(2)若，，求DE的长．【答案】(1)见详解(2)3【分析】（1）连接，先由，可得，再由是⊙O的切线，可得，，即可求证．（2）先由的值得出和的关系，在利用勾股定理求得的长，通过推理可证，得出成比例线段求解．【详解】（1）连接，如图∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是⊙O的切线，∴，，∴．（2）∵是⊙O的直径，∴，∵，∴设，则，∴，即，解得，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得．巩固训练5．如图，已知，，，，的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作交于D，根据，，得出，，进而得出，再根据勾股定理即可得出答案．【详解】作交于D，∵，，∴，，∵，∴，∴，在中，故答案为：C．6．有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为20m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=，则此斜坡的水平距离AC=m【答案】50【分析】根据正切三角函数计算求值即可．【详解】解：由题意作图如下，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=20m，tan∠A=，∴AC=BC÷tan∠A=20×=50m，故答案为：50．7．如图，在四边形ABCD中，，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若tan∠OAB=，BD=2，求CE的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；（2）根据菱形的性质解答即可．【详解】（1），，平分，，，，，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形；（2）四边形是菱形，，，，，，，，，．．题型四正弦、余弦概念辨析【例7】如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出，即可判断D．【详解】解：∵，∴，在中，故A、B不符合题意；在中，，故C符合题意；∵，，∴，在中，，∴，故D不符合题意；故选：C．【例8】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有个（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】3【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴cosA＝＝＝．故（1），（2），（4）正确．故答案为：3．【例9】如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．=cosA，不符合题意；B．=tanA，不符合题意；C．=cos∠DBC=cosA，不符合题意；D．=sin∠DBC=sinA，符合题意；故选：D．巩固训练8．已知：α是锐角，tanα＝，则sinα＝，cosα＝．【答案】；【分析】作出直角三角形,根据tanα＝设出边长,再根据正弦值和余弦值的定义即可解题.【详解】解：如下图,设∠A=α∵tanα＝，∴BC=7k,AC=24k,∴直角三角形的斜边AB=25k,（勾股定理）∴sinα＝，cosα＝．9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可．【详解】A．∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴cosB=，故A不符合题意；B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合题意；C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=，∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，∴cosB≠，故C符合题意；D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合题意；故选：C．题型五求角的正弦余弦值【例10】如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是．【答案】【分析】利用勾股定理求出AO、BO的长，再由=AB×2=AO⋅BC，得出BC，sin∠AOB可得答案．【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，过点B作BC⊥OA于点C．由勾股定理，得AO=，BO=，∵=AB×OE=AO×BC，∴BC==，∴sin∠AOB==．故答案为：．【例11】在中，、、对边分别为、、，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数定义得出，，即可得出答案.【详解】解：由题知，，∴，∴，故选C.巩固训练10．已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图2，则支撑柱OH的高为（）米．A．0.4 B．0.5 C． D．0.6【答案】D【分析】根据正弦的定义得到OA＝2OH，OB＝3OH，根据题意列式计算即可．【详解】解：在Rt△AOH中，sinA，∴OA＝2OH，在Rt△BOH中，sinB，∴OB＝3OH∵AB＝3米，∴2OH+3OH＝3，解得：OH＝0.6（米），故选：D．题型六特殊角三角函数值混合运算【例12】计算：【答案】．【分析】利用二次根式的加减，零指数次幂，二次根式的性质，特殊角三角函数和绝对值化简进行计算即可．【详解】解：原式，，．【例13】计算：．【答案】5【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则、特殊角的三角函数计算即可求出值．【详解】解：【例14】计算：【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函数值，分别代入计算得出答案．【详解】解：原式．巩固训练11．计算：．【答案】【分析】先代入特殊角三角函数值，再利用二次根式的运算法则进行计算．【详解】解：原式．12．计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值结合二次根式的性质化简，进而得出答案．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．题型六求特殊角三角函数值（已知函数值求锐角）【例15】若，则是（）A．直角三角形B．等边三角形C．含有的任意三角形D．顶角为钝角的等腰三角形【答案】B【分析】根据利用非负数的性质求得，再利用特殊角的三角函数值求出，即可得到结论．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形．故选：B．【例16】下列三角函数的值是的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】解：，，，，观察四个选项，选项A符合题意，故选：A．巩固训练13．在中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：∵，则，故选：B．14．若锐角，则的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据30度角的正弦值为即可得到答案．【详解】解：∵，∴，故选：B．15．在中，若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意知，，解得，，根据，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，，解得，，∴，故选：C．题型七由三角函数值确定三角形形状【例17】在中，若，则是．【答案】等腰直角三角形【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案．【详解】根据题意，得，．可得，．则．所以，．所以，为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．【例18】在中，、都是锐角，且，则的形状是三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）．【答案】直角【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，结合特殊角的三角函数值求得、的度数，从而作出判断．【详解】解：∵，且，∴，∴，∴、，∴在中，，∴是直角三角形，故答案为：直角．巩固训练16．已知a、b、c分别是的角A、B、C的对边（），二次函数图像的顶点在x轴上，且、是关于x的方程的两个根．(1)判断的形状；(2)求m的值；(3)若这个三角形的外接圆面积为，求的内接正方形的边长．【答案】(1)是直角三角形(2)(3)或【分析】（1）先由二次函数图像的顶点在x轴上得到，进而求得，再根据勾股定理逆定理即可证明；（2）先利用互余两角三角函数的关系得到，再根据一元二次方程根与系数的关系得到方程求解．（3）先由圆的面积公式求出的外接圆半径，则斜边，再将代入方程得到，解方程并求出，再分类讨论．【详解】（1）是直角三角形；证明：将化简得到，由于二次函数图像的顶点在x轴上，，；故是直角三角形；（2）解：是直角三角形，，，，、是关于x的方程的两个根，，，，，整理得，解得，经检验，都是原方程的根，当时，，当时，舍去，故；（3）解：由于三角形的外接圆面积为，外接圆半径，斜边，将代入方程得到，解得，，设正方形边长为，由，得，解得；

图2中，，，即，解得．

综上所述，的内接正方形的边长为或．17．在中，、都是锐角，且，，则是（

）.A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答．【详解】解：∵，，∴，∴，∴是等边三角形，故选：B．题型八互余两角之间的三角函数关系【例19】在中，，已知，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案．【详解】解：在中，，，，，故选：A．【例20】若的余角是，则的值是．【答案】/0.5【分析】先求出的余角，由即可求解．【详解】解：由题意得，，故答案：．巩固训练18．已知，，则．【答案】/【分析】应用互余两角三角函数的关系进行计算即可得出答案．【详解】解：根据题意可得，，，，，故答案为：或．19．在中，，，则．【答案】【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【详解】解：∵，，∴，∴．故答案为：．

题型九判断锐角取值范围【例21】已知，则锐角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案【详解】解：，，由可得，在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，，故选：D．【例22】若锐角满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用特殊角的三角函数值得到，然后利用锐角的余弦值随着角度的增大而减小求解．【详解】解：，而，，，锐角的取值范围为：．故选：B．巩固训练20．已知，则锐角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据特殊角的三角函数值求出，根据当是锐角时，其余弦随角度的增大而减小即可求解，【详解】解∶∵为锐角，且，又∵当是锐角时，其余弦随角度的增大而减小，∴，故选∶C．21．已知为锐角，且，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据正弦值随着角度的增大而增大，进行判断即可．【详解】解：当时，，∵为锐角，正弦值随着角度的增大而增大，∴；故选A．22．若为锐角，且，则（

）A．小于30° B．大于30° C．大于45°且小于60° D．大于60°【答案】D【分析】首先确定在锐角范围内，并且在此范围内，正切函数值随角度的增大而增大，由此判断即可．【详解】解：∵在锐角范围内，正切函数值随角度的增大而增大，∴，即，∴，故选：D．题型十解（非）直角三角形相关计算【例23】如图，在中，，，，则的长为（

）

A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．【详解】如下图，作于，

在中，，，，，在中，，，，，故选：D．【例24】在中，，，，那么．【答案】【分析】设，则，求出，然后解出的值即可解题．【详解】解：∵，设，则，∴，解得：，∴，故答案为：．【例25】已知：在中，，，．则的面积为（结果可保留根号）．【答案】【分析】过作于，利用直角三角形的性质求得的长．已知的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【详解】解：过作于，在中，，，即．在中，，，．，．．故答案为：．【例26】如图，在中，已知，，，求的长．【答案】【分析】过点作，垂足为点，设，在中，得出，在中，得出，根据，列出方程求解得出，在中，根据即可求解．【详解】解：如图，过点作，垂足为点，设，在中，，在中，，，，，.解得：，即，在中，∵，∴巩固训练23．已知在中，，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作，垂足为，在中，，∴,∴\∴，在中，故选：B．24．如图，在中，，，，则的长为，的面积为．【答案】【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到．【详解】解：过作，如图所示：在中，，，，在中，，，即，，由勾股定理得；，故答案为：，．25．在中，，，，求的长．【答案】【分析】过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长．【详解】解：过点作，交的延长线于点，∴，∵，∴，∵，∴，，即，，∴，，∵，∴，∴，∴的长为．题型十二俯仰角问题【例27】小东同学学习了《锐角三角函数》一章后，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点处，小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高）建筑物的顶部点的仰角为，测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点的仰角为．按照安全规定：此时塔吊的底部点距建筑物的底部点是．利用这些数据，小东经过详细的计算，得出塔吊的高度约为，但这个高度明显违反了此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在），亲爱的同学，你也来利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，）

【答案】塔吊的高度为：，塔吊没有违规操作.【分析】如图，过作于，交于，则，，，，，，，可得，再分别求解，，，从而可得答案.【详解】解：如图，过作于，交于，则，∵，∴四边形是矩形，四边形是矩形，∴，，，，，，∴，

∴，∴，∴，∴，∴，∴塔吊的高度为：，而，∴塔吊没有违规操作.巩固训练26、如图，为了测量旗杆的高度，在离旗杆底部12米的A处，用高米的测角仪测得旗杆顶端C处的仰角α为．求旗杆的高．（精确到米）[参考数据：，，]【答案】旗杆的高度约为米【分析】过作于，首先根据题意得到，，，然后解直角三角形得到，然后利用求解即可．【详解】解：过作于，根据题意，，，，在中，（米），∴（米），答：旗杆的高约为米．题型十二方位角问题【例28】如图，四边形是某公园的休闲步道．经测量，点B在A的正西方向，米，点D在A的正北方向，点C在B的西北方向，米，点C在D的南偏西方向上．(1)求步道的长度；（精确到个位数）；(2)小亮以90米/分的速度沿的方向步行，小明骑自行车以300米/分的速度沿的方向行驶．两人能否在4分钟内相遇？请说明理由．（参考数据：，）【答案】(1)步道的长度为673米(2)两人能否在4分钟内相遇；理由见解析【分析】（1）过点作交于点E，过点E作于点F，过点C作于点G，证明四边形为矩形，得出，米，，证明为等腰直角三角形，得出（米），根据三角函数得出（米），求出（米），解直角三角形得出（米），即可求出结果；（2）根据直角三角形性质求出（米），米，求出（米），根据（米），（米），得出（米），根据（分钟），即可得出结论．【详解】（1）解：过点作交于点E，过点E作于点F，过点C作于点G，如图所示：根据作图和已知条件可知，，∴四边形为矩形，∴，米，，∵，，∴为等腰直角三角形，∴（米），∵，∴，∴，∴（米），∴（米），∵，，∴（米），∴（米），即步道的长度为673米．（2）解：两人能在4分钟内相遇；理由如下：∵在中，米，∴（米），∵在中，米，∴米，∴（米），∵（米），（米），∴（米），∵（分钟），有∵，∴两人能在4分钟内相遇．【例29】如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港O，轮船甲沿北偏东的方向航行，轮船乙沿东南方向航行，2小时后，轮船甲到达A处，轮船乙到达B处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向．已知轮船甲的速度为每小时25海里，求轮船乙的速度．（结果保留根号）【答案】海里小时．【分析】过作于，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过作于，在中，，（海里），（海里），在中，，（海里），轮船乙的速度为海里小时．巩固训练27．一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东方向上，继续向东航行到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）．

【答案】轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为【分析】过点B作于点D，则，进而得出，，根据，得出，即可求解．【详解】解：过点B作于点D，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，解得：，∴，答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为．

28．为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度，如图，一艘海监船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔100海里的处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处．

(1)在这段时间内，海监船与灯塔的最近距离是多少海里？(2)在这段时间内，海监船航行了多少海里？（结果保留根号）【答案】(1)在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是海里．(2)轮船航行的距离为海里．【分析】（1）过点P作于C点，则线段的长度即为海监船与灯塔P的最近距离．解等腰直角三角形，即可求出的长度．（2）海监船航行的路程即为的长度．先解，求出的长，再由（1）得出，再利用线段的和差可得