14.3.2 第2课时 运用完全平方公式因式分解 人教版数学八年级上册学案

第十四章整式的乘法与因式分解14．3因式分解14．3．2公式法第2课时运用完全平方公式因式分解学习目标：1．理解并掌握用完全平方公式分解因式．2．灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．重点：掌握用完全平方公式分解因式．难点：灵活应用各种方法分解因式．自主学习教学备注：学生在课前完成自主学习部分一、知识链接1．前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？2．（1）填一填：在括号内填上适当的式子，使等式成立：①(a＋b)2＝_____________；②(a－b)2＝_____________；③a2＋________＋1＝(a＋1)2；④a2－________＋1＝(a－1)2．（2）想一想：①你解答上述问题时的根据是什么？②第（1）①②两式从左到右是什么变形？第（1）③④两式从左到右是什么变形？课堂探究要点探究探究点：用完全平方公式分解因式想一想：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？这个大正方形的面积可以怎么求？将上面的等式倒过来看，能得到：．要点归纳：把a²+______+b²和a²-______+b²这样的式子叫做完全平方式．观察这两个式子：a2+2ab+b2 a2－2ab+b2（1）每个多项式有几项？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？（3）中间项和第一项、第三项有什么关系？要点归纳：完全平方式：a2±2ab+b2完全平方式的特点：1．必须是三项式（或可以看成三项的）；2．有两个同号的数或式的平方；3．中间有两底数之积的±2倍．简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解．练一练：1．对照a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：（1）x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²（2）m²-6m+9=()²-2·()·()+()²=()²（3）a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2．下列各式是不是完全平方式？（1）a2－4a+4； （2）1+4a²；（3）4b2+4b-1； （4）a2+ab+b2；（5）x2+x+0．25．典例精析例1：如果x2-6x+N是一个完全平方式，那么常数N是()A．11 B．9 C．-11 D．-9变式训练：如果x2-mx+16是一个完全平方式，那么常数m的值为________．方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值．计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例2：分解因式：（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2．例3：把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）(a+b)2-12(a+b)+36．要点归纳：利用公式把某些具有特殊形式（如平方差、完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．针对训练因式分解：（1）－3a2x2＋24a2x－48a2； （2）(a2＋4)2－16a2．例4：简便计算：（1）1002－2×100×99+99²； （2）342＋34×32＋162．例5：已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．方法总结：此类问题一般情况是将原式进行变形，将其转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质求出未知数的值，然后代入，即可得到所求代数式的值．例6：已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．课堂小结因式分解方法提公因式法公式法平方差公式完全平方公式公式pa+pb+pc=________a2-b2=__________a2±2ab+b2=________步骤1．提：提____________________：2．套：套_____________________；3．检查：检查______________________________________________．易错题型1．提公因式时易出现漏项、丢系数或符号错误；2．因式分解不彻底．当堂检测1．下列四个多项式中，能因式分解的是()A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y2．把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是()A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3．若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．4．若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________．5．把下列多项式因式分解：（1）x2－12x+36； （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1； （3）y2+2y+1－x2．6．计算：（1）38.92－2×38.9×48.9＋48.92； （2）20202-2020×4038+20192．7．分解因式：（1）4x2＋4x＋1；(2)小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若不对，请你帮忙纠正过来．8．（1）已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；（2）已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．

参考答案自主学习一、知识链接1．解：a2+2a+1=(a+1)22．（1）①a2+2ab+b2 ②a2－2ab+b2 ③2a ④2a（2）解：①乘法公式和因式分解②整式的乘法因式分解课堂探究要点探究探究点：用完全平方公式分解因式想一想：解：如图所示．(a+b)2=a2+2ab+b2 a2+2ab+b2=(a+b)2要点归纳2ab2ab（1）三项（2）这两项都是数或式的平方，并且符号相同（3）中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍练一练：1．（1）xx22x+2（2）mm33m-3（3）aa2b2ba+2b2．（1）是（2）不是（3）不是（4）不是（5）是典例精析例1B解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3)，故可知N=(-3)2=9．变式训练±8解析：∵16=(±4)2，∴-m=2×(±4)，即m=±8．例2解：（1）16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2；（2）-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2．例3解：（1）原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；（2）原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2．针对训练解：（1）原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；（2）原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2．例4解：（1）原式=(100－99)²=1； （2）原式＝(34＋16)2＝2500．例5解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0．∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2＝112＝121．例6解：△ABC是等边三角形．理由如下：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．当堂检测1．B2．B3．14．±45．解：（1）原式=x2－2·x·6+62=(x－6)2；（2）原式=[2(2a+b)]²－2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b－1)2；（3）原式=(y+1)²－x²=(y+1+x)(y+1－x)．6．解：(1)原式＝(38.9－48.9)2＝100；