2025届山东省泰安市部分学校高三上学期摸底考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省泰安市部分学校2025届高三上学期摸底考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（）A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项〖答案〗D〖解析〗根据数列1，，，，3，…，，又，,解得，故选:D.2.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗由图可知：阴影部分表示的集合为.因为集合，所以，则，所以阴影部分表示的集合的子集个数为.故选：B.3.在研究变量与之间的相关关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，…，，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据误差较大，剔除这对数据后，求得的经验回归方程为，且，则（）A.13.5 B.14 C.14.5 D.15〖答案〗A〖解析〗因为，剔除异常数据数据后，，因为点在直线上，所以，解得，设利用原始数据求得的经验回归直线过点，则，因为，所以.故选：A.4.设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗由运算“△”和“▽”知，表示数、比较小的数，表示数、比较大的数．当，时，，故选项A、C错误；当时，，故选项B错误．∵，且，∴，∵，，∴，故选项D正确．故选：D.5.已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为圆，圆心为，半径为，即，因为为直角三角形，所以,设圆心到直线的距离为，，由弦长公式得，所以，化简得.故选：A.6.已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（）A.2 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易得的斜率为，由切线斜率的几何意义得，且已知函数为奇函数，可得，两侧同时求导得，故，故A正确.故选：A.7.在中，若，记，，，则下列结论正确的是（）.A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，作，，则，∴四边形是平行四边形，∴，设的边上的高为，的边上的高为，则，∴，即，∴，∴，∴.故选:C.8.圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图所示放置的边长为1的正方形（正方形的顶点A和点P重合）沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路程为（）A2π B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设第i（）次滚动后A点位置为，结合图形，可知3次或4次滚动后，A点再次达到圆周处，则第7次或第8次滚动后，A点达到圆周，第11次或第12次滚动后A第一次回到点P的位置，相当于正方形在圆内滚动了三圈.因为圆O的半径r＝1，正方形的边长a＝1，所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为，正方形在圆周上滚动时，点的位置如图所示，设第i（）次滚动点A的路程为，则，又，所以点A所走过的路程为．故选：D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么可能经过（）个小时会“药物失效”．（参考数据：）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗CD〖解析〗依题意药物实验中，血液中药物含量为，即药物含量为，设至少经过个小时才会“药物失效”，根据题意可得，两边取对数得，可得，所以至少经过个小时才会“药物失效”，故符合题意的有C、D.故选：CD.10.设数列，满足，，则下列函数使得，有相等的项的是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，若，则，所以，此时，符合题意，故A正确；对于B，若，则，，所以，此时，不可能有相等的项，故B错误；对于C，若，则，，所以，此时，符合题意，故C正确；对于D，若，则，，所以，此时，不可能有相等的项，故D错误，故选：AC.11.如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，点P为圆弧上一动点（点P与点A，D不重合），则（）A.存在值，使得B.三棱锥体积的最大值为C.当时，异面直线与所成角的余弦值为D.直线与平面所成最大角的正弦值为〖答案〗BCD〖解析〗对于A选项，由题意知，若，，平面，则平面，又平面，所以，不成立，故A不正确；对于B选项，在三棱锥中，半圆面，所以，三棱锥即三棱锥是为高，为底面的三棱锥，当点是半圆弧的中点时，三棱锥的底面积S△PAD取得最大值，三棱锥的体积取得最大值为，故选项B正确；对于选项C：当时，则为的中点，以的中点为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，可得，则，故异面直线与所成角的余弦值为，所以C正确；对于D选项，取的中点，过点P作于点，连接，由题意知，平面，平面，，又因为，，平面，可得平面，所以为在平面内的射影，则为直线与平面所成的角，设，则，在Rt中，，又平面，平面，所以，又面，所以面，又面，所以，所以，故，令，则，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以，则，所以直线与平面所成最大角的正弦值为.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.若随机变量，且，则_________．〖答案〗0.26〖解析〗因为，所以．13.如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则______．〖答案〗〖解析〗设，，则，，又，，所以．14.设是正实数，若函数在上至少存在两个极大值点，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗令，解得，.若在上无极大值点，则存在实数，使得，整理得到，解得，因为且存在，故，或，故或.若在上有且只有一个极大值点，则存在实数，使得，或，解得①或者②，对于①，因且存在，故且，故整数满足，当时，，当时，，当时，，故对于②，同理可得，综上，在上无极大值点和有且只有一个极大值点时，.故函数在上至少存在两个极大值点，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前n项和为，且．（1）求通项公式；（2）若数列满足，求数列的前2n项和．解：（1）当时，，当时，，因为也符合上式．所以．（2）由（1）可知，所以．16.如图，三棱台，平面平面，与相交于点，且平面．（1）求三棱锥的体积；（2）平面与平面所成角为与平面所成角为，求的值．解：（1）由题意，平面平面，且平面平面平面，平面，平面，，又平面，平面．连接，平面平面，平面平面，，，，．三棱锥底面三角形的面积为，高，其体积为：．（2）由题意及（1）得，以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，，则．设平面的法向量为，由，取，则，平面的一个法向量为，所以，，又因为，所以．．又，所以．17.设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，.（1）求的方程；（2）设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明：（ⅰ）为定值；（ⅱ）直线恒过定点.（1）解：由焦半径公式知：，，的方程为：.（2）证明：由（1）知：，可设直线方程为：，设则直线方程为：联立，将代入得，，同理：（ⅰ），（ⅱ）直线的方程为：由得：即，，直线的方程为：，直线恒过定点18.已知函数，存在三个零点，，．（1）求实数的取值范围；（2）设，求证：．（1）解：因为且存在三个零点，所以有个实数根，当时，，，，所以在上是单调递增，由零点存在定理，方程必有一个负根，当，，即有两个根，令，，可转化为与有两个交点，，可得时，即在单调递增，可得时，即在单调递减，其中，当，，，且当时，所以可得，解得.综上可得.（2）证明：因为且存在三个零点.设，，，，易知其中，，因为，所以，所以，，，故可知①；由（1）可知与有两个交点，当，是单调递增，所以，，，所以②；即，，若，则，若，构造函数，，则，设，则，因为，又因为，所以③；因为，又因为，所以，即得④；由③④可知，在上单调递增，又可得，，可知与同号，所以，所以在上单调递增，所以，所以，即，又由（1）可知，所以，，，，是单调递增，所以⑤，由①②⑤可知.19.对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系.（1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；（2）若与具有关系，求的取值范围；（3）已知，为定义在上的奇函数，且满足：①在上，当且仅当时，取得最大值1；②对任意，有.判断与是否具有关系，并说明理由.解：（1）与具有关系，理由如下：当时，，，当，，当时，，此时，则与具有关系；（2），，因为，则当时，，则，所以，则；（3）不具有关系，理由如下：因为在上，当且仅当时，取得最大值1；又为定义在上的奇函数，故在上，当且仅当时，取得最小值-1，由对任意，有，所以关于点对称，又，所以的周期为，故的值域为，，，当时，，；时，，，若，则，，此时有；当时，，；时，，，若，则，时，有；由于，所以，故不存在，，使得，所以与不具有关系.山东省泰安市部分学校2025届高三上学期摸底考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（）A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项〖答案〗D〖解析〗根据数列1，，，，3，…，，又，,解得，故选:D.2.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗由图可知：阴影部分表示的集合为.因为集合，所以，则，所以阴影部分表示的集合的子集个数为.故选：B.3.在研究变量与之间的相关关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，…，，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据误差较大，剔除这对数据后，求得的经验回归方程为，且，则（）A.13.5 B.14 C.14.5 D.15〖答案〗A〖解析〗因为，剔除异常数据数据后，，因为点在直线上，所以，解得，设利用原始数据求得的经验回归直线过点，则，因为，所以.故选：A.4.设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗由运算“△”和“▽”知，表示数、比较小的数，表示数、比较大的数．当，时，，故选项A、C错误；当时，，故选项B错误．∵，且，∴，∵，，∴，故选项D正确．故选：D.5.已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为圆，圆心为，半径为，即，因为为直角三角形，所以,设圆心到直线的距离为，，由弦长公式得，所以，化简得.故选：A.6.已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（）A.2 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易得的斜率为，由切线斜率的几何意义得，且已知函数为奇函数，可得，两侧同时求导得，故，故A正确.故选：A.7.在中，若，记，，，则下列结论正确的是（）.A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，作，，则，∴四边形是平行四边形，∴，设的边上的高为，的边上的高为，则，∴，即，∴，∴，∴.故选:C.8.圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图所示放置的边长为1的正方形（正方形的顶点A和点P重合）沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路程为（）A2π B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设第i（）次滚动后A点位置为，结合图形，可知3次或4次滚动后，A点再次达到圆周处，则第7次或第8次滚动后，A点达到圆周，第11次或第12次滚动后A第一次回到点P的位置，相当于正方形在圆内滚动了三圈.因为圆O的半径r＝1，正方形的边长a＝1，所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为，正方形在圆周上滚动时，点的位置如图所示，设第i（）次滚动点A的路程为，则，又，所以点A所走过的路程为．故选：D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么可能经过（）个小时会“药物失效”．（参考数据：）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗CD〖解析〗依题意药物实验中，血液中药物含量为，即药物含量为，设至少经过个小时才会“药物失效”，根据题意可得，两边取对数得，可得，所以至少经过个小时才会“药物失效”，故符合题意的有C、D.故选：CD.10.设数列，满足，，则下列函数使得，有相等的项的是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，若，则，所以，此时，符合题意，故A正确；对于B，若，则，，所以，此时，不可能有相等的项，故B错误；对于C，若，则，，所以，此时，符合题意，故C正确；对于D，若，则，，所以，此时，不可能有相等的项，故D错误，故选：AC.11.如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，点P为圆弧上一动点（点P与点A，D不重合），则（）A.存在值，使得B.三棱锥体积的最大值为C.当时，异面直线与所成角的余弦值为D.直线与平面所成最大角的正弦值为〖答案〗BCD〖解析〗对于A选项，由题意知，若，，平面，则平面，又平面，所以，不成立，故A不正确；对于B选项，在三棱锥中，半圆面，所以，三棱锥即三棱锥是为高，为底面的三棱锥，当点是半圆弧的中点时，三棱锥的底面积S△PAD取得最大值，三棱锥的体积取得最大值为，故选项B正确；对于选项C：当时，则为的中点，以的中点为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，可得，则，故异面直线与所成角的余弦值为，所以C正确；对于D选项，取的中点，过点P作于点，连接，由题意知，平面，平面，，又因为，，平面，可得平面，所以为在平面内的射影，则为直线与平面所成的角，设，则，在Rt中，，又平面，平面，所以，又面，所以面，又面，所以，所以，故，令，则，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以，则，所以直线与平面所成最大角的正弦值为.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.若随机变量，且，则_________．〖答案〗0.26〖解析〗因为，所以．13.如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则______．〖答案〗〖解析〗设，，则，，又，，所以．14.设是正实数，若函数在上至少存在两个极大值点，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗令，解得，.若在上无极大值点，则存在实数，使得，整理得到，解得，因为且存在，故，或，故或.若在上有且只有一个极大值点，则存在实数，使得，或，解得①或者②，对于①，因且存在，故且，故整数满足，当时，，当时，，当时，，故对于②，同理可得，综上，在上无极大值点和有且只有一个极大值点时，.故函数在上至少存在两个极大值点，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前n项和为，且．（1）求通项公式；（2）若数列满足，求数列的前2n项和．解：（1）当时，，当时，，因为也符合上式．所以．（2）由（1）可知，所以．16.如图，三棱台，平面平面，与相交于点，且平面．（1）求三棱锥的体积；（2）平面与平面所成角为与平面所成角为，求的值．解：（1）由题意，平面平面，且平面平面平面，平面，平面，，又平面，平面．连接，平面平面，平面平面，，，，．三棱锥底面三角形的面积为，高，其体积为：．（2）由题意及（1）得，以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，，则．设平面的法向量为，由，取，则，平面的一个法向量为，所以，，又因为，所以．．又，所以．17.设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，.（1）求的方程；（2）设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明：（ⅰ）为定值；（ⅱ）直线恒过定点.（1）解：由焦半径公式知：，，的方程为：.（2）证明：