2023-2024学年吉林省G6教考联盟高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省G6教考联盟2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题本试卷共6页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.答题时请按要求用笔.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8小题，每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗命题“，”的否定是“，”.故选：C.3.函数的图像为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数的定义域为，且，函数为奇函数，A选项错误；当时，，函数单调递增，故BC选项错误.故选：D.4.已知函数，则（）A.5 B.4 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.令，可得，解得.故选：A.5.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A，令，得，无解，所以函数不是“不动点”函数，故A不正确；

对于B，令，不难看出是该方程的根，

所以是“不动点”函数，故B正确；

对于C，令，即.

令，则，令，解得,

当时，，在单调递减，

当时，，在单调递增，

所以，

所以方程无解，

所以函数不是“不动点”函数，故C不正确；

对于D，令,得，

因为，

所以方程无解，

所以函数不是“不动点”函数，故D不正确.

故选:B.6.7名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有（）种.A.720 B.1050 C.1440 D.360〖答案〗B〖解析〗由题意可知,7名研究员的安排可以是按人数为分为3组分到三个研究舱,

或者是按人数为分为3组分到三个研究舱,

按人数为分为3组分到三个研究舱,共有(种)安排方案,

按人数为分为3组分到三个研究舱时,共有(种)安排方案,

故共有(种)安排方案.

故选:B.7.已知正数，满足，则下列说法不正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则，对于A，，所以A正确，对于B，因为在上递增，且，所以，即，即，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，所以C错误，对于D，，因为31312所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以D正确，故选：C8.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，，对于两边取对数得，构造函数，则，令，则，即在单调递增；令，则，即在单调递减；所以，即.因为，所以.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的命题是（）A.在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数越大，则样本的线性相关性越强B.在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则C.在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越小D.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3〖答案〗BCD〖解析〗对于A，相关系数的绝对值越大，样本的线性相关性越强，故A错误；对于B，回归直线方程中，，故B正确；对于C，在回归分析中，相关指数越大，残差平方和越小，回归效果就越好，故C正确；对于D，，两边取对数，可得，则，，，所以，故D正确.故选：BCD.10.下列命题是真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若正实数满足，则的最小值为6〖答案〗BD〖解析〗对于A项,当时，满足，但没有意义，故A项为假命题;

对于B项,因为,所以，当且仅当,故B项为真命题;对于C项,,因为,所以，但的符号不确定，若取,则，此时,即,故C项为假命题;

对于D项,若正实数满足,则,解得,同理,

则,当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6，故D项为真命题．故选:BD.11.已知定义在上的函数满足，且若，则（）A. B.的对称中心为C.周期函数 D.〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以，所以，即，所以是周期为4的周期函数，则C正确；令，得，则，从而，故A错误；因为，所以，所以，所以的图象关于直线对称，的对称中心为错误，则B错误；以上求得的周期为4，且其图象关于直线及对称，则直线及均为图象的对称轴，从而，得，即，则，故，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式的常数项为________.（用数字作答）〖答案〗〖解析〗的展开式通项为，令，解得，所以，展开式中的常数项为.故〖答案〗为：.13.已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数取值范围为_________．〖答案〗〖解析〗因为对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，所以函数在上单调递减，又因为当时，，作出的图象，如图所示：由此可得函数在和上单调递减，又因为当时，，且函数在上单调递减，所以，解得．故〖答案〗为：．14.有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是_________．〖答案〗〖解析〗记事件表示从第，2，，个盒子里取出白球，则，，所以，，进而可得，，所以，又，，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故从第个盒子中取到黑球的概率是为：．故〖答案〗为：．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知幂函数图像关于轴对称，且在上单调递增.（1）求值及函数的〖解析〗式；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由幂函数在上单调递增知,,解得,又,则.当或时，，不符合的图像关于轴对称，故舍去.当时，，图像关于轴对称，符合题意.综上所述，.（2）由（1）得，为偶函数，且在上单调递增，因为,所以,两边平方，得,化简得，解得或，故实数的取值范围为.16.设函数，其中，曲线在点处的切线垂直于轴.（1）求的值；（2）求函数的极值.解：（1）的定义域为，且，因为曲线在点处的切线垂直于轴，所以，即，解得.（2）由(1)可得，则f'令，解得；令，解得，则在上单调递增，在上单调递减，故有极大值，无极小值.17.目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩，只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节.（1）利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中，进入面试的人数（结果只保留整数）；（2）现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，设这3名考生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：若，则，，.解：（1）由题意可知，

则，

则共，即人进入面试.（2）由题意可知，随机变量的可能取值有，甲、乙、丙3名考生没通过面试的概率分别为,

则，,

​​​​​​​,,故随机变量的分布列为：X0123P故.18.在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人.男生女生合计喜欢食堂就餐不喜欢食堂就餐10合计100（1）将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关；（2）该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率.（3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为.事件“”的概率为，求使取得最大值时的值.参考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）列联表见图，男生女生合计喜欢食堂就餐402060不喜欢食堂就餐103040合计5050100零假设:假设食堂就餐与性别无关，由列联表可得，根据小概率的独立性检验推断不成立，即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关（2）记事件：小林同学星期三选择了①号套餐，事件：小林同学星期五选择了②号套餐,由全概率公式可得（3）由题意可知，抽取的10名学生，喜欢饭堂就餐的学生人数服从二项分布，且喜欢饭堂就餐的频率为,则,且，设，若,即即解得，若即解得所以当时,当时,因为所以,即使取得最大值的值为6.19.已知函数（是自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个零点分别为.①求实数的取值范围；②求证：.解：（1）由题意可得，，当时，，在上单调递增；当时，由解得，由解得，所以，在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）①等价于有两个零点，令，则，在时恒成立，∴在时单调递增，∴有两个零点，等价于有两个零点.∵，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点；当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减，∴，若，得，此时恒成立，没有零点；若，得，此时有一个零点；若，得，∵，，记，则，记，则，所以在上单调递增，所以，即，故在上单调递增，所以，即，∴在，上各存在一个零点，符合题意，综上，的取值范围为.②因为，不等式两边同时取对数化简可得，要证即证：，即证，由（2）中①知，，∴只需证.∵，，∴，，∴，只需证.设，令，则，∴只需证，即证，令，，则，，即当时，成立.∴，即.吉林省G6教考联盟2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题本试卷共6页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.答题时请按要求用笔.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8小题，每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗命题“，”的否定是“，”.故选：C.3.函数的图像为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数的定义域为，且，函数为奇函数，A选项错误；当时，，函数单调递增，故BC选项错误.故选：D.4.已知函数，则（）A.5 B.4 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.令，可得，解得.故选：A.5.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A，令，得，无解，所以函数不是“不动点”函数，故A不正确；

对于B，令，不难看出是该方程的根，

所以是“不动点”函数，故B正确；

对于C，令，即.

令，则，令，解得,

当时，，在单调递减，

当时，，在单调递增，

所以，

所以方程无解，

所以函数不是“不动点”函数，故C不正确；

对于D，令,得，

因为，

所以方程无解，

所以函数不是“不动点”函数，故D不正确.

故选:B.6.7名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有（）种.A.720 B.1050 C.1440 D.360〖答案〗B〖解析〗由题意可知,7名研究员的安排可以是按人数为分为3组分到三个研究舱,

或者是按人数为分为3组分到三个研究舱,

按人数为分为3组分到三个研究舱,共有(种)安排方案,

按人数为分为3组分到三个研究舱时,共有(种)安排方案,

故共有(种)安排方案.

故选:B.7.已知正数，满足，则下列说法不正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则，对于A，，所以A正确，对于B，因为在上递增，且，所以，即，即，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，所以C错误，对于D，，因为31312所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以D正确，故选：C8.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，，对于两边取对数得，构造函数，则，令，则，即在单调递增；令，则，即在单调递减；所以，即.因为，所以.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的命题是（）A.在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数越大，则样本的线性相关性越强B.在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则C.在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越小D.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3〖答案〗BCD〖解析〗对于A，相关系数的绝对值越大，样本的线性相关性越强，故A错误；对于B，回归直线方程中，，故B正确；对于C，在回归分析中，相关指数越大，残差平方和越小，回归效果就越好，故C正确；对于D，，两边取对数，可得，则，，，所以，故D正确.故选：BCD.10.下列命题是真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若正实数满足，则的最小值为6〖答案〗BD〖解析〗对于A项,当时，满足，但没有意义，故A项为假命题;

对于B项,因为,所以，当且仅当,故B项为真命题;对于C项,,因为,所以，但的符号不确定，若取,则，此时,即,故C项为假命题;

对于D项,若正实数满足,则,解得,同理,

则,当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6，故D项为真命题．故选:BD.11.已知定义在上的函数满足，且若，则（）A. B.的对称中心为C.周期函数 D.〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以，所以，即，所以是周期为4的周期函数，则C正确；令，得，则，从而，故A错误；因为，所以，所以，所以的图象关于直线对称，的对称中心为错误，则B错误；以上求得的周期为4，且其图象关于直线及对称，则直线及均为图象的对称轴，从而，得，即，则，故，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式的常数项为________.（用数字作答）〖答案〗〖解析〗的展开式通项为，令，解得，所以，展开式中的常数项为.故〖答案〗为：.13.已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数取值范围为_________．〖答案〗〖解析〗因为对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，所以函数在上单调递减，又因为当时，，作出的图象，如图所示：由此可得函数在和上单调递减，又因为当时，，且函数在上单调递减，所以，解得．故〖答案〗为：．14.有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是_________．〖答案〗〖解析〗记事件表示从第，2，，个盒子里取出白球，则，，所以，，进而可得，，所以，又，，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故从第个盒子中取到黑球的概率是为：．故〖答案〗为：．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知幂函数图像关于轴对称，且在上单调递增.（1）求值及函数的〖解析〗式；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由幂函数在上单调递增知,,解得,又,则.当或时，，不符合的图像关于轴对称，故舍去.当时，，图像关于轴对称，符合题意.综上所述，.（2）由（1）得，为偶函数，且在上单调递增，因为,所以,两边平方，得,化简得，解得或，故实数的取值范围为.16.设函数，其中，曲线在点处的切线垂直于轴.（1）求的值；（2）求函数的极值.解：（1）的定义域为，且，因为曲线在点处的切线垂直于轴，所以，即，解得.（2）由(1)可得，则f'令，解得；令，解得，则在上单调递增，在上单调递减，故有极大值，无极小值.17.目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩，只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节.（1）利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中，进入面试的人数（结果只保留整数）；（2）现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，设这3名考生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：若，则，，.解：（1）由题意可知，

则，

则共，即人进入面试.（2）由题意可知，随机变量的可能取值有，甲、乙、丙3名考生没通过面试的概率分别为,

则，,

​​​​​​​,,故随机变量的分布列为：X0123P故.18.在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人.男生女生合计喜欢食堂就餐不喜欢食堂就餐10合计100（1）将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关；（2）