第三章 函数的概念与性质 综合练习-高一年级上册数学人教A版（2019）必修第一册

函数的概念与性质综合练习

共22道题，满分150分

一、单项选择题（每道题5分，共40分）

1.已知函数y=ax-4+l（a>0且a卢1）的图象恒过定点P若点P在毒函数

f（x）的图象上，则基函数f（x）的图象大致是（）.

2.函数f(x)二五次+之的定义域为()

X

A.(-8。)B.(0,l]

C.(-oo,l]D.(-oo,0)U(0,l]

3.在下列四组函数中,f(x)与g(x)表示同一函数的是().

y21

A.f(x)=x-l,g(x)=—

B.f(x)=|x+l|,g(x)=『；：U：，

L工-A,AJ.

C.f(x)=l,g(x)=(x+1)°

D.f(x)=(W)：g(x)二高

4.已知函数f(x)=｛；H：1'且f(x)=3厕x的值是().

A.2B.|C.2或］D.2或:

5.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出：

x123

f(x)131

x123

g(x)321

则满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是().

A.1B.2c.3D.1和2

6.已知函数以)=｛耍:*吃)是定义在R上的奇函数，则g(x)=()­

A.VxB.-Vx

C.V^xD.-V^x

7.已知函数f(x)是定义在区间[-a-l,2a]上的偶函数，且在区间[0,2a]上单

调递增，则不等式f(x-l)<f⑻的解集为().

A.[-l,3]B.(0.2)

C.(0,l)U(2,3]D,[-l,0)U(1,2)

8.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定:每位职工每月用水量

不超过10立方米的，按每立方米m元收费;用水量超过10立方米的,

超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工

这个月实际用水量为().

A.13立方米B.14立方米

C.18立方米D.26立方米

二、多项选择题(每道题5分，共20分)

9.若函数f(x)=(3m2-10m+4)xm是塞函数，则f(x)一定().

A.是偶函数

B.是奇函数

C.在x£(-8,0)上单调递减

D.在x£(-8,0)上单调递增

10.已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成，则().

A.t(f(l))=3

B.f(2)>f(0)

C.f(x)=-x+l+2|x-l|,xG[0,4]

D.ma>0不等式f(x)Wa的解集为停,2〕

11.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x》0时,f(x)=x-x；则下列说

法正确的是().

A.f(-l)=0

B.f(x)在(-L0)上是增函数

C.f(x)>0的解集为Q1)

D.f(x)的最大值为［

12.把定义域为［0,+8)且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Q函

数”：⑴对任意的x£［0,+8),总有心田0；⑵若xN0,yN0,则有

f(x+y)2f(x)+f(y)成立.下列判断错误的是().

A若f(x)为“Q函数”，则f(0)=0

B.若f(x)为“Q函数”很卜(x)在。+8)上一定是增函数

fO.xEQ,

C.函数g(x)=I*&Q在。+8)上是“Q函数”

D.函数g(x)二冈在［0,+8)上是“Q函数”(冈表示不大于x的最大整数)

三、填空题(每道题5分，共20分)

13.函数f(x)二景的定义域是.

14.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定:如果顾客选购物品的总金

额不超过600元，则不享受任何折扣优惠;如果顾客选购物品的总金额

超过600元,则超过600元的部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下

表累计计算.

可以享受折扣折扣优

优惠金额惠率

不超过1100

5%

元部分

超过1100元

10%

部分

某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元,则他实际所付金额为

元.

15.已知偶函数f(x)=x?+bx+c,写出一组使得f(x)22恒成立的b,c的取

值:b=,c=.

16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时,f(x)=x2-2ax+a,其中

aER.

①代)=-----；

②若f(x)的值域是R,则实数a的取值范围是.

四、解答题(17题10分，18-22题12分，共70分)

17给出关于函数f(x)的一些限制条件:①在(0,+8)上单调递减;②在(・

8,0)上单调递增;③是奇函数;④是偶函数⑤f(0)二0.在这些条件中，选

择必需的条件，补充在下面的问题中.

定义在R上的函数f(x),若满足(填写你选定的条件的序号)，且

f(-l)=0,求不等式f(x-l)>0的解集.

⑴若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号,并说明理由；

⑵若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号;(不必

说明理由)

⑶求解问题⑵中选定条件下不等式的解集.

18.已知函数y二f(x)是R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x?-ax+4.

⑴求y=f(x)的解析式；

(2)求不等式f(x)tx+3的解集.

19.对于任意的实数a,b,min{a,b}表示atb中较小的那个数，即

min{a,b}J；；Q心’已知函数f(x)=3-x2,g(x)=l-x.

7D.

⑴求函数f(x)在区间［-1口上的最小值；

⑵设h(x)=min{f(x),g(x)},x£R,求函数h(x)的最大值.

20.已知函数f(x)二岩是定义在(-3,3)上的奇函数，且f(l)=i

V-Xo

⑴确定f(x)的解析式；

⑵判断f(x)在(-3,3)上的单调性，并用定义证明;

⑶解不等式f(t-l)+f(2t)<0.

21.某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每

喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位:亳克/立方米）随着

14~~,0<x<4,

时间x（单位:天）变化的函数关系式近似为y二28v若多次

-X+2,<X41,

喷洒,则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时

刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4毫克

/立方米时,才能起到去污作用.

⑴若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？

⑵若第一次喷洒2个单位的去污剂,6天后再喷洒a（lWaW4）个单位

的去污剂,要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值.

22已知f(x)的定义域为R,对任意x.yGR都有f(x+y)=f(x)+f(y)-l,当x>0

时,f(x)<l,f⑴=0.

⑴求f(F

⑵试判断f(x)在R上的单调性拼证明.

⑶解不等式:f(2x2-3x-2)+2f(x)>4.

参考答案

1.B【解析】由x-4=0,得x=4,y=2,即定点为P(4,2).设毒函数f(x)=xa,

则4a=2得。弓1,所以f(x)二转1故选B.

2.D【解析】要使函数f(x)有意义，则旨a.・.xWl且xKO,・・.f(x)

的定义域为(-80)U((U],故选D.

3.B【解析】对于A,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|xW-l},两个

函数的定义域不相同，所以A不是同一函数;

对于B,f(x),g(x)的定义域都为R,而f(x)=仔J与g(x)的对应关

(一人-A,%<一JL,

系相同，所以B是同一函数；

对于C,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|xK-l},两个函数的定义域

不相同，所以C不是同一函数；

对于D,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x声0},两个函数的定义域不

相同，所以D不是同一函数.

4.D【解析】结合函数的解析式分类讨论.

当x>l时,f(x)=x+1=3,「.x=2,满足题意；

当x<l时,f(x)=4x=3,••.xq满足题意.

综上可得,x的值是2或*

5.B【解析】当x=l时,f(g⑴尸f⑶=l,g(f⑴用g⑴=3,不符合题意;

当x=2时,f(g⑵)=f(2)=3,g(f⑵尸g⑶=L符合题意；

当x=3时,f(g⑶户f⑴=l.g(f⑶尸g⑴=3,不符合题意.

综上，满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为2.

6Q【解析】因为帏爆康°&

当x<0时,-x>0,所以f(-x)=V^x,

又函数f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(-x)=-f(x),故f(x)=-G=g(x).

7.B【解析】因为函数f(x)是定义在区间［-a-l,2a］上的偶函数，所以-

a-l+2a=0,解得a二L所以不等式f(x-l)<f⑻可化为f(|x-l|)<f⑴.因为f(x)

在区间［0,2a］上单调递增，所以解得0<x<2.

8.A【解析】设该职工这个月的用水量为x立方米需要缴纳的水费

为f(x)元，

当0WXW10时,f(x)=mx,

当x>10时,f(x)=10m+(xd0)x2m=2mx-10m,

柏f/<x<10,

>10,

据此分类讨论:

当OWxWlO时，令mx=16m,解得x=16,不符合题意,舍去;

当x>10时，令2mx-10m=16m,解得x=13,符合题意.

综上可得,该职工这个月实际用水量为13立方米.

9.BD【解析】因为函数f(x)=(3m2-10m+4)xm是鬲函数，所以3m2-

10m+4=l,解得m=3或m^,所以⑼力或f(x)二户由事函数的性质

知,f(x)是奇函数且在R上单调递增.

1O.AC【解析】因为f⑴=0,f(0)=3,所以f(f(l))=3,所以A正确.

因为f(0)=3,0<f⑵<3,所以f⑵<f(0),所以B错误.

由题图得，当xE[O,0时，设解析式为y尸k】x+b】(k廿0),因为图象经过

(1,0),(0.3)两点，

所以《二M°,解得由二33所以丫尸39;

当xE[l,4]时，设解析式为y2=kzx+bjk2k0),因为图象经过(1,0),(4,3)两

点，所咪MV=°3解得信二所以三口

故f(x)=-x+l+2|x-l|,xE[0,4],所以C正确.

由选项C得f⑵=2-1二l,f仔二3-|二I，如图所示,所以不存在大于零的a.

使得不等式f(x)Wa的解集为停,2],故D错误.

11.AD【解析】由题意得f(-l)=f⑴=二0,故A正确；

当X20时,f(x)=xd在(0()上是增函数，在(，+8)上为减函数因为

函数f(x)是定义在R上的偶函数所以f(x)在上是增函数，在(一

表0)上是减函数故B不正确；

当x20时面f(x)=x-x2>0,可得0<x<l,因为函数f(x)是定义在R上的偶

函数，所以当x<0时，由f(x)>0,可得-l<x<0,所以f(x)>0的解集为(-

[。)口(0,1),故©不正确；

2

当X20时，由f(x)=X-X2=-(%-1)+河知，当时,f(x)max二捆为函数f(x)

是定义在R上的偶函数，所以f(x)在R上的最大值为点故D正确.

12.BC【解析】若函数f(x)为“Q函数”，若满足条件⑴,则f(O)NO,若

满足条件⑵，当x=y=0时f(O)Nf(O)+f(O),解得f⑼这。若同时满足条件

⑴⑵，则f(0)=0,故A正确;

若函数f(x)是常函数如f(x)=0,x£[0,+8),同时满足条件。乂2),但不是增

函数，故B不正确；

当x=&,y=V3

时,g(或尸l,g(百户l,g(6+B)=Lg(a+b)<g(V^)+g(V5),不满足条

件⑵，所以g(x)在[0,+8)上不是“Q函数”，故c不正确；

g(x)二冈的最小值是0,显然符合条件⑴，设[0,+8)上的每一个数都由整

数部分和小数部分两部分构成，设X的整数部分是m,小数部分是n,即

x=m+n厕冈二m,设y的整数部分是a,小数部分是b,即y=a+b,[y]=a,当

n+b没有进到整数位时,[x+y]=m+a,若n+b进到整数位

时,[x+y]=m+a+1,所以[x+y]\冈+[y],所以函数g(x)二冈满足条件⑵，所

以g(x)二冈在0+8)上是“Q函数”，故D正确.

13.[3,4)U(4+00)【解析】由｛tV得3Wx<4或x>4.

14.1120【解析】由题意可知，折扣金额V元与购物总金额x元之间

0,0<x<600,

的解析式为y=0.05(x-600),600<%<1100,

0.1(x-1100)+25,x>1100.

•・•y=30>25,「・x>1100,A0.1(X-1100)+25=30,

解得x=1150,由1150-30=1120知，

此人购物实际所付金额为1120元.

15.04(答案不唯一)【解析】由题意，函数f(x)=x2-bx+c为偶函数,

则f(-x)=f(x),

即(-xy+b(-x)+c=x2+bx+c,可得b=0,所以f(x)=x2+c,

又由f(X)N2恒成立，所以f(X)min22,即CN2.

16.-；(-oo,0]U[l+oo)【解析】①由题意，函数f(x)是定义在R上的

q

2

奇函数，当x>0时,f(x)=x2-2ax+a,则O=-奄)二-G)-2ax1+

i

a=­.

4

②若函数f(x)的值域为R,由函数f(x)的图象关于原点对称，可得当x>0

时，函数f(x)=x2-2ax+a的图象与x轴有交点，则△=(2a)2-4aN0,解得

aWO或aNl,即实数a的取值范围是(-8Q]u[l,+8).

17•【解析】(1)若不等式f(x-l)>0的解集为空集，即f(x-l)W0恒成立.

因为f(-1)=0,所以函数f(x)不可能单调递增或单调递戒所以①②都不

能选.

选③④时,f(x)的表达式为f(x)=O,不等式f(x-l)>0的解集为空集.

所以选③®.

⑵若不等式f(x-l)>0的解集是非空集合，可选择条

件:①©；①®⑤②®:②@⑤

(3)若选择①③因为f(x)是奇函数所以f(O)=O,f(-x)=-f(x),Xf(-l)=0,所

以f⑴二0,

又f(x)在(0,+8)上单调递减，所以f(x)在(-8,0)上单调递减，

由f(x-l)>0,得x-l<-l或0<x-l<l,

解得x<0或lvx<2,

所以不等式f(x-l)>0的解集为(一8°)u(l,2).

若选择①④@：由于f(x)是偶函数,f(：)=0,则")=0,

又f(X)在(0,+8)上单调递戒，所以f(x)在(-8Q)上单调递墙

由f(x-l)>0,:f#-l<x-l<0或0<x-l<l,

解得0<x<2且x#l,

所以不等式f(x-l)>0的解集为(0,1)n(1,2).

若选择②③因为f(x)是奇函数所以f(0)=0,f(-x)=-f(x),Xf(-l)=0,所以

又f(x)在(-8。上单调递增，所以f(x)在(0,+8)上单调递增，

由f(x-l)>0,得-l<x-l<0或x-l>l,

解得0<x<l或x>2,

所以不等式f(x-l)>0的解集为(0,l)U(2,+8).

若选择②④⑤:由于f(x)是偶函数f(-D=0,则f⑴二

又f(x)在(-8。上单调递增，所以f(x)在(0,+8)上单调递减.

由f(x-l)>0,得-l<x-l<0或0<x・l<L

解得0<x<2且xXl,

所以不等式f(x-l)>0的解集为(0,l)U(L2).

18.【解析】(1)因为函数y=f(x)是R上的奇函数,

所以f(O)=O,f⑴=-f(-l)=l,

所以l-a+4=l,解得a=4,

所以当x>0时,f(x)=x2-4x+4.

令x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2-4(-x)+4=x2+4x+4,

因为函数y=f(x)是R上的奇函数，

所以f(x)=-f(-x)=-x2-4x-4.

X2-4X+4,x>0,

0,x=0,

{-X2-4X-4,X<0.

⑵当x>0时，原不等式可化为X2-4X+4<|X+1,

整理并化简得(x-l)(2x-7)<0,解得l<x<^;

当x=0时，原不等式可化为0<5显然成立；

当x<0时，原不等式可化为-x2-4x-4gx+1,

整理并化简得(x+3)(2x+3)>0,解得x<-3或-|<x<0.

综上，原不等式的解集为(-8,-3)U(-

19.【解析】⑴因为f(x)=3-2在［-1,0］上单调递增，在(0口上单调递减，所

以f(x)在［-1,1］上的最小值为f(-l)=f(l)=2.

⑵当g(x)=1-XW3-X2=f(x),即-1WXW2时,h(x)=l-x;

当g(x)=l-x>3-x2=f(x),SPx<-l或x>2时,h(x)=3-x：

作出函数h(x)的图象如图所示，

由图可知,h(X)在(-00,-1)上单调递增，在［-L+8)上单调递减，即

h(x)Wh(-l)=2.

所以当x=-l时,h(x)取得最大值，最大值为2.

20•【解析】(1)由函数f(x)二岩是定义在(-3,3)上的奇函数，可知

f(0)二T=0,解得b=0,经检验，当b=0时,f(x)二言是(-3,3)上的奇函数，满

足题意.

又f⑴二言4解得a.

故f(x)二盘,xE(-3,3).

⑵f(x)在(-3,3)上为增函数,证明如下:

在(-3,3)内任取XM,且x1<X2,则f(X2)-f(x»二羲一^二(箕墨蓍)

VX2-XI>0,9+XIX2>0,9-%I>0,9-X2>0.

・・・f(X2)-f(Xi)>0,即f(x2)>f(xi),

・・・财在(-3,3)上为增函数.

(3)vf(t-l)+f(2t)<0,Af(t-l)<-f(2t),

又・・叶仪)是(-3,3)上的奇函数

由⑵知f(x)在(・3,3)上为增函数，

-3<t-1<3,

故-3V2V3,解得一|<©

t-1<-2t,

即te(一姿

故原不等式的解集为Git).

21•【解析】(I)：一次喷洒4