安徽省马鞍山市2025届高三数学第三次教学质量监测试题文含解析

PAGE23-安徽省马鞍山市2025届高三数学第三次教学质量监测试题文（含解析）本试卷4页.考试时间120分钟.留意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如须要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试题卷上.3.非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准运用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必需保证答题卡的整齐.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题.1.已知集合，，则（）A. B.或 C. D.【答案】B【解析】【分析】依据集合并集的概念求解.【详解】因为，，如图所示：则或.故选：B【点睛】本题考查集合并集的运算，属于简洁题，借助数轴求解即可.2.已知复数满意（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出复数，再依据复数的几何意义，即可得答案；【详解】，在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算及复数的几何意义，考查运算求解实力，属于基础题.3.命题：，，则命题是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】原命题是全称命题，其否定为存在性量词命题，故按规则可写出原命题的否定.【详解】因为：，，故：，.故选：C.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性量词命题的一般形式是，，其否定为.4.2名男同学和1名女同学随机排成一行照相，则2名男同学不相邻的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】算出3名同学排成一排的排法，再计算2名男同学不相邻的排法，依据古典概型的概率计算公式可得所求的概率.【详解】设2名男同学为，一名女同学为，3名同学排成一排，共有种排法，排法如下：，，其中2名男同学不相邻的排法有：，故所求的概率为，故选：B.【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，关键是基本领件的总数和随机事务中基本领件的个数的计算，计算时可采纳枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据三视图可知该几何体的直观图为一个正方体切掉个球，然后依据公式计算即可.【详解】依据三视图可知该几何体的直观图为一个正方体切掉个球

正方体体积为，个球的体积为所以该几何体的体积为故选：A【点睛】本题考查三视图的还原以及几何体的体积，考查空间想象实力，属基础题.6.德国闻名天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另个是黄金分割.假如把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”现将底与腰之比或腰与底之比为的等腰三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形如图，，，都是黄金三角形，若，则的大小为（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】依据题意可得，可知然后依据，计算即可.【详解】由题可知：，又所以，则又，所以故选：C【点睛】本题考查新定义的理解，审清题意，细心计算属基础题.7.将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数的解析式，再求将所得图象向左平移个单位长度得到的函数的解析式.【详解】将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.8.在中，为上一点，且，，若，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用，进一步用表示，然后简洁计算推断即可.【详解】由题可知：，，则为在上靠近点的三等分点，为的中点所以，又所以所以，故选：C【点睛】本题考查向量的基地表示，运用三角形法则以及平行四边形法则，娴熟向量的加法法则、减法法则，属基础题.9.已知正方体的棱长为，直线平面，平面截此正方体所得截面中，正确的说法是（）A.截面形态可能为四边形 B.截面形态可能为五边形C.截面面积最大值为 D.截面面积最大值为【答案】D【解析】【分析】利用图形，该截面与平面平行，利用解除法可把A,B解除，当截面为正六边形时有面积最大，计算即可.【详解】如图在正方体中平面，所以平面与平面平行平面与正方体的截面可以是三角形、六边形但不会是五边形和四边形当截面为正六边形时，截面面积有最大，由题可知：，则故选：D【点睛】本题考查空间几何体的截面，考查空间想象实力，属基础题.10.已知函数是定义域为的偶函数，在上单调递减，则不等式的解集是（）A. B.（1，3） C. D.【答案】C【解析】【分析】依据是定义域为的偶函数可得的图象关于直线对称，再依据在上单调递减可得满意不等式，从而可得正确的选项.【详解】因为的图象是由的图象向左平移2个单位，而的图象关于轴对称，故的图象关于直线对称.由在上单调递减可得在上单调递增，故即为，也就是，所以或，解得或，故选：C．【点睛】本题考查函数不等式的解法，此类问题一般先依据函数单调性和图象的对称性去掉对应法则，解对数不等式时留意真数为正，本题属于中档题．11.已知正项等比数列中，，，表示数列的前项和，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先计算出数列的通项公式，再计算的前项和，并求的取值范围.【详解】因为，，且，所以公比，，则，，，所以是以为首项，公比为的等比数列，则的前项和当时，有最小值，又所以的范围是.故选：A.【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前项和，较简洁，只须要依据等比数列中的基本公式求解即可.12.在平面直角坐标系中，已知椭圆，过左焦点倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点，以，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别设出，的坐标，由题意可得，，再由，在椭圆上，把，的坐标代入椭圆方程，联立可得关于，的方程，结合隐含条件即可求得，的值．【详解】依题意，，设，，，，四边形为平行四边形，，又，，，又，且直线的倾斜角为，．，，，，．得，将的坐标代入椭圆方程，可得，①又，②联立①②解得：，．故椭圆方程为：故选：D【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查分析实力以及计算实力，属中档题.二、填空题13.等差数列中，公差，，，则________.【答案】5【解析】【分析】依据等差数列的通项公式和前项和公式，化简可得，由此即可求出结果.【详解】由题意可知，，又，所以所以所以，化简可得，所以.故答案为：5.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式的应用，属于基础题.14.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【分析】先求出渐近线的方程，再依据渐近线与已知直线垂直可求的关系，从而可求离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，因为其中一条与直线垂直，故，即，故即.【点睛】本题考查双曲线的离心率的计算，此类问题只要找到一组关系式即可，本题属于简洁题.15.口罩是一种重要的医疗物资，为确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转.设该工厂连续6天生产的口罩数量依次为，，，，，，（单位：万只）若，，，，，，的方差为1，且，，，，，的平均数为5，则该工厂这6天平均每天生产口罩________万只.【答案】2【解析】【分析】依据可求平均每天生产口罩只数.【详解】设方差为，则，其中为6天平均每天生产口罩只数，由题设有，故，所以，故答案为：2.【点睛】本题考查样本方差和样本均值的关系，两者常见的关系为，该公式可转化为，留意公式的合理运用.16.已知函数，则在点处的切线方程为________；若在上有唯一零点，则的值为________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义和直线的点斜式方程求得切线方程；（2）当时，易得.当，利用导数探讨的单调性，结合零点存在定理得到存在唯一的实数,使得,且在上，在上,，从而得到区间内单调递减，在区间单调递增,结合端点值分析，可得在上有唯一零点，,且，两式结合，并利用二倍角的余弦公式化简即可求得的值.【详解】（1）所以在点处的切线方程为；（2）,,当时，,当时，,∴是单调递增函数，又因为，,所以存在唯一的实数,使得,且在上，在上,综上所述，在区间内，在区间上,即区间内单调递减，在区间单调递增,又∵在上有唯一零点，,且,即,且,所以，故答案为：；.【点睛】本题考查利用导数的几何意义探讨函数的切线问题，利用导数探讨函数的单调性，进而探讨零点问题，涉及到二倍角公式，难点是对于再利用导数进行探讨，以及分段探讨思想.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第7~21题为必考题，每个试题考生都必需做答.第22、23题为选考题，考生依据要求做答.（一）必考题：17.在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，且.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题得，再利用余弦定理化简得，即得解；（2）设，先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解.【详解】（1）因为，所以，解得，又，故.（2）设则所以.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.18.如图，四棱锥的底面是菱形，，平面，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求四棱锥侧面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，由题意可知是正三角形，可证，由平面，可证，由线面垂直的判定定理即可证明结果；（2）连接，有勾股定理可证，在中，由余弦定理得，可得，即可求出，再依据对称性知：，，所以四棱锥的侧面积为，即可求出结果.【详解】（1）如图，连接，∵底面菱形，，∴正三角形.∵为的中点，∴.①又∵平面，平面，∴②又∵，③由①②③知：平面.（2）连接，易得，在中，∵，，在中，由余弦定理得，∴从而，又∵，由对称性知：，四棱锥的侧面积.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用，以及锥体侧面积的求法，属于基础题.19.某科研单位探讨人员对某种细菌的繁殖状况进行了探讨，发觉该细菌繁殖的个数（单位：个）随时间（单位：天）的改变状况如表l：123456510265096195表1令，与对应关系如表2：5102650961951.612.303.263.914.565.27表2依据表1绘制散点图如下：（1）依据散点图推断，与，哪一个更适合作为细菌的繁殖数量关于时间的回来方程类型（给出推断即可，不必说明理由）；（2）依据（1）的推断结果及表中数据，建立关于的回来方程（系数精确到0.01）；（3）若要使细菌的繁殖数量不超过4030个，请依据（2）的结果预料细菌繁殖的天数不超过多少天？参考公式：对于一组数据，，…，，其回来直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：，，，，，，，，【答案】（1）更适合；（2）；（3）细菌繁殖的天数不超过10天.【解析】【分析】（1）依据散点图的形态可干脆得到结果.（2）利用还原法，将非线性的转化为线性的，然后依据线性回来系数计算公式计算即可.（3）依据（2）的结论，计算即可.【详解】（1）依据散点图推断，更适合作为细菌的繁殖数量y关于时间x的回来方程类型（2）设，变换后可得，设，建立关于的回来方程，，所以关于的回来方程为，所以（3）当时，即所以，所以故细菌繁殖的天数不超过10天【点睛】本题考查非线性回来方程的应用，娴熟运用等价转化的思想将非线性的转化为线性的，考查计算实力，属中档题.20.已知动圆过点(2，0)，被轴截得的弦长为4.（1）求圆心的轨迹方程；（2）若的顶点在的轨迹上，且，关于轴对称，直线经过点，求证：直线恒过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设动圆圆心，由题意可得：，整理即可得到轨迹方程；（2）设直线的方程：，联立，得，列出韦达定理，再设直线的方程：，与抛物线联立，列出韦达定理，结合已知条件能证明直线恒过点．【详解】解：（1）设动圆圆心，由题意可得：，整理得：，所以，动圆圆心的轨迹的方程：（2）由题意，直线经过点，设，直线的方程：与抛物线方程联立：得到：，明显由根与系数关系：，再设直线的方程：，与抛物线联立：得到：，由对称性知：，又由根与系数关系：所以：，即，直线的方程：，直线恒过定点.【点睛】本题考查圆心的轨迹方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要仔细审题，留意抛物线定义、直线方程、韦达定理的合理运用，属于中档题．21.函数，，其中，是自然对数的底数.（1）若，求函数的最小值；（2）若时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）当时，，对函数求导，分析函数的单调性，可得的最小值，（2）令函数（），对函数求导，分析其导函数的正负，得出函数的单调性，可得出的取值范围.【详解】（1）当时，，∴，①当时，，在上单调递减；②当时，，在上单调递增.∴；（2）令（），则，∴，令，则，①当时，恒成立，可得在上单调递增，∴，∴恒成立，∴恒成立.②当时，当，，在上单减，当，，在上单增，则当时，，∴，时，.∴不是恒成立的.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查运用导函数探讨函数的单调性和最值，构造新函数解决不等式恒成立问题，属于较难题.（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的一般方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为1，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换，消参后得到曲线的一般方程，依据