江西省吉安市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题含解析

PAGE江西省吉安市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．不等式﹣x2+1＜0的解集是（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞±1} C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜1}2．某校高一年级有男生450人，女生550人，若在各层中按比例抽取样本，总样本量为40，则在男生、女生中抽取的人数分别为（）A．17，23 B．18，22 C．19，21 3．等差数列{an}前n项和为Sn，若a1002+a1020＝2，则S2024的值为（）A．2 B．2020 C．2024 4．用系统抽样的方法从全校800人中抽取40人做问卷调查，并将他们随机编号为0，1，2，3，…，799，已知第一组中采纳抽签法抽到的号码为15，则第三组抽取到的号码是（）A．25 B．35 C．45 5．如图是把二进制的数1111（2）化成十进制数的一个程序框图，则推断框内应填入的条件是（）A．i＜3 B．i≤3 C．i＞3 D．i6．2024年3月的中美高层战略对话中国代表的表现令国人激昂，印有杨洁篪“中国人不吃这一套”金句的T恤衫成为热销产品．某商场五天内这种T恤衫的销售状况如表：第x天12345销售量y（件）19395979104则下列说法正确的是（）A．y与x负相关 B．y与x正相关 C．y与x不相关 D．y与x成正比例关系7．从装有2个白球和3个红球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事务是（）A．至少一个白球，都是白球 B．至少有一个白球，至少有一个红球 C．至少一个白球，都是红球 D．恰有一个白球，恰有2个白球8．若a＞b＞0，m＜0，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．am2＜bm29．设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题不正确的是（）A．sinA＞sinB，则A＞B B．若sin2A＝sin2B，则A＝BC．若A，B，C成等差数列，则 D．若，则10．3.12日为植树节，某单位组织10名职工分成两组开展义务植树活动，以下茎叶图记录了甲、乙两组五名职工的植树棵数．下列说法，正确的是（）（参考公式：样本数据x1，x2…，xn的方差s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，其中x为样本平均数）A．甲组植树棵数的平均数不高于乙组植树棵数的平均数 B．甲组植树棵数的众数是9 C．乙组植树棵数的方差s2＝2 D．甲、乙两组中植树棵数的标准差s甲＞s乙11．如图，点A，B，C在半圆O上，AOCD为正方形，在图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．12．设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，若2acosB＝b+c，则的最小值为（）A．4 B． C．3 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．100与2024的最大公因数为．14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，具有世界意义的重要贡献．如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝3，n＝2，依次输入的a为2，3，4，则输出的s＝．15．函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围为．16．一个数列从其次项起，每一项与前一项的和都等于同一个常数，则称此数列为等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．设等和数列{an}的公和为3，前n项和为Sn，若S2024＝3032，则a1＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（Ⅰ）用掷两枚质地匀称的硬币做输赢嬉戏．规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个嬉戏是否公允？请通过计算说明；（Ⅱ）若投掷质地匀称的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他状况算乙胜，这个嬉戏是否公允？请通过计算说明．18．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，bcosA+（2c+a）cosB（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b＝，△ABC的周长为3+，求△ABC的面积．19．在等比数列{an}中，a2＝2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a2，a3+1，a4为等差数列{bn}的连续三项，其中b1＝a2，设数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＝155，求n的值．20．为了全面提高学生的体质健康水平，充分发挥体育考试的激励作用，吉安市今年中考体育考试成果以满分60分计入中招成果总分，其中1分钟跳绳是选考项目．某校体育组确定从九年级抽取部分学生进行跳绳测试，并将跳绳的次数按[60，80），[80，100），[100，120），[120，140），[140，160]分组，得到频率分布直方图（如图）已知图中从左到右的前四个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，0.15，第三小组的频数是24．（Ⅰ）求第五小组的频率和参与这次测试的学生人数；（Ⅱ）估计这次测试学生跳绳次数的中位数；（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此，估计参与这次测试学生跳绳的平均次数．21．已知数列{an}前n项和为Sn，满意Sn＝（n+q）an（q为常数），a1＝1．（Ⅰ）推断数列{an}是不是等差或等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an+3n﹣1}的前n项和Tn．22．动物园要围成相同面积的矩形虎笼两间，一面利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成（如图）．若每间虎笼的面积为24m2，墙长

参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．不等式﹣x2+1＜0的解集是（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞±1} C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜1}解：不等式﹣x2+1＜0可化为x2﹣1＞0，即（x+1）（x﹣1）＞0，解得x＜﹣1或x＞1，所以该不等式的解集是{x|x＜﹣1或x＞1}．故选：C．2．某校高一年级有男生450人，女生550人，若在各层中按比例抽取样本，总样本量为40，则在男生、女生中抽取的人数分别为（）A．17，23 B．18，22 C．19，21 解：依据分层抽样比例相等，计算应抽取男生40×＝18（人），抽取女生40×＝22（人）．故选：B．3．等差数列{an}前n项和为Sn，若a1002+a1020＝2，则S2024的值为（）A．2 B．2020 C．2024 解：由{an}是等差数列，得S2024＝（a1+a2024）＝（a1002+a1020）＝×2＝2024．故选：C．4．用系统抽样的方法从全校800人中抽取40人做问卷调查，并将他们随机编号为0，1，2，3，…，799，已知第一组中采纳抽签法抽到的号码为15，则第三组抽取到的号码是（）A．25 B．35 C．45 解：用系统抽样的方法从全校800人中抽取40人做问卷调查，并将他们随机编号为0，1，2，3，…，799，∴抽样间隔为：＝20，∵第一组中采纳抽签法抽到的号码为15，∴第三组抽取到的号码15+20×2＝55．故选：D．5．如图是把二进制的数1111（2）化成十进制数的一个程序框图，则推断框内应填入的条件是（）A．i＜3 B．i≤3 C．i＞3 D．i解：，第1次循环，s＝1，i＝1，第2次循环，s＝1+1×21，i＝2，第3次循环，s＝1+1×21+1×22，i＝3，第4次循环，s＝1+1×21+1×22+1×23，i＝4，结束循环，输出S．故选：B．6．2024年3月的中美高层战略对话中国代表的表现令国人激昂，印有杨洁篪“中国人不吃这一套”金句的T恤衫成为热销产品．某商场五天内这种T恤衫的销售状况如表：第x天12345销售量y（件）19395979104则下列说法正确的是（）A．y与x负相关 B．y与x正相关 C．y与x不相关 D．y与x成正比例关系解：依据表格中的数据作出图形，可知全部点都在一条直线旁边波动，是线性相关的，且y随着x值的增大而增大，即y与x正相关．故选：B．7．从装有2个白球和3个红球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事务是（）A．至少一个白球，都是白球 B．至少有一个白球，至少有一个红球 C．至少一个白球，都是红球 D．恰有一个白球，恰有2个白球解：装有2个白球和3个红球的口袋内任取2个球，对于A，至少一个白球，都是白球能同时发生，不是互斥事务，故A错误；对于B，至少有一个白球，至少有一个红球同时发生，不是互斥事务，故B错误；对于C，至少一个白球，都是红球是对立事务，故C错误；对于D，恰有一个白球，恰有2个白球不能同时发生，但能同时不发生，是互斥不对立事务，故D正确．故选：D．8．若a＞b＞0，m＜0，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．am2＜bm2解：＝＝，∵a＞b＞0，m＜0，∴b﹣a＜0，﹣m＞0，b（b﹣m）＞0，∴，即，故A选项错误，B选项正确，当m＝﹣0.5，a＝2，b＝1时，，故C选项错误，∵a＞b＞0，m＜0，∴am2＞bm2，故D选项错误．故选：B．9．设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题不正确的是（）A．sinA＞sinB，则A＞B B．若sin2A＝sin2B，则A＝BC．若A，B，C成等差数列，则 D．若，则解：对于A，在△ABC中，若sinA＞sinB，利用正弦定理：2RsinA＞2RsinB，即a＞b，则A＞B，故正确；对于B，若sin2A＝sin2B，则2sinAcosA＝2sinBcosB，即acosA＝bcosB，由余弦定理可得a•＝b•，整理可得c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），可得a2＝b2，或c2＝a2+b2，可得a＝b，或c2＝a2+b2，则A＝B，或C＝，故错误；对于C，由于A，B，C成等差数列，所以A+C＝2B，且A+B+C＝π，所以B＝，故正确；对于D，由题意设a＝m，b＝m，c＝2m，m＞0，则a2+b2＝c2，可得C＝，故正确．故选：B．10．3.12日为植树节，某单位组织10名职工分成两组开展义务植树活动，以下茎叶图记录了甲、乙两组五名职工的植树棵数．下列说法，正确的是（）（参考公式：样本数据x1，x2…，xn的方差s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，其中x为样本平均数）A．甲组植树棵数的平均数不高于乙组植树棵数的平均数 B．甲组植树棵数的众数是9 C．乙组植树棵数的方差s2＝2 D．甲、乙两组中植树棵数的标准差s甲＞s乙解：甲组植树棵树为8，9，9，11，11；乙组植树棵树为7，8，9，10，11．A选项，甲的平均数为，乙的平均数为，说法错误．B选项，甲组植树棵数的众数是9和11，说法错误．C选项，乙的方差为，说法正确．D选项，甲的数据更集中，标准差小，说法错误．故选：C．11．如图，点A，B，C在半圆O上，AOCD为正方形，在图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．解：通过割补法，知阴影部分的面积等于三角形ACD的面积，不妨设圆O的半径为1，则，，故所求概率为．故选：D．12．设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，若2acosB＝b+c，则的最小值为（）A．4 B． C．3 D．解：由余弦定理知，cosB＝，∵2acosB＝b+c，∴2a•＝b+c，化简得a2＝b2+bc，∴＝+＝1++≥1+2＝3，当且仅当＝，即b＝c时，等号成立，∴的最小值为3．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．100与2024的最大公因数为20．解：100＝2×5×2×5，2024＝2×2×5×101，可得100与2024的最大公因数为的最大公因数是2×2×5＝20．故答案为：20．14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，具有世界意义的重要贡献．如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝3，n＝2，依次输入的a为2，3，4，则输出的s＝31．解：由程序框图可得，第1次循环，s＝0×3+2＝2，第2次循环，s＝2×3+3＝9，第3次循环，s＝9×3+4＝31，循环结束，输出31．故答案为：31．15．函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围为[0，4]．解：函数y＝的定义域为R等价于kx2﹣2kx+4≥0恒成立，当k＝0时，明显成立；当k≠0时，由△＝4k2﹣16k≤0，得0＜k≤4，综上，实数k的取值范围为[0，4]．故答案为：[0，4]．16．一个数列从其次项起，每一项与前一项的和都等于同一个常数，则称此数列为等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．设等和数列{an}的公和为3，前n项和为Sn，若S2024＝3032，则a1＝2．解：因为an+an+1＝3，所以S2024＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+...+（a2024+a2024）＝a1+3×1010＝3032，可得a1＝2．故答案为：2．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（Ⅰ）用掷两枚质地匀称的硬币做输赢嬉戏．规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个嬉戏是否公允？请通过计算说明；（Ⅱ）若投掷质地匀称的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他状况算乙胜，这个嬉戏是否公允？请通过计算说明．解：（I）抛掷两枚质地匀称的硬币，样本空间Ω＝{（正正），（正反），（反正），（反反）}，记事务A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，则P（A）＝P（B）＝，故这个嬉戏是公允的，（II）抛掷三枚质地匀称的硬币，样本空间Ω＝{（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）}，记事务A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，则P（A）＝，P（B）＝，故这个嬉戏不公允．18．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，bcosA+（2c+a）cosB（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b＝，△ABC的周长为3+，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）因为bcosA+（2c+a）cosB由正弦定理可得sinBcosA+（2sinC+sinA）cosB＝0，所以sin（A+B）+2sinCcosB＝0，即sinC+2sinCcosB＝0，又角C为△ABC的内角，sinC＞0，所以cosB＝﹣，又B∈（0，π），所以B＝．（Ⅱ）因为a+b+c＝3+，b＝，所以a+c＝3，由余弦定理b²＝a²+c²﹣2accosB，得7＝（a+c）²﹣ac，所以ac＝（a+c）²﹣7＝2，所以S△ABC＝acsinB＝，所以△ABC的面积为．19．在等比数列{an}中，a2＝2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a2，a3+1，a4为等差数列{bn}的连续三项，其中b1＝a2，设数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＝155，求n的值．解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，由a2＝2，且a2，a3+1，a4成等差数列，可得a1q＝2，2（a3+1）＝a2+a4，即2（a1q2+1）＝a1q+a1q3，解得a1＝1，q＝2，所以an＝2n﹣1；（Ⅱ）a2，a3+1，a4为等差数列{bn}的连续三项，即为2，5，8为等差数列{bn}的连续三项，所以等差数列{bn}的首项为2，公差为3，Sn＝2n+n（n﹣1）×3＝．由Sn＝155，即3n2+n＝310，解得n＝10（﹣舍去），故n＝10．20．为了全面提高学生的体质健康水平，充分发挥体育考试的激励作用，吉安市今年中考体育考试成果以满分60分计入中招成果总分，其中1分钟跳绳是选考项目．某校体育组确定从九年级抽取部分学生进行跳绳测试，并将跳绳的次数按[60，80），[80，100），[100，120），[120，140），[140，160]分组，得到频率分布直方图（如图）已知图中从左到右的前四个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，0.15，第三小组的频数是24．（Ⅰ）求第五小组的频率和参与这次测试的学生人数；（Ⅱ）估计这次测试学生跳绳次数的中位数；（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此，估计参与这次测试学生跳绳的平均次数．解：（I）第五小组的频率为1﹣（0