2024-2025学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.2.2函数的导数与最值课时素养检测含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE十九函数的导数与最值(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知函数f(x)=QUOTEx2+lnx,则函数f(x)在[1,e]上的最大值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE+1【解析】选D.因为函数f(x)=QUOTEx2+lnx,则f′(x)=x+QUOTE,明显在[1,e]上f′(x)>0,故函数f(x)单调递增,故f(x)max=f(e)=QUOTEe2+lne=QUOTE+1.2.函数f(x)=2QUOTE+QUOTE,x∈(0,5]的最小值为 ()A.2 B.3 C.QUOTE D.2QUOTE+QUOTE【解析】选B.由f′(x)=QUOTE-QUOTE=QUOTE=0,得x=1,且x∈(0,1)时,f′(x)<0;x∈(1,5]时,f′(x)>0,所以x=1时,f(x)最小,最小值为f(1)=3.3.若函数y=x3+QUOTEx2+m在[-2,1]上的最大值为QUOTE,则m等于 ()A.0 B.1 C.2 D.QUOTE【解题指南】先求出函数y=x3+QUOTEx2+m在[-2,1]上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.【解析】选C.y′=QUOTE′=3x2+3x=3x(x+1).由y′=0,得x=0或x=-1.因为f(0)=m,f(-1)=m+QUOTE.f(1)=m+QUOTE,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以f(1)=m+QUOTE最大.所以m+QUOTE=QUOTE.所以m=2.4.函数f(x)=2x+sinx在区间[0,π]上的 ()A.最小值为0,最大值为π+1B.最小值为0,最大值为2πC.最小值为π+1,最大值为2πD.最小值为0,最大值为2【解析】选B.f′(x)=2+cosx>0,所以f(x)在区间[0,π]上单调递增,因此f(x)的最小值为f(0)=0,最大值为f(π)=2π.5.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于随意的x∈(0,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围为 ()A.a>4 B.a≥4 C.a<4 D.a≤【解析】选B.因为x∈(0,1],所以f(x)≥0,可化为a≥QUOTE-QUOTE,设g(x)=QUOTE-QUOTE,则g′(x)=QUOTE.令g′(x)=0,得x=QUOTE.当0<x<QUOTE时,g′(x)>0;当QUOTE<x≤1时,g′(x)<0.所以g(x)在(0,1]上有极大值gQUOTE=4,它也是最大值,故a≥4.6.已知函数f(x)=QUOTE(b∈R),若存在x∈QUOTE,使得f(x)>-xf′(x),则实数b的取值范围是 ()A.(-∞,QUOTE) B.QUOTEC.QUOTE D.(-∞,3)【解析】选C.由f(x)>-xf′(x),得(xf(x))′>0,所以若存在x∈QUOTE,使得f(x)>-xf′(x),则QUOTE+2(x-b)>0在x∈QUOTE上有解,即b<QUOTE+x在x∈QUOTE上有解.令g(x)=QUOTE+x,则原不等式等价于x∈QUOTE,b<g(x)max,而利用导数求函数最值,可得g(x)max=QUOTE+2=QUOTE,故b<QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)7.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值为________.

【解析】f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)令f′(x)=0得x=0或x=2(舍),当-1<x<0时,f′(x)>0;当0<x<1时,f′(x)<0,所以当x=0时,函数取得极大值即最大值.所以f(x)的最大值为2.答案:28.设函数f(x)=x3-3x+1,x∈[-2,2]的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.

【解析】由f(x)=x3-3x+1,得f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-2,-1)∪(1,2)时,f′(x)>0,当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区间为(-2,-1),(1,2),单调递减区间为(-1,1),所以当x=-1时,f(x)有极大值3,当x=1时,f(x)有微小值-1.又f(-2)=-1,f(2)=3,则M+m=3-1=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=QUOTE+lnx,求f(x)在QUOTE上的最大值和最小值.【解析】f′(x)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.由f′(x)=0,得x=1.所以在QUOTE上,当x改变时,f′(x),f(x)的改变状况如表:x1(1,2)2f′(x)-0+f(x)1-ln2↘微小值0↗-QUOTE+ln2因为fQUOTE-f(2)=QUOTE-2ln2=QUOTE(lne3-ln16),而e3>16,所以fQUOTE>f(2)>0.所以f(x)在QUOTE上的最大值为fQUOTE=1-ln2,最小值为0.10.已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).(1)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.【解析】(1)f′(x)=3x2-2ax.因为f′(1)=3-2a=3,所以a=0.又当a=0时,f(1)=1,f′(1)=3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x-y-2=0.(2)令f′(x)=0,解得x1=0,x2=QUOTE.当QUOTE≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而f(x)max=f(2)=8-4a.当QUOTE≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而f(x)max=f(0)=0.当0<QUOTE<2,即0<a<3时,f(x)在QUOTE上单调递减,在QUOTE上单调递增,从而f(x)max=QUOTE综上所述,f(x)max=QUOTE(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.设动直线x=m与函数f(x)=x3,g(x)=lnx的图像分别交于点M,N,则|MN|的最小值为 ()A.QUOTE(1+ln3) B.QUOTEln3C.1+ln3 D.ln3-1【解析】选A.由题意知,|MN|=|x3-lnx|.设h(x)=x3-lnx,h′(x)=3x2-QUOTE,令h′(x)=0,得x=QUOTE,易知,当x=QUOTE时,h(x)取得最小值,h(x)min=QUOTE-QUOTElnQUOTE=QUOTE>0,故|MN|min=QUOTE=QUOTE(1+ln3).2.函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的随意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是 ()A.20 B.18 C.3 【解析】选A.因为f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f′(x)=0,得x=±1,所以-1,1为函数的极值点.又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间[-3,2]上f(x)max=1,f(x)min=-19.又由题设知在区间[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t,从而t≥20,所以t的最小值是20.3.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-axQUOTE,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选D.因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当x∈(0,2)时,f′(x)=QUOTE-a,令f′(x)=0得x=QUOTE,又a>QUOTE,所以0<QUOTE<2.当0<x<QUOTE时,f′(x)>0,f(x)在QUOTE上单调递增;当2>x>QUOTE时,f′(x)<0,f(x)在QUOTE上单调递减,所以f(x)max=fQUOTE=lnQUOTE-a·QUOTE=-1,解得a=1.4.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为 ()A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)【解析】选A.令u(x)=f(x)-g(x),则u′(x)=f′(x)-g′(x)<0,所以u(x)在[a,b]上为减函数,所以u(x)的最大值为u(a)=f(a)-g(a).二、填空题(每小题5分,共20分)5.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为________.

【解析】因为f′(x)=3x2-3a,令f′(x)=0得x2=a.又因为f(x)在(0,1)内有最小值,所以0<QUOTE<1,即0<a<1.答案:(0,1)6.当x∈[-1,1]时,函数f(x)=QUOTE的值域是________.

【解析】由f′(x)=QUOTE=QUOTE=0,得x=0或2(应舍去),f(-1)=e,f(0)=0,f(1)=QUOTE,所以f(x)的值域为[0,e].答案:[0,e]7.若关于x的不等式lnx≤ax+1恒成立,则a的最小值是______.

【解析】由于x>0,则原不等式可化为QUOTE≤a,设fQUOTE=QUOTE,则f′QUOTE=QUOTE=QUOTE,当x∈QUOTE时,f′QUOTE>0,fQUOTE递增;当x∈QUOTE时,f′QUOTE<0,fQUOTE递减,可得fQUOTE在x=e2处取得极大值,且为最大值QUOTE.所以a≥QUOTE,则a的最小值为QUOTE.答案:QUOTE8.若函数f(x)=axsinx-QUOTE(a∈R),且在区间QUOTE上的最大值为QUOTE,则实数a的值为________.

【解析】由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),对于随意的x∈QUOTE,有sinx+xcosx>0,当a=0时,f(x)=-QUOTE,不符合题意,当a<0时,在QUOTE上,f′(x)<0,从而f(x)在QUOTE上单调递减,所以f(x)在QUOTE上的最大值为f(0)=-QUOTE,不符合题意,当a>0时,在QUOTE上,f′(x)>0,从而f(x)在QUOTE上单调递增,所以f(x)在QUOTE上的最大值为fQUOTE=QUOTEa-QUOTE=QUOTE,解得a=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.【解析】由题设知a≠0,否则f(x)=b为常函数,与题设冲突.求导得f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).(1)当a>0,且x改变时f′(x),f(x)的改变状况如表:x-1(-1,0)0(0,2)2f′(x)+0-f(x)-7a+b↗b↘-16a+b由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2]上的最大值,所以f(0)=b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1),所以f(2)=-16a+3=-29,解得a=2.(2)当a<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取得微小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,所以f(0)=b=-29.又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),所以f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.10.已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R),(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b的值;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范围.【解析】(1)f′(x)=3x2-2ax+b.因为函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,所以-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根.所以QUOTE所以QUOTE(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c,f′(x)=3x2-6x-9.当x改变时,f′(x),f(x)的改变状况如表:x-2(-2,-1)-1(-1,3)3(3,6)6f′(x)+0-0+f(x)c-2↗极大值c+5