第5讲邻补角对顶角及垂直（讲义）

第5讲邻补角、对顶角及垂直模块一：邻补角的意义和性质知识精讲平面上两条不重合直线的位置关系 相交：两条直线有一个交点； 平行：两条直线没有交点．2、邻补角的意义 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．3、邻补角的性质 互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．例题解析例1.如图，三条直线AB、CD、EF相交于一点O，问一共可以构成多少对邻补角，并把他们写出来．【难度】★【答案】12对【解析】12对，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和.【总结】考察邻补角的定义．例2.判断：（1）平面内两条直线的位置关系，不是相交就是平行； （ ）（2）平面内两条直线有交点，则这两条直线相交； （ ）（3）有一条边是公共边的两个角互为邻补角． （ ）（4）有两个角互为补角，并且有一条公共边，那么他们互为邻补角．（ ）【难度】★【答案】（1）（2）（3）（4）都是错误的．【解析】（1）错误．还有重合．错误．有一个交点，则两直线相交；有无数个交点，则两直线重合．错．两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这种关系的两个角叫 做互为邻补角．错误．另一边不一定是互为反向延长线．【总结】考察直线与直线的位置关系和邻补角的定义．例3，如图，∠AOD的邻补角是__________．【难度】★【答案】，．【解析】考察邻补角的定义．例4.如图，OC平分∠AOB，∠AOD=2∠BOD，∠COD=28°，求∠AOC的大小．【难度】★★【答案】．【解析】设，则，∴∵∠AOD=2∠BOD，∴，即【总结】考察角度之间的关系计算．可以用方程思想来解决这一类问题．例5.如图，直线a、b相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数．【难度】★★【答案】，．【解析】∵与为邻补角，与为对顶角，与为邻补角，∴，．【总结】考察邻补角、对顶角的定义及简单的计算．例6.如图所示，AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=120°，求∠BOD，∠AOE的度数．【难度】★★【答案】∠BOD=120°，∠AOE=30°．【解析】∵和为对顶角，和为邻补角，∴，，∵OE平分∠AOD，∴．【总结】考察邻补角、对顶角、角平分线的定义及在角度计算中的运用．例7.同一平面上的任意三条直线，可以有__________个交点．【难度】★★★【答案】0或1或2或3【解析】见下图【总结】考察图形的画法，注意不同情况的分类讨论．模块二：对顶角的意义和性质知识精讲1、对顶角的意义 两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角．2、对顶角的性质 对顶角相等．例题解析例1.下列说法中，正确的是( )有公共的顶点，且方向相反的两个角是对顶角有公共顶点，且又相等的两个角是对顶角由两条直线相交所成的角是对顶角角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角【难度】★【答案】D【解析】考察对顶角的定义例2.如图，三条直线AB、CD、EF相交于一点O，问一共可以构成多少对对顶角，并 把他们写出来．【难度】★【答案】6对，见解析．【解析】和，和，和，和，和，和．【总结】考察对顶角的定义．例3.判断：（1）有公共顶点，且度数相等的两个角是对顶角．（ ）（2）相等的两个角是对顶角． （ ）【难度】★【答案】（1）（2）都错误．【解析】（1）错误，（2）错误．两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系两个角叫做互为对顶角．【总结】考察对顶角的定义．例4.若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互余，且∠3=60°，那么∠1=__________．若∠1与∠2是对顶角，且∠1与∠2互余，则∠1=__________，∠2=__________．【难度】★★【答案】（1）30°；（2）45°，45°．【解析】（1）∵，，∠3=60°，∴；∵，，∴．【总结】考察对顶角的定义和互余的意义．例5.如图，直线AB、CD交于点O，则（1）若∠1+∠3=68度，则∠1=__________．（2）若∠2：∠3=4：1，则∠2=__________．（3）若∠2∠1=100度，则∠3=__________．【难度】★★【答案】（1）34°；（2）144°；（3）40°．【解析】（1）∵，∠1+∠3=68度，∴；∵，∠2：∠3=4：1，∴；∵，∠2∠1=100度，∴，∴．【总结】考察邻补角、对顶角的性质及在角度计算中的运用．例6.如图（1）所示，两条直线AB与CD相交成几对对顶角？（2）如图（2）所示，三条直线AB、CD、EF相交呢？（3）试猜想n条直线相交会成多少对对顶角？【难度】★★★【答案】见解析【解析】（1）两条直线AB与CD相交成2对对顶角；三条直线AB、CD、EF相交成6对对顶角；因为3条不同直线相交所成的对顶角有3×2÷2×2=6对，4条不同直线相交所成的对顶角有4×3÷2×2=12对，则可找出规律得：n条直线相交会成对对顶角．【总结】考察对顶角的定义及根据数据特征找出规律，综合性较强．模块三：垂线(段)的意义和性质知识精讲1、垂线的意义如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．2、垂直的符号记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：，读作“AB垂直于CD”． 注：垂直是特殊的相交．垂直公理： 在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直中垂线 过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．垂线段的性质 联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线上，那么就说这个点到直线的距离为零．例题解析例1.判断：（1）经过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．（ ）（2）两条直线的交点叫垂足． （ ）（3）线段和射线没有垂线． （ ）（4）两条直线不是平行就是互相垂直． （ ）（5）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离．（ ）【难度】★【答案】（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误；（5）错误．【解析】（1）正确；（2）错误，两条直线垂直时，交点叫垂足；（3）错误，任何的射线、线段、直线都有垂线；（4）错误，还有相交（角度不为90°）；（5）错误，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．【总结】考察各种概念，注意仔细辨析．例2.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，那么点B到线段CD的距离是线段__________的长度；线段CD的长度是点C到线段__________的距离；线段AC是点___________到线段__________的距离．【难度】★【答案】BD；AB；A；CB．【解析】考察点到直线的距离的作法．【总结】可以利用直尺来解决距离问题．例3.下列选项中，哪个是直线l的垂线（ ）【难度】★【答案】C【解析】考察垂线的画法，注意垂线是一条直线．例4.如图，，垂足为C，AC=4，BC=3，那么点A与BC的距离为______．【难度】★【答案】4【解析】点A与BC的距离为AC的长度．【总结】考察点到直线的距离．例5.如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，，则_________．【难度】★★【答案】60°．【解析】∵OE⊥AB，∴，∴∵，∴【总结】考察垂直的定义和角度的计算．例6.作图题：1、已知直线AB和点C，过点C做AB的垂线； 2、作线段MN的中垂线．【难度】★★【答案】虚线为所求．【解析】考察垂线和中垂线的画法，注意垂线和中垂线都是直线．．例7.A、B两厂在公路同侧，拟在公路边建一货场C，若由B厂兴建，并考虑B厂的利益，则要求货物离B厂最近，请在图10中作出此时货场C的位置，并说出这样做的道理．【难度】★★【答案】过B作公路的垂线，垂足为C；理由是垂线段最短【解析】考察垂线的画法．【总结】注意总结距离最短的画法．例8.如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，比大，则的度数为_______．【难度】★★【答案】35°．【解析】∵OA⊥OB，∴，即∵，∴∵OC⊥OD，即，∴．【总结】考察垂直的定义和角度的计算．例9.如图，一棵小树生长时与地面成80°角，它的主根深入泥土，如果主根和小树在同一条直线上，那么∠2等于多少度?【难度】★★【答案】10°．【解析】∵，，∴．【总结】考察垂直的定义和对顶角的性质．例10.如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OB平分∠DOF，∠COF=∠BOD．求∠AOC、∠EOD、∠COE的度数．【难度】★★【答案】70°，20°，160°．【解析】∵，，∠COF=∠BOD，∴．∴∴，，．【总结】考察角平分线的定义、角的计算、对顶角和邻补角的定义．例11.如图，与是邻补角，OD、OE分别是与的平分线，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．【难度】★★★【答案】垂直，理由见解析．【解析】∵与是邻补角，∴∵OD、OE分别是与的平分线，∴，∴∴，即．【总结】考察邻补角和角平分线的定义、角度的计算，本题可总结为邻补角的角平分线互相垂直．模块四：综合运用例题解析例1.下列结论不正确的是( )A．互为邻补角的两个角的平分线所成的角为90°B．相等的两个角是对顶角C．两直线相交，若有一个交角为90°，则这四个角中任取两个角都互为补角D．同角的余角相等【难度】★【答案】B【解析】相等的两个角不一定是对顶角．【总结】考察邻补角、对顶角的定义．例2.如图，AB与CD为直线，图中共有对顶角( )．A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【难度】★【答案】B【解析】和，和是对顶角．【总结】考察对顶角的定义．例3.如图，运动会上，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为DA=4.5米，DB=4.15米，则小明的跳远成绩应该为______米．【难度】★★【答案】4.15米．【解析】跳远成绩应用算垂直距离，所以D到AB的距离为DB的长度．【总结】考察点到直线的距离在实际问题中的运用．例4.如图所示，已知AB、CD相交于O点，OE⊥AB，∠EOC=28°，则∠AOD=_______．【难度】★★【答案】62°．【解析】∵OE⊥AB，∴，即∵∠EOC=28°，∴，∴【总结】考察垂直的定义、角度的计算．例5.如图，直线AD和BE相交于O点，OC⊥AD，∠COE=70°，求∠AOB的度数．【难度】★★【答案】20°【解析】∵OC⊥AD，∴，即∵∠COE=70°，∴，∴【总结】考察垂直的定义、角度的计算．例6.如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数．【难度】★★【答案】28°，118°，59°．【解析】∵∠FOD＝28°，∴∵AB⊥CD，∴，即∴∵，∴∵OG平分∠AOE，∴．【总结】考察垂直和角平分线的定义、角度的计算，计算时注意角度之间的关系．例7.已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE的度数．【难度】★★【答案】140°．【解析】∵，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，∴∴【总结】考察邻补角、对顶角的定义和性质及在角度计算中的运用．例8.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC=∠AOD－80°，求∠AOE的度数．【难度】★★★【答案】155°．【解析】∵∠AOC=∠AOD－80°，∴∵，∴∵OE平分∠BOD，∴∴【总结】考察角平分线、邻补角、对顶角的定义和角度的计算，本题综合性较强，计算时注意观察角度之间的关系．随堂检测1.下列语句中正确的是（ ）A．过直线AB的中点且和AB垂直的直线叫做中垂线B．过线段CD的中点且和CD垂直的直线叫做CD的中垂线C．和直线AB相交且过A点的直线是AB的中垂线D．和线段AB相交且成90度的直线是AB的中垂线【难度】★【答案】B【解析】直线没有端点，更没有中点【总结】考察中垂线的定义．2.下列图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） A B C D【难度】★【答案】B【解析】考察对顶角的定义3．（2019·上海市浦东新区建平中学南校七年级期中）如图所示,三条直线AB,CD,EF相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF等于()A．150° B．180° C．210° D．120°【答案】B【解析】解：∵∠DOB=∠AOC，∴∠AOE+∠DOB+∠COF=∠AOE+∠AOC+∠COF=∠EOF=180°．故选B．4.（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）下列说法中：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．不正确的有（）A．①② B．②③ C．②④ D．④③【答案】C【分析】根据对顶角的定义和性质，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】∵对顶角相等，∴①不符合题意，∵如果两个角相等，那么这两个角不一定成对顶角关系，∴②符合题意，∵若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，∴③不符合题意，∵若两个角不是对顶角，则这两个角可能相等也可能不相等，∴④符合题意，选C．【点睛】本题主要考查对顶角的性质和定义，掌握对顶角的定义和性质，是解题的关键．5．（2019·上海市培佳双语学校七年级月考）如图，在中，，，垂足分别为点和点，能表示点到直线距离的是（）A．线段的长度 B．线段的长度C．线段的长度 D．线段的长度【答案】B【分析】根据点到直线的距离的定义即可得．【详解】则由点到直线的距离的定义得：能表示点到直线距离的是线段BH的长度故选：B．【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，掌握理解定义是解题关键．6．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O,∠COE=55°,则∠BOD的度数是（）A．35° B．45° C．30° D．40°【答案】A【分析】先根据垂直的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等即可求出∠BOD的度数．【详解】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∵∠COE=55°，∴∠AOC=90°∠COE=35°，

∴∠BOD=∠AOC=35°．故选：A．【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，垂直的定义，根据图形找出角的关系代入数据进行计算即可，比较简单．7．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）下列说法中不正确的是（）A．在同一平面内，经过一点能而且只能画一条直线与已知直线垂直B．一条线段有无数条垂线C．在同一平面内过射线的端点只能画一条直线与这条射线垂直D．如果直线AB垂直平分线段CD，那么CD也垂直平分AB【答案】D【分析】根据垂直公理和垂直平分线的定义逐一判断即可．【详解】A．在同一平面内，经过一点能而且只能画一条直线与已知直线垂直，故本选项正确；B．一条线段有无数条垂线，故本选项正确；C．在同一平面内过射线的端点只能画一条直线与这条射线垂直，故本选项正确；D．如果直线AB垂直平分线段CD，因为AB是直线，所以CD不垂直平分AB，故本选项错误．故选D．【点睛】此题考查的是垂直公理和垂直平分线的定义，掌握垂直公理和垂直平分线的定义是解决此题的关键．8.（2018·上海七年级零模）已知，∠B与∠A互为邻补角，且∠B=2∠A，那么∠A为________度．【答案】60【分析】设，则，然后根据领补角的定义进行求解即可．【详解】解：设，则根据题意得，，解得：，∴，故答案为：60．【点睛】本题主要考查领补角的定义及一元一次方程的解法，熟练掌握领补角的定义及一元一次方程的解法是解题的关键．9．（2018·上海松江区·七年级期中）如图，已知，垂足为．若，则_______．【答案】48【分析】先根据垂直求得的余角的度数，再根据对顶角相等即可得出答案．【详解】故答案为：．【点睛】本题考查了余角、对顶角的计算，熟练掌握余角和对顶角的定义是解题的关键．10．（2019·上海闵行区·七年级期中）如图：直线，相交于点，若，则直线与的夹角度数为________．【答案】【分析】根据是邻补角以及解出即可．【详解】∵，又∵∴，∴。则直线与的夹角度数为．故答案为：【点睛】掌握邻补角的意义是解题关键．11．（2019·上海七年级单元测试）如图所示，∠1、∠2、∠3从小到大的顺序为_____________．【答案】∠2＜∠3＜∠1.【分析】观察图形不难发现∠1+∠2+60°=180°、∠1+60°+50°=180°、∠1+∠3+50°=180°,求出∠1、∠2、∠3的度数,进而得出它们的大小关系.【详解】观察图形可知:∠1+∠2+60°=180°、∠1+60°+50°=180°、∠1+∠3+50°=180°联立上述3三式解得:∠1=70°∠2=50°∠3=60°故可得∠1、∠2、∠3从小到大的顺序为:∠2＜∠3＜∠1.【点睛】此题考查平角的定义，解题关键在于利用平角的定义进行计算.12．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）如图，直线AB与CD交于O点，，则=_______．【答案】50°【解析】∠3∠1=80°,∠3+∠1=180°,所以∠1=50°,则∠2=50°.13．（2019·上海市松江区九亭中学七年级期中）平面内经过一点且垂直于已知直线的直线共有_______条【答案】1【分析】根据垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可得出结论．【详解】解：过平面内一点作已知直线的垂线，这一点有可能在直线上，也可能在直线外，但是无论是这一点在直线上还是在直线外都只能做一条直线与已知直线垂直．【点睛】本题考查垂线的性质．熟练掌握垂线的性质是解题的关键．14．（2019·上海市市西初级中学七年级期中）如图，，，则表示点到直线所在直线的距离为线段______的长度．【答案】AD【分析】根据点到直线的距离的定义即可得．【详解】，则表示点到直线所在直线的距离为线段AD的长度故答案为：AD．【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，掌握理解相关概念是解题关键．15．（2019·上海浦东新区·七年级月考）两条相交直线所成的一个角为140°，则它们的夹角是__________.【答案】40°【分析】根据两直线相交的特点，可求出另一个角为，然后即可求得它们的夹角（一般为较小的一个角）.【详解】另一个角为180°140°=40°，则它们的夹角（一般为较小的一个角）为40°.故答案为40°.16．（2020·上海同济大学实验学校七年级期中）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，__________最短.【答案】垂线段试题解析：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.故答案为垂线段.17．（2019·上海市培佳双语学校七年级月考）直线、相交于点，，它们的夹角是______度．【答案】50【分析】作出草图，再根据邻补角的和等于180°求解即可．【详解】解：如图，∵∠AOD=130°，

∴∠AOC=180°∠AOD=180°130°=50°．故答案为：50．【点睛】本题主要考查了相交线与邻补角的和等于180°的性质，作出图形，利用数形结合思想更形象直观，且不容易出错．18．（2020·上海浦东新区·七年级期末）如图，直线AB和CD交于O点，EO⊥CD，∠EOB=50°，则∠AOC=_____．【答案】40°【分析】根据垂直的性质即可求出∠AOC的值．【详解】∵EO⊥CD，∴∠COE=90°，∴∠AOC=180°﹣∠BOE﹣∠COE=180°﹣50°﹣90°=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了垂直的性质，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．19．（2018·上海松江区·七年级期末）如图，如果垂足为，，，那么点到的距离为_______．【答案】【分析】根据AB⊥BC，BC=4，可知点C到AB的距离为4．【详解】∵AB⊥BC，BC=4，∴可知点C到AB的距离为4，故答案是：4．【点睛】本题运用了点到直线的距离定义，关键是理解好定义．20．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且∠AOC=90°，∠AOE=140°，（1）直线AB与直线______垂直，记作______；（2）直线AB与直线______斜交，夹角的大小为______；（3）直线_____与直线______夹角的大小为50°．【答案】（1）CD；AB⊥CD；（2）EF；40°；（3）CD；EF【分析】（1）根据垂直的定义和垂直的写法即可得出结论；（2）根据斜交的定义和直线夹角的定义即可得出结论；（3）求出图中度数为50°的角即可得出结论．【详解】解：（1）∵∠AOC=90°，∴直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD故答案为：CD；AB⊥CD；（2）∵∠AOE=140°∴直线AB与直线EF斜交，夹角∠AOF=180°－140°=40°故答案为：EF；40°；（3）∵AB⊥CD∴∠AOD=90°∵∠AOF=40°∴∠DOF=∠AOD－∠AOF=50°∴直线CD与直线EF夹角的大小为50°故答案为：CD；EF．【点睛】此题考查的是相交线的相关定义，掌握垂直定义、斜交的定义和两直线夹角的定义是解决此题的关键．21．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOE=30°，求∠BOD和∠BOC的度数．【答案】∠BOD=120°；∠BOC=60°．【分析】根据角平分线的定义，对顶角的性质与邻补角的定义，即可求解【详解】∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠AOE；∵∠AOE=30°，∴∠AOD=60°，∵∠AOD和∠BOC是对顶角，∴∠BOC=60°，∵∠AOD和∠BOD是互补，∴∠BOD=120°．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，对顶角的性质与邻补角的定义，掌握对顶角相等，补角的定义，是解题的关键．22．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）如图，已知直线a、b相交，∠1=2∠2，求∠1、∠2、∠3、∠4的度数．【答案】∠1=120°；∠2=60°；∠3=120°；∠4=60°．【分析】根据邻补角的定义和对顶角的性质，即可求解．【详解】∵∠1和∠2互补，∠1=2∠2，∴∠1=120°