专题10二次函数中的特殊角问题(原卷版+解析)

专题10二次函数中的特殊角问题1．已知点C为抛物线的顶点．(1)直接写出点C的坐标为；(2)若抛物线经过点．①直接写出抛物线解析式为：；②如图1，点B，以为底的等腰交抛物线于点P，将点P绕原点O顺时针旋转到，求的坐标；(3)如图2，过抛物线上一点M作直线l平行于y轴，直线交抛物线另一点于E，交直线l于点D，过M作轴，交抛物线于另一点N，过E作于点F．若点M的横坐标为，试探究与之间的数量关系并说明理由．2．抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标；(3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．3．如图，二次函数的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为，点C的坐标为，过点A、C的直线交二次函数的图象于点D．(1)求二次函数和直线的函数表达式；(2)连接，则的面积为________；(3)在y轴上确定点Q，使得，点Q的坐标为________；(4)点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于，两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点，使的面积等于6，求点的坐标；(3)对于（2）中的点，在此抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使得的面积等于面积的三分之二？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线绕着点C旋转得到直线l，直线l与抛物线的交点为M（异于点C），求M点坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接AC，(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴上是否存在一点M，使，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)①若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值；②若点P是抛物线上的一个动点，且∠APB＝45°，请直接写出点P的横坐标．7．如图，已知抛物线的顶点M（0，4），与x轴交于A（－2，0）、B两点，(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点C（0，2），P为抛物线上一点，过点P作PQy轴交直线BC于Q（P在Q上方），再过点P作PRx轴交直线BC于点R，若△PQR的面积为2，求P点坐标；(3)如图2，在抛物线上是否存在一点D，使∠MAD＝45°，若存在，求出D点坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，-4），连接AB，BC．动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ，PC．(1)求抛物线的表达式；(2)在点P，Q运动过程中，当的面积为时，求点Q坐标；(3)在（2）条件下，时，在直线PQ上是否存在点M，使？若存在，请直接求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．函数y＝，其中a是常数且a≠0，该函数的图象记为G．(1)图象G经过3个定点，分别为，，；(2)图象G与直线y＝a有2个交点时，结合函数图象，求a的值；(3)图象G与直线x＝2和直线x＝﹣2分别相交于点P，Q，当∠POQ＝135°时，直接写出a的值．10．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式和对称轴．(2)若R为抛物线上一点，满足，求R的坐标．(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P

使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．11．已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点，两点，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的点，当时，求点P的坐标；(3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．12．如图所示，抛物线y=−x2+bx+3经过点B(3，0)，与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，连接AC、FC．①若点F在第一象限内，当∠BCF=∠BCA时，求点F的坐标；②若∠ACO+∠FCB=45°，则点F的横坐标为______．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点，且经过点，点是抛物线的顶点，将抛物线向右平移得到抛物线，且点在抛物线上．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．专题10二次函数中的特殊角问题1．已知点C为抛物线的顶点．(1)直接写出点C的坐标为；(2)若抛物线经过点．①直接写出抛物线解析式为：；②如图1，点B，以为底的等腰交抛物线于点P，将点P绕原点O顺时针旋转到，求的坐标；(3)如图2，过抛物线上一点M作直线l平行于y轴，直线交抛物线另一点于E，交直线l于点D，过M作轴，交抛物线于另一点N，过E作于点F．若点M的横坐标为，试探究与之间的数量关系并说明理由．【答案】(1)(2)①；②的坐标为；(3)．理由见解析【分析】（1）根据抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可；（2）①把点代入，即可求解；②利用等腰直角三角形的性质求得A的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，再求得点P的坐标，过点作轴于点H，证明，据此即可求解；（3）先后求得点M、D、E、F的坐标，据此求解即可．【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，故答案为：；（2）解：①点代入得，，解得，∴抛物线解析式为：；故答案为：；②过点A作轴于点G，∵B，∴，∵是以等腰直角三角形，∴，∴A，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，联立得，解得或(舍去)，∴P，过点作轴于点H，由题意得，，∴，∵，，∴，∴，，∵A，P，∴，，∴的坐标为；（3）解：．理由如下：∵C，设直线的解析式为，∵点M的横坐标为，且点M在抛物线上，∴点M的坐标为，∴点D的横坐标为，且点D在直线上，∴点D的坐标为，解方程得或，∴点E的坐标为，∴点F的坐标为，∴，，∴．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．2．抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标；(3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．【答案】(1)；(2)点M的坐标为或；(3)（3）抛物线顶点横坐标t的取值范围为-3≤t＜0或．【分析】（1）根据抛物线关于轴对称，，得，，用待定系数法即得抛物线的解析式是；（2）当在上方时，过作交直线于，作直线，过作于，根据，，可推得，得到，设直线为，待定系数法得直线为，从而解得，；当在下方时，过作交直线于，过作KG//x轴，过作于，过作于，同理可得，；（3）由平移后顶点在直线上，设平移后的抛物线为，把代入得：，解得或，结合函数图象可得，把代入得：，解得或，结合函数图象可得：．(1)解：抛物线关于轴对称，，，，把代入得：，，抛物线的解析式是；(2)当在上方时，过作交直线于，作直线，过作于，如图：，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，，设直线为，，解得，直线为，由得：（点横坐标，舍去），，当时，，，；当在下方时，过作交直线于，过作轴，过作于，过作于，如图：同理可得，，，，设直线为，将，代入得：，解得，直线为，由得（舍去）或，，；综上所述，点的坐标为，或，；(3)平移后顶点在直线上，设平移后的抛物线顶点为，则平移后的抛物线为，把代入得：，解得或，如图：结合函数图象可得，把代入得：，解得或，如图：结合函数图象可得：，综上所述，抛物线顶点横坐标的取值范围为或．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形全等的判定与性质等知识，还考查了数形结合、分类等数学思想，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．3．如图，二次函数的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为，点C的坐标为，过点A、C的直线交二次函数的图象于点D．(1)求二次函数和直线的函数表达式；(2)连接，则的面积为________；(3)在y轴上确定点Q，使得，点Q的坐标为________；(4)点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)6(3)或(4)存在，或【分析】（1）把B点坐标代入函数解析式即可求出二次函数解析式，求出A点坐标后即可求出AC解析式；（2）先求出D点坐标，再用公式法求的面积；（3）当Q在正半轴时，根据C点坐标可得，根据二次函数对称性结合可得，即AQ平分,即可求出Q点坐标；当Q在负半轴时根据对称性可求；（4）以AD为矩形边长时，分别过A、D作直线AD的垂线；当AD为对角线时根据矩形的对角线互相平分且相等求值即可．(1)∵二次函数的图象过点B，∴，解得∴二次函数解析式为∴A点坐标为（-2,0）设直线AC的解析式为∴，解得：∴直线AC的解析式为(2)∵直线AC：与二次函数交于点A、D∴联立，解得或∴D点坐标为：∵AB=4∴(3)∵C（0,2），A点坐标为（-2,0）∴当Q在正半轴时，∵，QA=QB∴∴AQ平分过Q作PQ⊥AC于P设OQ=x，则∴解得∴Q点坐标为当Q在与轴负半轴时，根据对称性可得Q点坐标为∴Q点坐标为或(4)当AD是矩形边长时过A作AM⊥AD交抛物线于M∵直线AC的解析式为∴设直线AM的解析式为代入A点（-2,0）得∴直线AM的解析式为∴联立，解得或∴M点坐标为∵此时MN平行且等于AD∴由A（-2,0）平移到D（1,3）与由M平移到N的平移方式一致∴N点坐标为同理：:过D作DM⊥AD交抛物线于M，此时M（0,4），N（-3,1）综上所述，存在，N点坐标为或（-3,1）【点睛】本题考查二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，矩形的判定，分类讨论是解题的关键．4．如图，在直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于，两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点，使的面积等于6，求点的坐标；(3)对于（2）中的点，在此抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出的值，也就得出了抛物线的解析式．（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出点的坐标，也就求出了的长，根据的面积可求出点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出点的坐标，然后根据点在抛物线对称轴的右边来判断得出的点是否符合要求即可．（3）根据点坐标可求出直线的解析式，由于，由此可求出点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出点的坐标．求的面积时，可先求出，的长度即可求出的面积．【详解】（1）解：函数的图像与轴相交于，，，，（2）解：假设存在点，过点作轴于点，的面积等于6，，当，，解得：或3，，，即，解得：或（舍去）．又顶点坐标为：1.5，．，轴下方不存在点，点的坐标为：；（3）解：点的坐标为：，，，当，，设点横坐标为：，则纵坐标为：，即，解得或（舍），在抛物线上仅存在一点．【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图像交点、图像面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．5．如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使得的面积等于面积的三分之二？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线绕着点C旋转得到直线l，直线l与抛物线的交点为M（异于点C），求M点坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：；(2)不存在这样的点P，理由见解析；(3)M点坐标是或．【分析】（1）根据点A的坐标为，可得出C点坐标，再把A、C两点的坐标代入抛物线求出a，c的值即可；（2）过点P作轴分别交线段于点N，利用待定系数法求出直线的解析式，故可得出，，再由，解一元二次方程即可得出结论；（3）分当直线绕着点C顺时针旋转时，当直线绕着点C逆时针旋转时，两种情况讨论，当直线绕着点C顺时针旋转时，过A作交于点K，作轴于点H，证明，可得，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立解交点即可得出M的坐标；当直线绕着点C逆时针旋转时，同样的方法可求解．【详解】（1）解：∵，，∴．把点A，C的坐标代入，得，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）解：不存在这样的点P，使得的面积等于面积的三分之二；理由：如图，过点P作轴分别交线段于点N．∵抛物线的解析式为，令，则，解得，∴，∴，∴，，由题意得，∴，即，∵，，设直线的解析式为，∴，解得，故直线的解析式为：．设，，则，∴，整理得，∵，∴方程无实数根，∴不存在这样的点P，使得的面积等于面积的三分之二；（3）解：当直线绕着点C顺时针旋转时，如图，过A作交于点K，作轴于点H，∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，同理求得直线的解析式为，联立，解得（舍去），或，∴．当直线绕着点C逆时针旋转时，如图，过A作交于点D，作轴于点E，同理可证得，得到，同理求得直线的解析式为，联立，解得（舍去），或，∴．综上，M点坐标是或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形面积的计算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键的是掌握待定系数法求函数的解析式，作辅助线构造全等三角形．6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接AC，(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴上是否存在一点M，使，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)①若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值；②若点P是抛物线上的一个动点，且∠APB＝45°，请直接写出点P的横坐标．【答案】(1)(2)存在，理由见详解(3)①，PD的最大值为；②、【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设，当时，，利用两点间距离公式求解即可；（3）①过点P作轴，垂足为E，交AC于点F，先求出直线AC的表达式为，判断当PF最长时，PD的值最大，设，，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，有，表示出，可得当时，PF的值最大，最大值为，再求出此时点P的坐标及PD的最大值即可；②根据点P在x轴下方和上方分类讨论，当P在x轴下方时，∠APB最小时，P在二次函数图象顶点处，当P在x轴上方时，过点P作轴，垂足为K，过点A作，交BP于点I，过点I作轴，垂足为J，计算可得，不符合题意；当P在x轴上方时，过点P作轴，垂足为K，过点A作，交BP于点I，过点I作轴，垂足为J，证明，可得，，设，则，，，，再证明，可得，将含n的式子代入，即可求出n的值，即为点P的横坐标．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为．（2）解：存在使得，理由如下：∵抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为，，设：，当时，，∵，，∴，解得，∴．（3）解：①如图，过点P作轴，垂足为E，交AC于点F，∵，，∴，直线AC的表达式为，∴是等腰直角三角形，∵轴∴，∴，又∵PD⊥AC，∴是等腰直角三角形，∴当PF最长时，PD的值最大，设：，，∵点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，，∴∴当时，PF的值最大，最大值为，∴，，∴，PD的最大值为；②当P在x轴下方时，∠APB最小时，P在二次函数图象顶点处，∵抛物线的解析式为，∴顶点的坐标为，过点A作交BP于点G，∵、，∴，∴，∴，∴∴，∴当P在x轴下方时，不符合题意；当P在x轴上方时，过点P作轴，垂足为K，过点A作，交BP于点I，过点I作轴，垂足为J，当时，为等腰直角三角形，，∵轴，，轴，∴，∴，∴，∴，∴，，设：，则，，∴，，∵∴，∴，∴，∴P的横坐标为、．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及三角形全等的判定和性质，相似的判定和性质，正确求解函数解析式、将二次函数解析式与函数图像结合起来，利用数形结合的思想是解答本题的关键．7．如图，已知抛物线的顶点M（0，4），与x轴交于A（－2，0）、B两点，(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点C（0，2），P为抛物线上一点，过点P作PQy轴交直线BC于Q（P在Q上方），再过点P作PRx轴交直线BC于点R，若△PQR的面积为2，求P点坐标；(3)如图2，在抛物线上是否存在一点D，使∠MAD＝45°，若存在，求出D点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)P（1，3）；(3)存在，D点坐标为（，）．【分析】（1）先设出抛物线的顶点式，再代入点A的坐标，即可得出抛物线的解析式；（2）由顶点M（0，4），A（−2，0）可得B（2，0），则OC＝OB，可得∠OCB＝∠OBC＝45°，根据平行线的性质得∠PQR＝∠PRQ＝45°，则PQ＝PR，根据△PQR的面积为2可得PQ＝2，求出直线BC的解析式为y＝−x＋2，设P（m，），则Q（m，−m＋2），PQ＝，解方程求出m的值即可；（3）过点M作MN⊥AD于N，过点N分别作NE⊥y轴于E，NF⊥x轴于F，证明△MNE≌△ANF（AAS），可得NE＝NF，设N（n，−n＋2），则n＝−n＋2，求出n＝1，可得N（1，1），求出直线AN的解析式为y＝，联立即可求解．（1）解：∵抛物线的顶点M（0，4），∴设抛物线的解析式为：，∵抛物线与x轴交于A（−2，0），∴4a＋4＝0，解得a＝−1，∴抛物线的解析式为：；（2）解：∵顶点M（0，4），A（−2，0），∴B（2，0），∵点C（0，2），∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PQy轴，PRx轴，∴∠PRQ＝∠OBC＝45°，∠PQR＝∠OCB＝45°，∴∠PRQ＝∠PQR＝45°，∴PQ＝PR，∵△PQR的面积为2，∴PR·PQ＝＝2，∴PQ＝2，∵C（0，2），∴设直线BC的解析式为y＝kx＋2，代入B（2，0）得：0＝2k＋2，解得：k＝－1，∴直线BC的解析式为y＝−x＋2，设P（m，），则Q（m，−m＋2），∴PQ＝，解得：m＝1或0（舍去），∴P（1，3）；（3）解：存在；过点M作MN⊥AD于N，过点N分别作NE⊥y轴于E，NF⊥x轴于F，∴NE⊥NF，∠MEN＝∠AFN＝90°，∴∠MNE＝∠ANF，∵∠MAD＝45°，MN⊥AD，∴MN＝AN，∴△MNE≌△ANF（AAS），∴ME＝AF，NE＝NF，设N（n，n），则ME＝4－n，AF＝n＋2，∴4－n＝n＋2，解得：n＝1，∴N（1，1），∵A（−2，0），设直线AN的解析式为y＝kx＋b，∴，解得，∴直线AN的解析式为y＝，联立，解得：（舍去）或，∴D点坐标为（，）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质等，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式及全等三角形的判定和性质是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，-4），连接AB，BC．动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ，PC．(1)求抛物线的表达式；(2)在点P，Q运动过程中，当的面积为时，求点Q坐标；(3)在（2）条件下，时，在直线PQ上是否存在点M，使？若存在，请直接求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，，【分析】（1）利用待定系数法代入计算即可；（2）过作轴于，利用求出的长，从而用t表示出，列出方程即可得出答案；（3）由（2）及可知，代入求得、，即可得出直线的解析式为，设，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出∠APM=90°，由的直角三角形即可推出，利用两点坐标距离公式列出方程，进行求解即可得出答案．（1）解：将点、点的坐标分别代入，得，解这个方程组，得，则二次函数表达式．（2）过作轴于，当时，，∴，∴．∵、，∴,∴．∵动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动，∴，，∴，∵，∴，∴．∴，解得，，．∵Q的横坐标为，∴或．（3）存在，理由如下：由（2）可知：，，∵，∴．∴，此时点为的中点，∴，∴，设直线的解析式为，将点P、Q坐标代入中，得：，解得：，∴设直线的解析式为，∴设，∵,,∴,,∵∴，∴，∵，∴，∴．∵,，∴，∴∴，．故答案为：存在，，．【点睛】本题考查了二次函数与几何动点的综合应用，利用锐角三角函数求线段的长度，勾股逆定理，勾股定理，距离公式及坐标轴上点的特征等知识，较为综合，能够熟练应用知识是解题的关键．9．函数y＝，其中a是常数且a≠0，该函数的图象记为G．(1)图象G经过3个定点，分别为，，；(2)图象G与直线y＝a有2个交点时，结合函数图象，求a的值；(3)图象G与直线x＝2和直线x＝﹣2分别相交于点P，Q，当∠POQ＝135°时，直接写出a的值．【答案】(1)，，．(2)或．(3)．【分析】（1）由抛物线解析式可得抛物线经过定点，根据抛物线的对称性求解．（2）求出函数在及时抛物线顶点坐标，分类讨论与两种情况求解．（3）过点作延长线于点，作轴交轴于点，于点，由可得为等腰直角三角形，用含代数式求出所在直线解析式，求出点坐标，进而求解．(1)解：当时，抛物线的对称轴为直线，把代入得，抛物线经过定点，由抛物线对称性可得抛物线经过定点，当时，同理可得抛物线经过定点，故答案为：，，．(2)函数顶点坐标为，函数顶点坐标为，时，如图，顶点在直线上满足题意，令，解得．当时，如图，顶点落在直线满足题意，令，解答．综上所述，或时，图象与直线有2个交点．(3)由（2）得点坐标为，点坐标为，时，如图，过点作延长线于点，作轴交轴于点，于点，，，为等腰直角三角形，从而可得，设，则，，解得，点坐标为，，设所在直线为，将代入解析式得，解得，，把，代入得，解得（舍，．当时，如图，同理可得．综上所述，．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握全等三角形的判定及性质，根据数形结合求解．10．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式和对称轴．(2)若R为抛物线上一点，满足，求R的坐标．(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P

使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，对称轴为直线(2)（4，-5）(3)存在，（4，1）或（-2，1）或或【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；（2）过点B作BM⊥BC交CR于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，证明△BOC≌△MBE，可得点E（2，-1），然后求出直线CR的解析式，再与抛物线解析式联立，即可求解；（3）设，点Q（m，n），分两种情况讨论：然后分两种情况讨论：当AC为边时，当AC为对角线时，即可求解．(1)解：∵抛物线交x轴于，两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为，∴对称轴为直线；(2)解：当x=0时，，∴OC=3，∵点B（-1，0），∴OB=1，如图，过点B作BM⊥BC交CR于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，∵∠BCR=45°，∴△BCM为等腰直角三角形，∠CBO+∠EBM=90°，∴BM=BC，∵∠EBM+∠BME=90°，∴∠CBO=∠BME，∵∠BEM=∠BOC=90°，∴△BOC≌△MBE，∴EM=BO=1，BE=OC=3，∴OE=2，∴点E（2，-1），设直线CR的解析式为把点C（0，3），M（2，-1）代入得：，解得：，∴直线CR的解析式为，联立得：，解得：0或（舍去），∴点R（4，-5）；(3)解：存在．设，点Q（m，n），当以AC为边时，点C向点P（或点Q）平移的方向和距离与点A向点Q（或点P）平移的方向和距离相同，且AP=CQ（或AQ=CP），∴或，解得：或，∴此时点Q的坐标为（4，1）或（-2，1）如图，当AC为对角线时，AC=PQ，且PQ与AC的中点重合，如图，PQ=AC，∴，解得：或，∴此时点Q的坐标为或；综上所述，点Q的坐标为（4，1）或（-2，1）或或【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，一次函数的图像和性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的综合题，一次函数的图像和性质，矩形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题．11．已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点，两点，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的点，当时，求点P的坐标；(3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）由对称轴为直线则设抛物线代入点A、C的坐标求出解析式；（2）过作，且，过作，过C作于，过作于，构建，即可得出，求得直线的解析式为：与抛物线解析式联立即可得出P点坐标；（3）设，，分以AF为对角线时以AN为对角线时，以为对角线时，进行讨论，列出方程组，即可解答问题．（1）解：∵抛物线对称轴为直线，∴设抛物线，把，代入得：，∴，∴；（2）如图过作，且，过作，过C作于，过作于，∴，，∴，，∴，∴，∴，，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴，∴，∴，，∴；（3）∵，∴，依题意设，，∵，对称轴为直线，∴，∵，，，，当以AF为对角线时，，∴，∴，当以AN为对角线时，，∴，∴，当以为对角线时，，∴，∴，综上所述：或或．【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，一次函数的解析式求法，构造全等三角形的判定和性质，平行四边形存在性问题，是一道有关二次函数的综合题，掌握以上知识点是解题的关．12．如图所示，抛物线y=−x2+bx+3经过点B(3，0)，与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，连接AC、FC．①若点F在第一象限内，当∠BCF=∠BCA时，求点F的坐标；②若∠ACO+∠FCB=45°，则点F的横坐标为______．【答案】(1)y=−x2+2x+3(2)①；②或5【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）①作点A关于直线BC的对称点G，连接CG交抛物线于点F，此时，∠BCF=∠BCA，求得G(3，4)，利用待定系数法求得直线CF的解析式为：y=x+3，联立方程组，即可求解；②分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求CF的解析式，联立方程可求解．（1）解：∵B(3，0)在抛物线y=−x2+b