专题12二次函数的图象及性质(10个高频考点)(举一反三)(全国版)(原卷版+解析)

专题12二次函数的图象及性质（10个高频考点）（举一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考点1二次函数的定义】 1【考点2二次函数的图象与性质】 2【考点3二次函数的图象与系数的关系】 3【考点4二次函数的对称性】 5【考点5二次函数的最值】 6【考点6待定系数法求二次函数的解析式】 7【考点7二次函数图象的平移】 10【考点8二次函数与一元二次方程】 12【考点9利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】 14【考点10二次函数与不等式】 16【要点1二次函数的概念】一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax次函数的一般形式．【考点1二次函数的定义】【例1】（2022·安徽合肥·校考一模）已知y=m+2xm+2【变式1-1】（2022·湖南怀化·中考真题）下列函数是二次函数的是（）A．y=2x+1 B．y=−2x+1【变式1-2】（2022·重庆永川·统考一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（

）A．正比例函数关系 B．一次函数关系C．反比例函数关系 D．二次函数关系【变式1-3】（2022·江苏徐州·统考一模）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x【要点2二次函数的图象与性质】二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c对称轴y轴y轴x=hx=h顶点(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。最小值(或最大值)为0(k或)。增

减

性a>0x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。a<0x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。【考点2二次函数的图象与性质】【例2】（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(

)A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对【变式2-1】（2022·湖南郴州·统考中考真题）关于二次函数y=x−12+5A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是−1,5C．该函数有最大值，是大值是5 D．当x>1时，y随x的增大而增大【变式2-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（

）A． B．C． D．【变式2-3】（2022·江苏盐城·统考中考真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y【要点3二次函数的图象与各系数之间的关系】①二次项系数：总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．②一次项系数：在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置，对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”③常数项：总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．【考点3二次函数的图象与系数的关系】【例3】（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（）A．abc＞0 B．3a+c＞0C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣2【变式3-1】（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)），下列结论：①abc<0；②3a+c=0；③当y>0时，x的取值范围是−1⩽x<3；④点−2,y1，2,A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-2】（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为(A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-3】（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝66．其中正确的有（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点4二次函数的对称性】【例4】（2022·四川自贡·统考中考真题）已知A(−3，−2)，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥−2

；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a=12其中正确的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【变式4-1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(−1,0)，B两点，对称轴是直线x=1A．a>0 B．当x>−1时，y的值随x值的增大而增大C．点B的坐标为(4,0) D．4a+2b+c>0【变式4-2】（2022·北京昌平·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax(1)若抛物线过点(4,−1)．①求抛物线的对称轴；②当−1<x<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；(2)若−4,y1，−2,y2，1,y3为抛物线上的三点且【变式4-3】（2022·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−bx（b是常数）经过点2,0．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ=2(1)求该抛物线对应的函数表达式：(2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接BC．当BC=4时，求点B的坐标；(3)若m>0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；(4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为34时，直接写出m【考点5二次函数的最值】【例5】（2022·浙江衢州·统考中考真题）已知二次函数y=a(x−1)2−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−4，则aA．12或4 B．43或−12 C．−4【变式5-1】（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，已知点Mx1,y1(1)若二次函数的图像经过点(3,1)．①求这个二次函数的表达式；②若y1=y(2)当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，【变式5-2】（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD交y轴于点E，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BEA．2425 B．2524 C．58【变式5-3】（2022·天津滨海新·统考二模）已知：抛物线y=−13x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（－2，0），C(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；(3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN=2，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．【考点6待定系数法求二次函数的解析式】【例6】（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3,0)，D−2,−52两点，与x轴的另一个交点为(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）【变式6-1】（2022·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【变式6-2】（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B两点，与(1)求抛物线的解析式．(2)点P是第三象限抛物线上一点，直线PE与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．(3)在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB′，当直线EB′与直线BP相交所成锐角为【变式6-3】（2022·江苏镇江·统考中考真题）一次函数y=12x+1的图像与x轴交于点A，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点A、原点(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，一次函数y=12x+n(n>−916,n≠1)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像交于点C(x1,y1)、D(x2,y①x1=_________，x2②证明：AE=BF；(3)如图2，二次函数y=a(x−t)2+2的图像是由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像平移后得到的，且与一次函数y=12x+1的图像交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、①A′M与②若A′M+3B【要点4二次函数图象的平移变换】（1）平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：（2）平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．【考点7二次函数图象的平移】【例7】（2022·四川巴中·统考中考真题）函数y=ax2+bx+ca>0,b2−4ac>0的图象是由函数①2a+b=0；②c=3；

③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④【变式7-1】（2022·上海·统考中考真题）已知：y=12x2+bx+c(1)求函数解析式；(2)平移抛物线使得新顶点为Pm,n（m①倘若S△OPB=3，且在x=k的右侧，两抛物线都上升，求②P在原抛物线上，新抛物线与y轴交于Q，∠BPQ=120∘时，求【变式7-2】（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．(1)求抛物线L1的函数表达式．(2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．(3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．【变式7-3】（2022·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点(1)求抛物线F1(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线(3)如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形【要点5二次函数与一元二次方程之间的关系】判别式情况b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点a＞0a＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根有两个不相等的实数根x1，x2有两个相等的实数根x1＝x2没有实数根【考点8二次函数与一元二次方程】【例8】（2022·湖北恩施·统考中考真题）已知抛物线y=12x2−bx+c，当x=1时，y<0①b2>2c；②若c>1，则b>32；③已知点Am1,n1，Bm2,n2在抛物线其中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【变式8-1】（2022·山西·中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象（称为抛物线）与下面根据抛物线的顶点坐标（−b2a，4ac−b24a）和一元二次方程根的判别式△=（1）a>0时，抛物线开口向上．①当△=b2−4ac>0时，有4ac−b2∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．②当△=b2−4ac=0时，有4ac−b2∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．∴一元二次方程ax③当△=b……（2）a<0时，抛物线开口向下．……任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是（从下面选项中选出两个即可）；A．数形结合B．统计思想C．分类讨论．D．转化思想(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0,△<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为【变式8-2】（2022·四川自贡·统考中考真题）已知二次函数y=ax(1)若a=−1，且函数图象经过0,3，2,−5两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点的坐标；(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；(3)若a+b+c=0且a>b>c，一元二次方程ax2+bx+c=0两根之差等于a−c，函数图象经过P12【变式8-3】（2023·福建泉州·泉州五中校考三模）已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0，a、(1)当a=1且b=c+1时①若抛物线的对称轴为直线x=2，求抛物线的解析式；②若−1<x<3中，恒有y<0，求c的取值范围；(2)若抛物线与x轴只有一个公共点M2,0，与y轴交于0,23；直线y=kx+23−2k与抛物线交于点P、Q，过点P且与y轴平行的直线与直线MQ相交于点N，求证：对于每个给定的实数【考点9利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】【例9】（2022·山东聊城·统考三模）观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x−5=0的正数解在（x－101234x－7－5－151323A．－1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间【变式9-1】（2022·浙江金华·统考一模）方程x2+3x=1的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3A．−1<x<−12 C．−13<x<−【变式9-2】（2022·河南洛阳·统考一模）为解方程12(1)先研究函数y=1x-2-101125y030m−045表格中，m的值为______．(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了函数y=1(3)观察图象，当12x3(4)在第（2）间的平面直角坐标系中画出直线y=1．根据图象直接写出方程12【变式9-3】（2022·江苏宿迁·统考一模）我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解．如图（甲），把方程x﹣2＝1﹣x的解看成函数y＝x﹣2的图象与函数y＝1﹣x的图象的交点的横坐标，求得方程x﹣2＝1﹣x的解为x＝1.5．(1)如图（乙），已画出了反比例函数y=1x在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x2﹣2(2)选择：三次方程x3﹣x2﹣2x+1＝0的根的正负情况是．A，有两个负根，一个正根B．有三个负根C．有一个负根，两个正根D．有三个正根【考点10二次函数与不等式】【例10】（2022·浙江宁波·一模）已知A，B两点的坐标分别为2，−3，0，−1，线段AB上有一动点Mm，n，过点M作x轴的平行线交抛物线y=a(x−1)2+2于A．a<−5 B．a≤−3 C．−5<a【变式10-1】（2022·新疆乌鲁木齐·校考三模）如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+ℎ交于A、B两点，下列是关于xA．ax2B．ax2C．ax2D．ax2+(b−k)x+c=ℎ的解是【变式10-2】（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第九中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx与直线y=−x+b（m、b(1)求m和b的值；(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2(3)点M是直线AB上的一个动点，点N在点M正下方（即MN∥y轴），且MN=2，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标【变式10-3】（2022·河南洛阳·统考一模）如图，抛物线y1=ax2−2x+c的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为D0,3，与直线(1)求抛物线的解析式；(2)求点C的坐标，并结合函数图象直接写出当y1>y(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标xE的取值范围．专题12二次函数的图象及性质（10个高频考点）（举一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考点1二次函数的定义】 1【考点2二次函数的图象与性质】 3【考点3二次函数的图象与系数的关系】 6【考点4二次函数的对称性】 11【考点5二次函数的最值】 21【考点6待定系数法求二次函数的解析式】 29【考点7二次函数图象的平移】 42【考点8二次函数与一元二次方程】 50【考点9利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】 58【考点10二次函数与不等式】 65【要点1二次函数的概念】一般地，形如y=ax是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax次函数的一般形式．【考点1二次函数的定义】【例1】（2022·安徽合肥·校考一模）已知y=m+2xm【答案】2【分析】根据二次函数的定义未知数的指数为2，系数不为0，列式计算即可；【详解】解：∵y=m+2x∴m=2且解得m=2故答案为：2．【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知二次函数解析式未知数系数不为0且指数为2是解题的关键．【变式1-1】（2022·湖南怀化·中考真题）下列函数是二次函数的是（）A．y=2x+1 B．y=−2x+1【答案】C【详解】根据二次函数的定义，形如y=ax2故选C．【变式1-2】（2022·重庆永川·统考一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（

）A．正比例函数关系 B．一次函数关系C．反比例函数关系 D．二次函数关系【答案】D【分析】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，则可表示出y与x的函数关系，根据关系式即可作出选择．【详解】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，由题意得：y=16[2x这是关于一个二次函数．故选：D．【点睛】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式．【变式1-3】（2022·江苏徐州·统考一模）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x【答案】答案不唯一，只要满足b＝－4a，a＜0即可，如y＝－x2＋4x＋3，y＝－2x2＋8x－3等．【详解】试题分析：仔细分析题中要求根据二次函数的性质即可得到结果.答案不唯一，如y＝－(x＋1)2或y＝－(x＋1)2－2．考点：二次函数的性质点评：二次函数的性质是初中数学的重点，是中考必考题，一般难度不大，需熟练掌握.【要点2二次函数的图象与性质】二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c对称轴y轴y轴x=hx=h顶点(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。最小值(或最大值)为0(k或)。增

减

性a>0x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。a<0x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。【考点2二次函数的图象与性质】【例2】（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(

)A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对【答案】D【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定．【详解】∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2＞0，x1≤0且x2+x1＞0，或x2＜0，x1＞0且x2+x1＜0，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键．【变式2-1】（2022·湖南郴州·统考中考真题）关于二次函数y=x−12+5A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是−1,5C．该函数有最大值，是大值是5 D．当x>1时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．【详解】解：对于y=（x-1）2+5，∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；顶点坐标为（1，5），故B错误；该函数有最小值，最小值是5，故C错误；当x>1时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．【变式2-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，根据相似比可知：EFBC即EF6解得：EF=2（3-x），则△DEF的面积y=12×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-32)2+故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(32，9故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．【变式2-3】（2022·江苏盐城·统考中考真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y【答案】1≤n<10【分析】先判断−2<m<2，再根据二次函数的性质可得：n=m2+2m+2=【详解】解：∵点P到y轴的距离小于2，∴−2<m<2，∵点P(m,n)在二次函数y=x∴n=m∴当m=−1时，n有最小值为1．当m=2时，n=2+1∴n的取值范围为1≤n<10.故答案为：1≤n<10【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．【要点3二次函数的图象与各系数之间的关系】①二次项系数：总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．②一次项系数：在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置，对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”③常数项：总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．【考点3二次函数的图象与系数的关系】【例3】（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（）A．abc＞0 B．3a+c＞0C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣2【答案】D【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，不正确，不符合题意；B．函数的对称轴为直线x=-b2a=1，则b=-2a∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，故不正确，不符合题意；C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，∴am2+bm+c≤a+b+c∴am∵a＜0，∴a2m2故不正确，不符合题意；D．∵-b2a=1，故b=-2a∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，∴c=-3a，∵2＜c＜3，∴2＜-3a＜3，∴-1＜a＜﹣23故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．【变式3-1】（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)），下列结论：①abc<0；②3a+c=0；③当y>0时，x的取值范围是−1⩽x<3；④点−2,y1，2,A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，可判断③错误，求出y1=4a−2b+c，【详解】∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1，∴−b∴b=−2a>0，∵抛物线交于y轴正半轴，∴c>0，∴abc<0，故①正确；∵抛物线与x轴交于(-1,0)，∴当x=-1时，a−b+c=0，∵b=−2a，∴将b=−2a代入a−b+c=0，得3a+c=0，故②正确；根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)，∴y＞0时，有−1<x<3，故③错误；∵抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1，当x=-2时，y1当x=2时，y2∵b=−2a，3a+c=0，a<0，∴y1=4a−2−2a∴y1故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开口方向，b往往看对称轴，c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等．【变式3-2】（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为(A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，∴函数的最大值为4a﹣2b+c，∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，∴16a+c＞4b，故③正确；∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），∵抛物线开口向下，∴若-4<x0<0，则y0＞c．若x0≥0，则y故选：B【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．【变式3-3】（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝66．其中正确的有（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出k＞0，可得结论；⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴是直线x＝2，∴﹣b2a∴b＝﹣4a＜0∵抛物线交y轴的负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵b＝﹣4a，a＞0，∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，∵b＜0，∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．∵AM⊥CM，∴∠AMC＝∠KMH＝90°，∴∠CMH＝∠KMA，∵∠MHC＝∠MKA＝90°，∴△MHC∽△MKA，∴MHMK＝CH∴2−9a＝−4a∴a2＝16∵a＞0，∴a＝66故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．【考点4二次函数的对称性】【例4】（2022·四川自贡·统考中考真题）已知A(−3，−2)，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥−2

；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a=12其中正确的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【答案】D【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c)，∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；令y=0，则ax2+bx+c=0，设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1x2=c∴CD2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(−根据顶点坐标公式，4ac−b∴4ac−b2a∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴8a=42=16，解得a=1综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．．

【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况．【变式4-1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(−1,0)，B两点，对称轴是直线x=1A．a>0 B．当x>−1时，y的值随x值的增大而增大C．点B的坐标为(4,0) D．4a+2b+c>0【答案】D【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即a<0，故该选项不符合题意；B、根据图像开口向下，对称轴为x=1，当x>1，y随x的增大而减小；当x<1，y随x的增大而增大，故当−1<x<1时，y随x的增大而增大；当x>1，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；C、根据二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(−1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，可得对称轴x=xBD、根据B(3,0)可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与x轴交点A(−1,0)得到B(3,0)是解决问题的关键．【变式4-2】（2022·北京昌平·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax(1)若抛物线过点(4,−1)．①求抛物线的对称轴；②当−1<x<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；(2)若−4,y1，−2,y2，1,y3为抛物线上的三点且【答案】(1)①x=2；②y=(2)−3【分析】①把(4，-1)代入解析式，确定b=-4a，代入直线x=−b②根据对称轴为直线x=2，且2-（-1）=5-2，判定抛物线经过（-1,0）和（5,0），代入解析式确定a，b的值即可．（2）方法一：根据x=−b2a=t，得到b=-2at，从而解析式变形为y=ax2−2atx−1(a>0)，把−4,y方法二：根据每个点的横坐标离对称轴的远近判断y的大小．（1）解：①把(4，-1)代入解析式y=ax−1=16a+4b−1，解得b=-4a，∴对称轴为直线x=−b②根据题意，画图像如下：∵当−1<x<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，对称轴为直线x=2，且2-（-1）=5-2，∴抛物线经过（-1,0）和（5,0），∴a−b−1=025a+5b−1=0解得a=1∴y=1（2）∵x=−b∴b=-2at，∴解析式变形为y=ax把−4,y1，−2,y2，∵y3∴a−2at−1＞解得t＜故t的取值范围是−3＜方法二：若−4,y1，−2,y2，1,y∵y=15x①当t<−4，则y1②当−4<t<−2时，∵y∴t−解得t>−3∴−3<t<−2③当−2≤t<1，∵y∴t−−2<1−t解得t<−12∴−2≤t<−综上所述，−3【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，二次函数与不等式的综合，熟练掌握待定系数法，对称性，与不等式的关系是解题的关键．【变式4-3】（2022·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−bx（b是常数）经过点2,0．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ=2(1)求该抛物线对应的函数表达式：(2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接BC．当BC=4时，求点B的坐标；(3)若m>0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；(4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为34时，直接写出m【答案】(1)y=(2)B(3)0<m≤12(4)m=−38或m=1【分析】（1）将点2,0代入y=x（2）设Bm,m2−2m，根据对称性可得C2−m,（3）根据题意分两种情况讨论，分别求得当正方形PQMN点Q在x轴上时，此时M与O点重合，当PQ经过抛物线的对称轴x=1时，进而观察图像即可求解；（4）根据题意分三种情况讨论，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解．（1）解：∵抛物线y=x2−bx（∴4−2b=0解得b=2∴y=（2）如图，由y=x2则对称轴为直线x=1，设Bm,m∵BC=2−m−m=4解得m=−1∴B（3）∵点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ=2m，且PQ⊥x∴MN=PQ=2m，且M,N在y①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图，当正方形PQMN点Q在x轴上时，此时M与O点重合，∵PN=PQ∴OP的解析式为y=x∴Am,m，将Am,m即m2−2m−m解得m∵m>0∴A观察图形可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当PQ经过抛物线的对称轴x=1时，∵MQ=PQ=2∴2m=1解得m=1观察图形可知，当0<m≤12时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随综上所述，m的取值范围为0<m≤12（4）①如图，设正方形与抛物线的交点分别为E,F，当yE−∵A是正方形PQMN的中心，A∴x即m=−②如图，当A点在抛物线对称轴左侧，y轴右侧时，∵A∴MN=2m∴∵交点的纵坐标之差为34∴F的纵坐标为m∵F的横坐标为MQ=PQ=2m∴F∵F在抛物线y=x∴解得m=③当A在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为O，S，设直线AM交x轴于点T，如图，则y∴OM=OT=即M设直线MN解析式为y=kx+b则3解得k=−1∴直线MN解析式为y=−x+联立y=解得x1即A的横坐标为32，即m=综上所述，m=−38或m=1【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．【考点5二次函数的最值】【例5】（2022·浙江衢州·统考中考真题）已知二次函数y=a(x−1)2−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−4，则aA．12或4 B．43或−12 C．−4【答案】D【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．【详解】解：二次函数y=ax−12−a（1）当a>0时，当−1≤x≤1时，y随x的增大而减小，当1≤x≤4，y随x的增大而增大，∴当x=1时，y取得最小值，∴y=a1−1∴a=4；（2）当a<0时，当−1≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤4，y随x的增大而减小，∴当x=4时，y取得最小值，∴y=a4−1∴a=−1故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．【变式5-1】（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，已知点Mx1,y1(1)若二次函数的图像经过点(3,1)．①求这个二次函数的表达式；②若y1=y(2)当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，【答案】(1)①y=2x2(2)1【分析】（1）①将点(3,1)代入y=a(x−2)②当y1=y2时，此时MN为平行x轴的直线，将Mx1,y1（2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2；若M、N在对称轴的异侧，y【详解】（1）解：①将点(3,1)代入y=a(x−2)∴1=a(3−2)2−1∴二次函数的表达式为：y=2(x−2)②当y1=y2时，此时将Mx1,将Nx2,∵y1∴2x12整理得到：(x又∵x2−x1=3∴y2=y1=2×又∵二次函数的顶点坐标为(2，-1)，∴顶点(2,-1)到MN的距离为72（2）解：若M，N在对称轴的异侧，y1∴x1+3>2，∴x1>-1，∵x∴x1∴-1<x1∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1，∴y-（-1）=1，∴a=1x∴94∴19若M、N在对称轴的异侧，y1≤y2∵x1∴12∵函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1，∴y-（-1）=1，∴a=1x∴94∴19综上所述，a的取值范围为19【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小)．【变式5-2】（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD交y轴于点E，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BEA．2425 B．2524 C．58【答案】A【分析】根据已知条件设P(m,m2−2m−3)，其中0<m<3，求得直线AP的解析式，直线BE的解析式，联立即可求得点G的坐标，根据w=12AB⋅|y【详解】∵点P在第四象限的抛物线上，AP、BE交于点G，如图，当y=0时，x2解得x1=−1即A(−1,0)，B(3,0)，∵D为抛物线顶点，∴D1,−4设直线AD的解析式为y=ax+b，∵A(−1,0)，D1,−4∴−a+b=0a+b=−4解得：a=−2b=−2∴直线AD的解析式为y=−2x−2，当x=0时，y=−2，∴E(0,−2)，设P(m,m2−2m−3)设直线AP的解析式为y=cx+d，∵A(−1,0),P(m,m∴−c+d=0m解得：c=m−3d=m−3∴直线AP的解析式为y=(m−3)x+m−3．设直线BE的解析式为y=ex+f，∵B(3,0),E(0,−2)，∴3e+f=0f=−2解得e=2∴直线BE的解析式为y=2联立方程组，得：y=m−3解得：x=3−3m∴yG∵0<m<3，∴24−8m>0，3m−11<0，∴24−8m3m−11∴w=S令z=−3m∵−3<0，∴当m=43时，z取得最大值253，w∴w有最小值，最小值为2425故选：A．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法与三角形面积计算，二次函数的性质求最值问题，运用转化思想是解题的关键．【变式5-3】（2022·天津滨海新·统考二模）已知：抛物线y=−13x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（－2，0），C(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；(3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN=2，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．【答案】(1)y=−(2)（3，5）(3)2【分析】(1)利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；(2)首先点B的坐标，再求出直线BC的解析式，过点P作PF⊥x轴于F，交BC于点Q，设点P（m，−13m2+（3）由四边形AMNC的周长=AM+MN+CN+AC，得到当AM+CN最小时，四边形AMNC的周长最小，得出AM+CN=AM+DM，求出AM+DM的最小值即可得到结论.【详解】（1）解：∵抛物线y=−13x2+bx+c∴−解得b=∴该抛物线的解析式：y=−（2）解：∵点B是抛物线y=−13x∴−1∴x1=−2∴点B的坐标为（6，0），设直线BC的解析式为y=kx+n，

∵点B（6，0），C(0，4)∴6k+n=0解得k=−23∴直线BC解析式为：y=−23如图，过点P作PF⊥x轴于F，交BC于点Q，设点P（m，∴PQ=−∴S∴当m=3时，SΔ∴点P的坐标为（3，5）．（3）解：∵A（-2，0），C（0，4），∴AC=2∵四边形AMNC的周长=AM+MN+CN+AC，MN=2，∴当AM+CN最小时，四边形AMNC的周长最小.将CN向下平移2个单位长度，得到对应线段DM，∴点C的对应点D的坐标为（0，2），∴AM+CN=AM+DM，可知抛物线y=−13x如图，作点D关于对称轴x=2的对称点D′，可求得D′（4，2），连接则AD'过点D′作D′E⊥x轴于点E，D′∴AM+DM的最小值为AD∴四边形AMNC周长的最小值为AC+MN+AD【点睛】本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、最短路线问题等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．【考点6待定系数法求二次函数的解析式】【例6】（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3,0)，D−2,−52两点，与x轴的另一个交点为(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）【答案】(1)y=−12(2)M32,158，当(3)满足条件的点P坐标为P14,−52【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M（m，-12m2+m+32），则N（m，-12m+32），可得S△MBC=12•MN（3）设Q（0，t），P（m，-12m2+m+32），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当（1）解：把点B(3,0)和D−2,−529a+3+c=04a−2+c=−解得a=−∴抛物线的解析式为y=−把x=0代入y=−12∴C0,（2）解：作直线BC，作MN∥y轴交直线BC于点N设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）把点B(3,0)和C0,3可得3k+b解得k=−∴直线BC的解析式为y=−设点M的横坐标为m∴Mm,−1∴MN==−∴S=−34m−∴当m=32时，S把x=32代入y=−∴M3（3）解：当以AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可∴点P的横坐标为4或-4把x=4代入y=−12把x=−4代入y=−12∴此时P14,−当以AB为对角线时，作P3H⊥x∵四边形AQ∴A∴∠在△AOQ3和∠∴△AO∴OA=HB=1∴OH=OB−BH=3−1=2∴点P的横坐标为2把x=2代入y=−12∴此时P综上所述，满足条件的点P坐标为P14,−52【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．【变式6-1】（2022·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)①4；②是，定值为8，理由见解析【分析】（1）由当y≥0时，−1≤x≤3，可知x1=−1，x2=3是（2）①把x=2代入抛物线解析式可得D点坐标，再x=0代入抛物线解析式可得C点坐标，从而得知线段CD∥x轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用②设Dm,−m2+2m+3(1<m<3)，用待定系数法求出直线AD与直线BD的解析式，再令x=1得yM，yN【详解】（1）解：∵当y≥0时，−1≤x≤3，∴x1=−1，x2=3是∴a−2+c=09a+6+c=0解得：a=−1c=3∴抛物线的表达式为：y=−x（2）①把x=2代入y=−x2+2x+3∴D(2,3)．又当x=0，y=3，∴C(0,3)，∴线段CD∥∵y=−x∴F(1,4)，S四边形②设Dm,−直线AD:y=k1x+因此可得：0=−k1+解得：k1=3−mb∴直线AD:y=(3−m)x+(3−m)，BD:y=−(m+1)x+3(m+1)．令x=1得yM=6−2m，∴ME=6−2m，NE=2m+2，∴NE+ME=8．【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数法和面积求法是解题的关键．【变式6-2】（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B两点，与(1)求抛物线的解析式．(2)点P是第三象限抛物线上一点，直线PE与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．(3)在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB′，当直线EB′与直线BP相交所成锐角为【答案】(1)y=−1(2)P（−3，−7）；(3)B′的坐标为455【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）先由△BDC的面积求出OD的长，从而确定D点坐标为（0，−4），再由待定系数法求出直线BD的解析式，直线BD与抛物线的交点即为所求；（3）当B′在第一象限时，由∠ODB＝45°，可知EB′∥CD，求出直线BC的解析式，可设E（t，−12t+2），在Rt△OHB′中，B′H=16−t2，则BE=16−t2+12t−2，在Rt△BHE4−t2+−12（1）将A（−1，0），C（0，2）代入y=−1∴c=2−解得b=3∴y=−1（2）令y＝0，则−1解得x＝−1或x＝4，∴B（4，0），∴OB＝4，∴S△BCD∴OD＝4，∴D（0，−4），设直线BD的解析式为y＝kx＋b，∴b=−44k解得k=1b=−4∴y＝x−4，联立方程组y=x−4y=−解得x=−3y=−7或x=4∴P（−3，−7）；（3）如图1，当B′设直线BC的解析式为y＝b′解得k′∴y=−1设E（t，−1∴OE＝t，EH＝−1∵D（0，−4），B（4，0），∴OB＝OD，∴∠ODB＝45°，∵直线EB′与直线∴EB由折叠可知，OB′=BO=4在Rt△OHB′中，∴B′∴BE=在Rt△BHE中，16−t解得t=±4∵0≤t≤4，∴t＝45∴B′如图2，当B′在第二象限，∠BG∵∠ABP＝45°，∴B′∵B′∴四边形B′∴B′∴B′由折叠可知OB=OB∴平行四边形OBEB∴BE＝OB，∴4−t2解得t=4+855∵0≤t≤4，∴t=4−8∴B′综上所述：B′的坐标为455【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用是解题的关键．【变式6-3】（2022·江苏镇江·统考中考真题）一次函数y=12x+1的图像与x轴交于点A，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点A、原点(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，一次函数y=12x+n(n>−916,n≠1)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像交于点C(x1,y1)、D(x2,y①x1=_________，x2②证明：AE=BF；(3)如图2，二次函数y=a(x−t)2+2的图像是由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像平移后得到的，且与一次函数y=12x+1的图像交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、①A′M与②若A′M+3B【答案】(1)y=(2)①−3−9+16n4，(3)①A′【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、C三点坐标代入二次函数表达式即可求解；（2）①通过联立关系式可得：12x+n=x②通过A（-2，0），E(−3−9+16n4通过B(12,54)（3）①通过二次函数平移前后的表达式可以确定新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移(t+1)个单位，向上平移3个单位得到的，从而可以得到：A′(t−1,3)，B′(t+32,174)②由①可得5−8t−15【详解】（1）令y=0，则12x+1=0，解得∴A(−2,0)，将点B(m,54)代入y=∴点B的坐标为(1将A(−2,0)，B(12,54{4a−2b+c=014∴二次函数的表达式为y=x（2）①∵一次函数y=12x+n(n>−916,n≠1)与二次函数y=ax∴联立关系式得：12整理得：x2解得：x1=−故答案为：x1=−3−②当n>1时，CD位于AB的上方，∵A(−2,0)、B(1∴AE=−2−−32∴AE=BF，当−916<n<1时，CD故可得：AE=BF；（3）方法一：①∵二次函数y=x2+2x二次函数y=(x−t)2+2∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移(t+1)个单位，向上平移3个单位得到的．∴A(−2,0)的对应点为A′(t−1,3)，B(1联立关系式可得：(x−t)2整理得：x2△=8t−15当t>158时，解得：xP∴NB′=t+∴A′②∵A′M+3B∴A′∴5−8t−154=方法二：①设P、Q平移前的对应点分别为P′、Q′，则P′∵A′、B′平移前的对应点分别为A、由（2）②及平移的性质可知，A′②∵A′M+3B∵B(12,54)到y轴的距离为12∴平移后点O的对应点即为点Q．∵二次函数y=x2+2x二次函数y=(x−t)2+2∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移(t+1)个单位，向上平移3个单位得到的．∴Q(t+1,3)，将点Q的坐标代入y=12x+1另解：∵A′M+3BB(12,54∴点Q的横坐标为t+1，代入y=12x+1∴Q(t+1,12t+32)．将点【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解决本题的关键．【要点4二次函数图象的平移变换】（1）平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：（2）平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．【考点7二次函数图象的平移】【例7】（2022·四川巴中·统考中考真题）函数y=ax2+bx+ca>0,b2−4ac>0的图象是由函数①2a+b=0；②c=3；

③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为−b2a=1，进而可得2a+b=0，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），y=ax2+bx+ca>0,b2−4ac>0的图象【详解】解：由函数图象可得：y=ax2+bx+c∴对称轴为x=−1+32=1∴整理得：2a+b=0，故①正确；∵y=ax2y=ax2+bx+c∴c＝-3，故②错误；∵y=ax2+bx+ca>0,b∴b＜0，又∵c＝-3＜0，∴abc>0，故③正确；设抛物线y=ax2+bx+c代入（0，3）得：3=−3a，解得：a＝－1，∴y=−x+1∴顶点坐标为（1，4），∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．【变式7-1】（2022·上海·统考中考真题）已知：y=12x2+bx+c(1)求函数解析式；(2)平移抛物线使得新顶点为Pm,n（m①倘若S△OPB=3，且在x=k的右侧，两抛物线都上升，求②P在原抛物线上，新抛物线与y轴交于Q，∠BPQ=120∘时，求【答案】(1)y=(2)①k≥2②P的坐标为（23，3）或（-23，3）【分析】（1）把A−2，−1，B（2）①由y=12x2−3，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据S△OPB=②把P（m，n）代入y=12x2−3，得n=12m2−3，则P（m，12m2−3），从而求得新抛物线解析式为：y=12(x-m)2+n=12x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=m2+(12m2−3+3)2=m2+14m4，PQ2=m2+[(12m2−3)−(m2（1）解：把A−2，−1，B−1=2−2b+c−3=c，解得：b=0∴函数解析式为：y=1（2）解：①∵y=1∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，∵平移抛物线使得新顶点为Pm,n（m∴抛物线向右平移了m个单位，∴S△OPB∴m=2，∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上，∵在x=k的右侧，两抛物线都上升，又∵原抛物线对称轴为y轴，开口向上，∴k≥2，②把P（m，n）代入y=12x2−3∴P（m，12根据题意，得新抛物线解析式为：y=12(x-m)2+n=12x2-mx+m∴Q(0，m2-3)，∵B（0，-3），∴BQ=m2，BP2=m2PQ2=m2∴BP=PQ，如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，∵BP=PQ，PC⊥BQ，∴BC=12BQ=12m2，∠BPC=12∠BPQ∴tan∠BPC=tan60°=BCPC解得：m=±23，∴n=12故P的坐标为（23，3）或（-23，3）【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般．【变式7-2】（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．(1)求抛物线L1的函数表达式．(2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．(3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．【答案】(1)y=(2)m的值为4(3)n>3【分析】（1）把A(1,0)代入y=a(x+1)2−4即可解得抛物线L（2）将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2，顶点为(−1,−4+m)，关于原点的对称点为(1,4−m)，代入y=x（3）把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得抛物线L3为y=(x−n+1)2−4，根据点B(1，y1)，C(3，y2)都在抛物线L3上，当y1＞y2时，可得【详解】（1）解：把A(1,0)代入y=a(x+1)a(1+1)解得a=1，∴y=(x+1)答：抛物线L1的函数表达式为y=（2）解：抛物线L1:y=(x+1)将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2，则抛物线L2而(−1,−4+m)关于原点的对称点为(1,4−m)，把(1,4−m)代入y=x12解得m=4，答：m的值为4；（3）解：把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得到抛物线L3，抛物线L3∵点B(1,y1)，C(3,∴yy2∵y1＞y2，∴(2−n)整理变形得：(2−n)2(2−n+4−n)(2−n−4+n)>0−2×(6−2n)>0，6−2n<0解得n>3，∴n的取值范围是n>3．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关键是能得出含字母的式子表达抛物线平移后的解析式．【变式7-3】（2022·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点(1)求抛物线F1(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线(3)如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形【答案】(1)y=(2)y=−(3)①C−2,−3或D【分析】（1）将点A−3,0和点B1,0代入（2）利用对称性求出函数F1顶点−1,−4关于原点的对称点为1,4，即可求函数F（3）①通过联立方程组y=−x2+2x+5y=x②求出直线CD的解析式，过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交于点E，设Mm,m2+2m−3，Nn,−n2+2n+5，则Fm,2m+1（1）解：将点A−3,0和点B1,0代入∴9−3b+c=01+b+c=0，解得b=2∴y=x（2）∵y=x∴抛物线的顶点−1,−4，∵顶点−1,−4关于原点的对称点为1,4，∴抛物线F2的解析式为y=−∴y=−x（3）由题意可得，抛物线F3的解析式为y=−①联立方程组y=−x解得x=2或x=−2，∴C−2,−3或D②设直线CD的解析式为y=kx+b，∴−2k+b=−32k+b=5，解得k=2∴y=2x+1，过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥设Mm,m2则Fm,2m+1，N∴MF=2m+1−mNE=−n∵−2<m<2，−2<n<2，∴当m=0时，MF有最大值4，当n=0时，NE有最大值4，∵S四边形∴当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为16．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和对称的性质是解题的关键．【要点5二次函数与一元二次方程之间的关系】判别式情况b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点a＞0a＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根有两个不相等的实数根x1，x2有两个相等的实数根x1＝x2没有实数根【考点8二次函数与一元二次方程】【例8】（2022·湖北恩施·统考中考真题）已知抛物线y=12x2−bx+c，当x=1时，y<0①b2>2c；②若c>1，则b>32；③已知点Am1,n1，Bm2,n2在抛物线其中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用根的判别式可判断①；把x=1，代入，得到不等式，即可判断②；求得抛物线的对称轴为直线x=b，利用二次函数的性质即可判断③；利用根与系数的关系即可判断④．【详解】解：∵a=12>0，开口向上，且当x=1时，y<0；当x=2时，y<0∴抛物线y=12x∴△=b∴b2∵当x=1时，y<0，∴12-b+c<0，即b>12+∵c>1，∴b>32抛物线y=12x2−bx+c当x<b时，y的值随x的增加反而减少，∴当m1<m∵方程12x2−bx+c=0的两实数根为x1∴x1+x2=2b，∵当c>1时，b>32∴则x1+x2>3，但当c<1时，则b未必大于32，则x1+x2故④不正确；综上，正确的有①②③，共3个，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系等知识，解题的关键是读懂题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式8-1】（2022·山西·中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程