2025届吉林省吉林市第五十五中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2025届吉林省吉林市第五十五中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金杖，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若该金杖从头到尾每一尺重量构成等差数列，其中重量为，则的值为（）A.4 B.12C.15 D.182．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）A. B.C. D.3．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是（）A.既不互斥也不对立 B.互斥又对立C.互斥但不对立 D.对立4．三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且异面直线AC与BD所成角为60°，E、F分别是棱DC、AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°5．“椭圆的离心率为”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6．已知在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线过点且与直线垂直.若直线与圆交于两点，则的面积为A.1 B.C.2 D.7．函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8．双曲线的左右焦点分别是，，直线与双曲线在第一象限的交点为，在轴上的投影恰好是，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.9．已知直线过点且与直线平行，则直线方程为（）A. B.C. D.10．已知直线和互相平行，则实数（）A. B.C.或 D.或11．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为（）A. B.C. D.12．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．用数学归纳法证明等式：，验证时，等式左边________14．在等差数列中，前n项和记作，若，则______15．已知数列满足，则_____________16．写出一个离心率且焦点在轴上的双曲线的标准方程________,并写出该双曲线的渐近线方程________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）若函数在区间上的最大值为9，最小值为1.（1）求a，b的值；（2）若方程在上有两个不同的解，求实数k的取值范围.18．（12分）已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）若,,求19．（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的值域.20．（12分）在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点满足（1）若平面，求的值；（2）求点到平面的距离；（3）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值21．（12分）已知数列满足（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和22．（10分）已知函数，，其中.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先求出公差，再利用公式可求总重量.【详解】设头部一尺重量为，其后每尺重量依次为，由题设有，，故公差为.故中间一尺的重量为所以这5项和为.故选：C.2、B【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.3、C【解析】根据互斥事件、对立事件的定义可得答案.【详解】把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，所以它们的关系是互斥但不对立.故选：C.4、B【解析】取AD中点为G，连接GF、GE，易知△EFG为等腰三角形，且∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，据此可求∠FEG大小，从而得EF和AC所成的角的大小【详解】如图，取AD中点为G，连接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角为∠FEG或其补角，当∠EGF＝60°时，∠FEG＝60°，当∠EGF＝120°时，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故选：B5、C【解析】讨论椭圆焦点的位置，根据离心率分别求出参数m，由充分必要性的定义判断条件间的充分、必要关系.【详解】当椭圆的焦点在轴上时，，得；当椭圆的焦点在轴上时，，得故“椭圆的离心率为”是“”的必要不充分条件故选：C.6、A【解析】∵圆的方程为，即，∴圆的圆心为，半径为2.∵直线过点且与直线垂直∴直线.∴圆心到直线的距离.∴直线被圆截得的弦长，又∵坐标原点到的距离为，∴的面积为.考点：1、直线与圆的位置关系；2、三角形的面积公式.7、B【解析】方程有两个根，转化为求函数的单调性与极值【详解】函数定义域是，有两个零点，即有两个不等实根，即有两个不等实根设，则，时，，递减，时，，递增，极小值＝，而时，，时，，所以故选：B8、D【解析】根据题意的到，，代入到双曲线方程，解得，即，则，即，即，求解方程即可得到结果.【详解】设原点为，∵直线与双曲线在第一象限的交点在轴上的投影恰好是，∴，且，∴，将代入到双曲线方程，可得，解得，即，则，即，即，解得（舍负），故.故选:D.9、C【解析】由题意，直线的斜率为，利用点斜式即可得答案.【详解】解：因为直线与直线平行，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，即，故选：C.10、C【解析】根据题意，结合两直线的平行，得到且，即可求解.【详解】由题意，直线和互相平行，可得且，即且，解得或.故选：C.11、C【解析】由题意画出几何体的图形，把、、、扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，由此能求出球的表面积【详解】把、、、扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，，，是正三角形，，，球的表面积为故选：C12、C【解析】点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，可得b≥c，利用离心率计算公式即可得出【详解】∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a∴故选C【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据数学归纳法的步骤即可解答.【详解】用数学归纳法证明等式：，验证时，等式左边=.故答案为：.14、16【解析】根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得；【详解】解：因为，所以，即，所以，所以，所以；故答案为：15、【解析】找到数列的规律，由此求得.【详解】依题意，，，所以数列是以为周期的周期数列，.故答案为：16、①.(答案不唯一)②.(答案不唯一)【解析】令双曲线为，根据离心率可得，结合双曲线参数关系写出一个符合要求的双曲线方程，进而写出对应的渐近线方程.【详解】由题设，可令双曲线为且，∴，则，故为其中一个标准方程，此时渐近线方程为.故答案为：，(答案不唯一).三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）令，则，根据二次函数的性质即可求出；（2）令，方程化为，求出的变化情况即可求出.【小问1详解】令，则，则题目等价于在的最大值为9，最小值为1，对称轴，开口向上，则，解得；【小问2详解】令，则，于是方程可变为，即，因为函数在单调递减，在单调递增，且，要使方程有两个不同的解，则与有两个不同的交点，所以.18、（1）；（2）【解析】（1）将已知条件整理变形为等比数列的首项和公比来表示，解方程组得到基本量，可得到通项公式（2）化简通项得，根据特点求和时采用错位相减法求解试题解析：（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入,得=8,2分∴+=20∴解之得或4分又单调递增，∴="2,"=2,∴=2n6分（2）,∴①8分∴②∴①-②得＝12分考点：1．等比数列通项公式；2．错位相减求和19、（1）单调递增区间（−∞，−1）和（4，＋∞），单调递减区间（−1，4）（2）【解析】（1）求出，令，由导数的正负即可得到函数f（x）的单调递增区间和递减区间；（2）求出函数在区间中的单调性，求出极大值和极小值以及区间端点的函数值，比较大小即可得到答案【小问1详解】由函数得，令，解得x＜−1或x＞4，；令，解得−1＜x＜4，故函数f（x）的单调递增区间为（−∞，−1）和（4，＋∞），单调递减区间为（−1，4）；【小问2详解】由（1）可知，当x∈[−3，−1）时，，f（x）单调递增，当x∈（−1，4）时，，f（x）单调递减，当x∈（4，6]时，，f（x）单调递增，所以当x＝−1时，函数f（x）取得极大值f（−1）＝，当x＝4时，函数f（x）取得极小值f（4）＝，又，所以当x∈[−3，6]时，函数f（x）的值域为20、（1）；（2）；（3）或.【解析】(1)连接ME，证明即可计算作答.(2)以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点到平面的距离即可.(3)由(2)中空间直角坐标系，借助空间向量求平面与平面所成角的余弦即可计算作答.【小问1详解】在三棱柱中，因，即点在上，连接ME，如图，因平面面，面面，则有，而为中点，于是得为的中点，所以.【小问2详解】在三棱柱中，面面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，又为正方形，即，而平面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，依题意，，则，，设平面的法向量为，则，令，得，又，则到平面的距离，所以点到平面的距离为.【小问3详解】因，则，，设面的法向量为，则，令，得，于是得，而平面与平面所成角的正弦值为，则，即，整理得，解得或，所以的值是或.【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.21、（1）证明见解析，；（2）.【解析】（1）由得是公差为2的等差数列，再由可得答案.（2）,分为奇数、偶数，分组求和即可求解.【小问1详解】由，得，故