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文档简介
福建福州市2025届高二上数学期末质量跟踪监视模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.俗话说“好货不便宜,便宜没好货”,依此判断,“不便宜”是“好货”的()A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋,若冰淇淋融化后正好盛满杯子,则杯子的高()A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm3.已知直线的方程为,则该直线的倾斜角为()A. B.C. D.4.在正方体中,P,Q两点分别从点B和点出发,以相同的速度在棱BA和上运动至点A和点,在运动过程中,直线PQ与平面ABCD所成角的变化范围为A. B.C. D.5.某学校随机抽取了部分学生,对他们每周使用手机的时间进行统计,得到如下的频率分布直方图.则下列说法:①;②若抽取100人,则平均用时13.75小时;③若从每周使用时间在,,三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈,则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是()A.①② B.①③C.②③ D.①②③6.已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆上的A,B两点关于原点对称,|FA|=2|FB|,且·≤a2,则该椭圆离心率的取值范围是()A.(0,] B.(0,]C.,1) D.,1)7.为发挥我市“示范性高中”的辐射带动作用,促进教育的均衡发展,共享优质教育资源.现分派我市“示范性高中”的5名教师到,,三所薄弱学校支教,开展送教下乡活动,每所学校至少分派一人,其中教师甲不能到学校,则不同分派方案的种数是()A.150 B.136C.124 D.1008.若双曲线的一个焦点为,则的值为()A. B.C.1 D.9.已知a、b是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若a∥α,a∥b,则b∥α B.若a∥α,a∥β,则α∥βC.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β D.若a⊥α,b⊥α,则a∥b10.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝,如图所示,它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用4种不同的颜色(4种颜色全部使用)给这5个区域涂色,要求相邻的区域不能涂同一种颜色,每个区域只涂一种颜色,则不同的涂色方案有()A.24种 B.48种C.72种 D.96种11.在棱长均为1的平行六面体中,,则()A. B.3C. D.612.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点,,其欧拉线方程为,则顶点的坐标可以是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若命题“,不等式恒成立”为真命题,则实数a的取值范围是________.14.若正实数满足则的最小值为________________________15.设椭圆标准方程为,则该椭圆的离心率为______16.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层灯数为_____________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知:圆是的外接圆,边所在直线的方程为,中线所在直线的方程为,直线与圆相切于点.(1)求点和点的坐标;(2)求圆的方程.18.(12分)一项“过关游戏”规则规定:在第关要抛掷一颗正六面体骰子次,每次掷得的点数均相互独立,如果这次抛掷所出现的点数之和大于,则算过关.(1)这个游戏最多过几关?(2)某人连过前两关的概率是?(3)某人连过前三关的概率是?19.(12分)2020年3月20日,中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》(以下简称《意见》),《意见》中确定了劳动教育内容要求,要求普通高中要注重围绕丰富职业体验,开展服务性劳动、参加生产劳动,使学生熟练掌握一定劳动技能,理解劳动创造价值,具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动,在实践中让学生利用所学知识技能,服务他人和社会,强化社会责任感,为了调查学生参加公益劳动的情况,学校从全体学生中随机抽取100名学生,经统计得到他们参加公益劳动的总时间均在15~65小时内,其数据分组依次为:,,,,,得到频率分布直方图如图所示,其中(1)求,的值,估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数(同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替);(2)学校要在参加公益劳动总时间在、这两组的学生中用分层抽样的方法选取5人进行感受交流,再从这5人中随机抽取2人进行感受分享,求这2人来自不同组的概率20.(12分)已知等比数列的公比为,前项和为,,,(1)求(2)在平面直角坐标系中,设点,直线的斜率为,且,求数列的通项公式21.(12分)各项都为正数的数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)求;(3)设,数列的前项和为,求使成立的的最小值.22.(10分)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】将“好货”与“不便宜”进行相互推理即可求得答案.【详解】根据题意,“好货”一定“不便宜”,但是“不便宜”不一定是“好货”,所以“不便宜”是“好货”的必要不充分条件.故选:A.2、A【解析】根据圆锥和球的体积公式以及半球的体积等于圆锥的体积,即可列式解出【详解】由题意可得,,解得.故选:A3、D【解析】设直线倾斜角为,则,即可求出.【详解】设直线的倾斜角为,则,又因为,所以.故选:D.4、C【解析】先过点作于点,连接,根据题意,得到即为直线与平面所成的角,设正方体棱长为,设,推出,进而可求出结果.【详解】过点作于点,连接,因为四棱柱为正方体,所以易得平面,因此即为直线与平面所成的角,设正方体棱长为,设,则,,因为两点分别从点和点出发,以相同的速度在棱和上运动至点和点,所以,因此,所以,因为,所以,则,因此.故选:C.【点睛】本题主要考查求线面角的取值范围,熟记线面角的定义即可,属于常考题型.5、B【解析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出,再求出频率分布直方图的平均值,即为抽取100人的平均值的估计值,再利用分层抽样可确定出使用时间在内的学生中选取的人数为3.【详解】,故①正确;根据频率分布直方图可估计出平均值为,所以估计抽取100人的平均用时13.75小时,②的说法太绝对,故②错误;每周使用时间在,,三组内的学生的比例为,用分层抽样的方法选取8人进行访谈,则应从使用时间在内的学生中选取的人数为,故③正确.故选:B.6、B【解析】如图设椭圆的左焦点为E,根据题意和椭圆的定义可知,利用余弦定理求出,结合平面向量的数量积计算即可.【详解】由题意知,如图,设椭圆的左焦点为E,则,因为点A、B关于原点对称,所以四边形为平行四边形,由,得,,在中,,所以,由,得,整理,得,又,所以.故选:B7、D【解析】对甲所在组的人数分类讨论即得解.【详解】当甲一个人去一个学校时,有种;当甲所在的学校有两个老师时,有种;当甲所在的学校有三个老师时,有种;所以共有28+48+24=100种.故选:D【点睛】方法点睛:排列组合常用方法有:简单问题直接法、小数问题列举法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、至少问题间接法、复杂问题分类法、等概率问题缩倍法.要根据已知条件灵活选择方法求解.8、B【解析】由题意可知双曲线的焦点在轴,从而可得,再列方程可求得结果【详解】因为双曲线的一个焦点为,所以,,所以,解得,故选:B9、D【解析】根据空间线、面的位置关系有关定理,对四个选项逐一分析排除,由此得出正确选项.【详解】对于A选项,直线有可能平面内,故A选项错误.对于B选项,两个平面有可能相交,平行于它们的交线,故B选项错误.对于C选项,可能相交,故C选项错误.根据线面垂直的性质定理可知D选项正确.故选:D.10、B【解析】根据题意,分2步进行分析区域①、②、⑤和区域③、④的涂色方法,由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意,分2步进行分析:当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻,有种涂色的方法;当区域③、④,必须有1个区域选第4种颜色,有2种选法,选好后,剩下的区域有1种选法,则区域③、④有2种涂色方法,故共有种涂色的方法.故选:B11、C【解析】设,,,利用结合数量积的运算即可得到答案.【详解】设,,,由已知,得,,,,所以,所以.故选:C12、C【解析】设出点C坐标,求出的重心并代入欧拉线方程,验证并排除部分选项,余下选项再由外心、垂心验证判断作答.【详解】设顶点的坐标为,则的重心坐标为,依题意,,整理得:,对于A,当时,,不满足题意,排除A;对于D,当时,,不满足题意,排除D;对于B,当时,,对于C,当时,,直线AB的斜率,线段AB中点,线段AB中垂线方程:,即,由解得:,于是得的外心,若点,则直线BC的斜率,线段BC中点,该点与点M确定直线斜率为,显然,即点M不在线段BC的中垂线上,不满足题意,排除B;若点,则直线BC的斜率,线段BC中点,线段BC中垂线方程为:,即,由解得,即点为的外心,并且在直线上,边AB上的高所在直线:,即,边BC上的高所在直线:,即,由解得:,则的垂心,此时有,即的垂心在直线上,选项C满足题意.故选:C【点睛】结论点睛:的三顶点,则的重心为.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】,不等式恒成立,只要即可,利用基本不等式求出即可得出答案.【详解】解:因为,不等式恒成立,只要即可,因为,所以,则,当且仅当,即时取等号,所以,所以.故答案为:.14、【解析】利用基本不等式即可求解.【详解】,,又,,,当且仅当即,等号成立,.故答案为:【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.15、##【解析】求出、的值,即可求得椭圆的离心率.【详解】在椭圆中,,,则,因此,该椭圆的离心率为.故答案为:.16、3【解析】分析:设塔的顶层共有a1盏灯,则数列{an}公比为2的等比数列,利用等比数列前n项和公式能求出结果详解:设塔的顶层共有a1盏灯,则数列{an}公比为2的等比数列,∴S7==381,解得a1=3.故答案为3.点睛:本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)A(1,7),(2)【解析】(1)与的的交点为点D,与的的交点为点A,联立解方程即可得出结果.(2)设圆P的圆心P为,由,,计算求解即可得出点坐标,由求得半径,进而可得出圆的方程.【小问1详解】由题可得:与的的交点为点D,故由,解得:,故与的的交点为点A,,解得:,故A(1,7)【小问2详解】设圆P的圆心P为,由与圆相切于点A,且的斜率为,则即,即,①又圆P为的外接圆,则BC为圆P的弦,又边BC所在直线的科率为,故根据垂径定理,有进而,即②,联立①②,解得:,即故,则圆P的方程为:.18、(1)关(2)(3)【解析】(1)由题意,可判断时,,当,所以可判断出最多只能过关;(2)记一次抛掷所出现的点数之和大于为事件,两次抛掷所出现的点数之和大于为事件,得基本事件的总数以及满足题意的基本事件的个数,计算出,,从而根据概率相乘求解得连过前两关的概率;(3)设前两次和为,第三次点数为,列出第三关过关的基本事件的个数,利用概率相乘即可得连过前三关的概率.【小问1详解】因为骰子出现的点数最大为,当时,,而,所以时,这次抛掷所出现的点数之和均小于,所以最多只能过关.【小问2详解】记一次抛掷所出现的点数之和大于为事件,基本事件总数为个,符合题意的点数为,共个,所以;记两次抛掷所出现的点数之和大于为事件,基本事件总数为个,不符合题意的点数为,共个,则由对立事件的概率得,所以连过前两关的概率为;【小问3详解】前两次和为,第三次点数为则考虑再考虑2种3种4种5种6种5种4种3种2种1种所以满足共有因此某人连过前三关的概率是.19、(1),;平均数为40.2;(2)【解析】(1)根据矩形面积和为1,求的值,再根据频率分布直方图求平均数;(2)首先利用分层抽样,在中抽取3人,在中抽取2人,再编号,列举基本事件,求概率,或者利用组合公式,求古典概型概率.详解】(1)依题意,,故又因为,所以,所求平均数为(小时)所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为40.2(2)由频率分布直方图可知,参加公益劳动总时间在和的学生比例为又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取5人,则在中抽取3人,分别记为,,,在中抽取2人,分别记为,,则从5人中随机抽取2人基本事件有,,,,,,,,,这2人来自不同组的基本事件有:,,,,,,共6个,所以所求的概率解法二:由频率分布直方图可知,参加公益劳动总时间在和的学生比例为又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取5人,则在中抽取3人,在中抽取2人,则从5人中随机抽取2人的基本事件总数为这2人来自不同组的基本事件数为所以所求的概率20、(1),;(2),【解析】(1)设出等比数列的首项和公比,根据已知条件列出关于的方程组,由此求解出的值,则通项公式可求;(2)根据题意表示出斜率关系,然后采用累加法求解出的通项公式.【详
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