2025届上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、卢高、东昌等七校数学高三上期末监测模拟试题含解析

2025届上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、卢高、东昌等七校数学高三上期末监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合,则（）A． B． C． D．2．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B．天津的往返机票平均价格变化最大C．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加3．已知函数，，则的极大值点为()A． B． C． D．4．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，，则输出的（）A．3 B．4 C．5 D．65．若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（）A．85 B．84 C．57 D．566．直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（）A． B． C． D．7．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．8．在棱长为a的正方体中，E、F、M分别是AB、AD、的中点，又P、Q分别在线段、上，且，设平面平面，则下列结论中不成立的是（）A．平面 B．C．当时，平面 D．当m变化时，直线l的位置不变9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A． B． C． D．10．已知六棱锥各顶点都在同一个球（记为球）的球面上，且底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，若，，则球的表面积为（）A． B． C． D．11．已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．+112．设实数、满足约束条件，则的最小值为（）A．2 B．24 C．16 D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．我国古代数学著作《九章算术》中记载“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数、物价分别为、，满足，则_____，_____．14．双曲线的焦距为__________，渐近线方程为________．15．已知数列的前项和为且满足，则数列的通项_______．16．已知正项等比数列中，，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，，若存在实数使成立，求实数的取值范围.18．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为3，其中．（1）求的值；（2）若，，，求证：19．（12分）已知是递增的等差数列，，是方程的根.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.20．（12分）如图，平面分别是上的动点，且.（1）若平面与平面的交线为，求证：；（2）当平面平面时，求平面与平面所成的二面角的余弦值.21．（12分）如图，四棱锥中，平面，，，.（Ｉ）证明：；（Ⅱ）若是中点，与平面所成的角的正弦值为，求的长.22．（10分）已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，点与点关于坐标原点对称．连接．求证：存在实数，使得成立．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

计算，再计算交集得到答案【详解】,表示偶数，故.故选：.【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.2、D【解析】

根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项.【详解】对于A选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A选项叙述正确.对于B选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B选项叙述正确.对于C选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C选项叙述正确.对于D选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D选项叙述错误.故选：D【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.3、A【解析】

求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.【详解】因为，故可得，令，因为，故可得或，则在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，故的极大值点为.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.4、B【解析】分析：根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为；根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为，根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可.详解：记执行第次循环时，的值记为有，则有；记执行第次循环时，的值记为有，则有.令，则有，故，故选B.点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前和、前项积等）.5、A【解析】

先求，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：的展开式中二项式系数和为256故，要求展开式中的有理项，则则二项式展开式中有理项系数之和为：故选：A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.6、D【解析】

根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).7、C【解析】

作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【详解】三棱锥的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥，底面，可知四边形为矩形，且，.矩形的外接圆直径，且.所以，三棱锥外接球的直径为，因此，该三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8、C【解析】

根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可.【详解】因为,所以,因为E、F分别是AB、AD的中点,所以,所以,因为面面,所以.选项A、D显然成立；因为,平面,所以平面,因为平面,所以,所以B项成立；易知平面MEF,平面MPQ,而直线与不垂直,所以C项不成立.故选：C【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.9、B【解析】

根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积．【详解】解：分析题意可知，如下图所示，该几何体为一个正方体中的三棱锥，最大面的表面边长为的等边三角形，故其面积为，故选B．【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题．10、D【解析】

由题意，得出六棱锥为正六棱锥，求得，再结合球的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.【详解】由题意，六棱锥底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，可得此六棱锥为正六棱锥，又由，所以，在直角中，因为，所以，设外接球的半径为，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面积为.故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.11、B【解析】

以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，可求出点，则，整理计算可得离心率.【详解】解：以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，取第一象限的解得，即，则，整理得，则（舍去），，.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.12、D【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【详解】做出满足的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数过点时，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用已知条件，通过求解方程组即可得到结果．【详解】设人数、物价分别为、，满足，解得，.故答案为：；.【点睛】本题考查函数与方程的应用，方程组的求解，考查计算能力，属于基础题．14、6【解析】由题得所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.15、【解析】

先求得时；再由可得时,两式作差可得,进而求解.【详解】当时,,解得；由,可知当时,,两式相减,得,即,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,故答案为:【点睛】本题考查由与的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用.16、【解析】

利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得，再利用等比数列的性质可得，再利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】由，所以，解得.，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】试题分析：先将问题“存在实数使成立”转化为“求函数的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可获解.试题解析：存在实数使成立，等价于的最大值大于，因为，由柯西不等式：，所以，当且仅当时取“”，故常数的取值范围是．考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.18、（1）（2）见解析【解析】

（1）分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；（2）将所证不等式转化为2ab≥1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证．【详解】（1）∵，∴.∴当时，取得最大值.∴.（2）由（Ⅰ），得，.∵，当且仅当时等号成立，∴.令，.则在上单调递减.∴.∴当时，.∴.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.19、（1）;（2）.【解析】

（1）方程的两根为，由题意得，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出．【详解】方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.由题意得a2＝2，a4＝3.设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而得a1＝.所以{an}的通项公式为an＝n＋1.（2）设的前n项和为Sn，由（1）知＝，则Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考点：等差数列的性质；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为，由题意得，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．20、（1）见解析；（2）【解析】

（1）首先由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理即可得证；（2）以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴，以过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；【详解】解：（1）由，又平面，平面，所以平面.又平面，且平面平面，故.（2）因为平面，所以，又，所以平面，所以，又，所以.若平面平面，则平面，所以，由且，又，所以.以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴，以过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，设则由，可得，，即，所以可得，所以，设平面的一个法向量为，则，，，取，得所以易知平面的法向量为，设平面与平面所成的二面角为，则，结合图形可知平面与平面所成的二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平