数学 第四册（五年制高职） 课件 第一章 逻辑代数初步

16.1.1二进制数的概念五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》

引入超级计算机多用于国家高科技领域和尖端技术研究，是国家科技发展水平和综合国力的重要标志.中国在超级计算机方面发展迅速，目前，中国超级计算机水平与数量已位居世界前列.计算机的主要电子元器件是集成电路，电路中的电子元件与电路都具有两种对立的状态，采用数码0和1表示相互对立的两种状态十分方便，因此，计算机内部采用二进制来存储和处理数据.二进制和我们熟悉的十进制有怎样的关系呢？问题探究

日常生活中，十进制是我们最熟悉的一种计数方式，如一年365天，

一瓶洗发水卖33.8元.（1）在十进制的计数方式下，每个位置可以使用哪些数码呢？（2）在十进制数33.8中，数码“3”出现了两次，这两次中“3“各表示什么？（3）十进制数的进位规则是什么呢？数码所在的位置称为数位，在十进制中也就是个位、十位、百位、千位、万位以及十分位、百分位、千分位等.抽象概括每个数位上可以使用的数码的个数称为这个计数制的基数.十进制

的每一个数位都可以使用~9共10个数码，因此十进制的基数是10.每个数位所代表的数称为位权数.十进制的位权数如表16-1所示.十

进制数的进位规则是“逢十进一”.抽象概括表16-1十进制位权数表位置整数部分小数部分…第3位第2位第1位第1位第2位…位权数……十进制数的意义是各个数位的数码与其位权数乘积之和.例如,这种写法称为按权展开式.抽象概括类比十进制，二进制的基数是2，每个数位上只能使用0和1两个数码，各个数位的位权数如表16-2所示.二进制数的进位规则是“逢二进一”抽象概括表16-2二进制位权数表位置整数部分小数部分…第3位第2位第1位第1位第2位…位权数……抽象概括例如，二进制数101011的意义是为了区别不同进位制的数，通常用下标指明基数.例如，表示十进制的数，表示二进制的数.计算可知，例题讲析例1

将下列二进制数换算成十进制数.

（1）（2）思维拓展除十进制、二进制外，还有其他进制，例如八进制、十六进制、六十进制等.请说出八进制的基数、每个数位上可以使用的不同数码、进位规则，并将八进制各个数位的位权数填写在表16-3中.表16-3位置整数部分…第3位第2位第1位位权数…

课堂练习1.分别写出下列各数的按权展开式.（1）（2）（3）

（4）2.分别写出下列各数的按权展开式，并计算其十进制的值.（1）（2）课堂小结1.数位、基数、位权数、按权展开式的概念.2.将二进制数转换成十进制数.16.1.2二进制数的转换五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》

引入要将一个二进制数转换为十进制数，只要将这个二进制数写成各个数位的数码与其位权数乘积之和的形式，然后计算出结果即可.反过来，如何将一个十进制数转换为二进制数呢？问题探究

将十进制数6和21转换为二进制数分别是什么？将十进制数转换为二进制数，其实质就是把十进制数化成2的各次幂之和的形式，并且各次幂的系数只能取0和1.将十进制整数转换为二进制数，通常使用“除2取余法”，具体步骤是：将十进制整数除以基数2，余数便是二进制数的最低位；商再除以2，余数便是次低位；不断除以基数2，直到商为0，最后一次的余数是二进制数的最高位，然后按照从高位到低位的顺序写出换算结果.抽象概括例题讲析例2

将十进制数

转换为二进制数.

课堂练习1.将下列二进制数转换为十进制数.（1）（2）（3）

（4）2.将下列十进制数转换为二进制数.（1）（2）（3）

（4）课堂小结二进制数与十进制数的相互转换16.2.2逻辑联结词“非”五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究下面的两个命题在结构上有什么关系？（1）小明会计算机编程.（2）小明不会计算机编程.将上面两个命题分别记为

p：小明会计算机编程；q：小明不会计算机编程.可以看出,q

给出的判断与p恰好相反,这两个命题中肯定有一

个

是真命题,而另一个一定是假命题.

一般地，设P是一个命题，则P的非（又称否定）是一个新的命题，

记作

，读作“非P”或“P的否定”.抽象概括上述命题q可以写成:小明不会计算机编程.

显然，P与

的真假性可总结为下表.

表16-4P1001例题讲析例2写出下列命题的否定（非命题），并判断原命题及其非命题的真假.（1）p：

；（2）q：雪是白的.合作交流

写出下列命题的否定.

（1）p:对任意实数

，均有

；（2）q：存在一个实数

，使得.课堂练习1.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）正弦函数

是周期函数；（2）3是91的约数.课堂小结1.逻辑联结词“非”.2.原命题及其非命题的真假性判定.16.2.3逻辑联结词“且”和“或”五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究

下列四个命题间有什么关系？（1）小明会计算机编程.（2）小明会电路设计.（3）小明会计算机编程且小明会电路设计．（4）小明会计算机编程或小明会电路设计．命题（3）可以看成将命题（1）和命题（2）用“且”联结而成的新命题，命题（4）可以看成将命题（1）和命题（2）用“或”联结而成的新命题.抽象概括一般地，用逻辑联结词“且”把命题

和命题

联结起来，就得到一个新命题，记作

，读作“

且

”；用逻辑联结词“或”把命题

和命题

联结起来，就得到一个新命题，记作

，读作“

或

”.抽象概括

和

的真假性如表16-5所示.表16-51111100101010000由表16-5可知，当且仅当

，

同时为真，

才为真，在其他情况下，

都为假;当且仅当

，

都为假时，

才为假，其他情况下，

都为真.例题讲析例3

根据下列各组中的命题

和

，写出

和

所表示的命题，

并判断它们的真假.

（1）

：雪是黑的；

：太阳从东方升起.

（2）

：矩形的对角线互相平分；

：矩形的对角线相等.

（3）

：3是偶数；

：3不是质数.

（4）

：

；

：.思维拓展

若,,分别表示王同学语文、数学、英语考试及格，试写出下列

语句的逻辑表达式.（1）

王同学语文和数学考试都及格；（2）

王同学语文考试及格，但数学考试不及格；（3）

王同学语文考试及格，但数学和英语考试都不及格；（4）

王同学语文、数学、英语考试都不及格；（5）

王同学语文、数学、英语考试恰有一门及格；（6）

王同学语文、数学、英语考试至少有一门及格；（7）

王同学语文、数学、英语考试至少有一门不及格.

课堂练习1．将下列命题用“且”和“或”联结成新的命题，并判断真假.

（1）

：6能被2整除；:6能被3整除.

（2）

：

是方程

的解；

：

是方程

的解.

（3）

：

；

：

.

（4）

：是实数；

：

是有理数.

课堂小结1.逻辑联结词“且”和“或”.2.由“且”和“或”联结的命题的真假性判定.16.2.1命题的概念五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究下列语句表述形式上有什么特点，能判断它们的真假吗？（1）二进制数11与十进制数3相等.（2）所有的正方形都是平行四边形.（3）3能被2整除.（4）一个实数的平方总大于零.（5）若

，则

.一般地，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题.判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题.用1与0表示命题的真值，真命题的真值为1，假命题的真值为0.一个命题非真即假，不可能既真又假，也不可能不真不假.抽象概括

通常用小写字母

p，q，r等来表示命题，例如:p：

；

q：如果一个三角形的两个内角相等，那么这个三角形

是等腰三角形.因为命题p是假命题，所以命题

p的

真值为0.而命题q是真命题，所以命题q的真值为1.合作交流列出你所熟悉的命题的例子，并判断它们是真命题还是假命题.例题讲析

例1

下列语句中，哪些是命题？那些不是命题？如果是命题，指出它

是真命题还是假命题.（1）.（2）.（3）如果一个三角形的三个内角相等，那么这个三角形是等边三角形.（4）你吃过午饭了吗？（5）地球是太阳系的一颗行星.（6）平行四边形的两组对边分别平行且相等.（7）今天天气真好啊！课堂练习1．给出下列语句：①地球上的四大洋；②

；③④我国的小河流可以组成一个集合.其中，命题有().A．1个

B．2个

C．3个

D．4个；课堂练习2.判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题.（1）2022年冬季奥运会在北京举行.（2）空集是任何集合的子集.（3）若

是质数，则

是奇数.（4）指数函数是增函数吗？（5）

．课堂小结命题的概念以及真假命题的判定16.3.4“或”“与”“非”的复合运算五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究如图16-6所示开关电路中，灯L的状态能否用开关

A，B，C的逻辑运算来表示？图16-6日常生活中的逻辑关系往往比单一的“或”“与”“非”复杂，利用上图描述灯L和开关A，B，C的关系时，需要综合运用这些运算.事实上，我们知道只有当A闭合，且B或C闭合时，灯L才会亮，因此

L与A，B，C的关系可表示为

L=A·（B+C）.该式等号右边实际上就是“或”和“与”的复合运算.

合作交流你能举出生活中“或”“与”“非”复合运算的例子吗？例题讲析例5

在如图16-7所示的电路中，试用逻辑变量

A，B，C，D的逻辑式来表示

L．

例题讲析例6写出下列各式的运算结果：

（1）（2）思维拓展写出

的运算结果.课堂练习1.

填表.AB11100100课堂练习2.

写出下列各式的运算结果.

（1）;（2）.课堂小结“或”“与”“非”的复合运算规则16.3.3非运算五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究观察如图16-5所示的电路.图16-5完成开关

A，B与灯L的状态表16-11.表16-11开关A灯L10抽象概括如果一个事件的发生依赖于一个条件，并且当这个条件成立时这个事件不发生，当这个条件不成立时这个事件发生，那么称这种逻辑关系为逻辑非.抽象概括表16-12非运算的真值表其中，“

=1，=0”是非运算的运算规则，上表称为非运算的真值表.例如，在上面的电路中，灯L亮否取决于开关A的状态，当A断开时，灯L亮；当A闭合时，灯L不亮.这里灯L与开关A的关系就是逻辑非，记作L=.可以用表16-12表示L与A之间的关系.A1001例题讲析例4

写出下列各式的运算结果.

（1）（2）

（3）思维拓展课堂练习1.

写出下列各式的运算结果.

（1）;（2）;

（3）.课堂练习2.

填表.AB01001110课堂小结1.非运算及其运算法则.2.与运算、或运算和非运算的复合运算规则.16.3.1逻辑变量与或运算五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》

引入在日常生产生活中，很多事物的变化只表现为两种状态，如“错”与“对”、“假”与“真”、“关”与“开”、“断开”与“闭合”、“熄”与“亮”

等.我们可以用0表示“错”“假”“关”“断开”“熄”等状态，相对应地，

用1表示“对”“真”“开”“闭合”“亮”等状态.借助0和1，就可以建立

两个开关并联和串联电路的数学模型.问题探究观察如图16-1所示的并联电路.（1）完成开关A，B与灯L的状态列表（表16-6）.

表16-6图16-1开关A开关B灯L闭合闭合亮闭合断开亮断开闭合亮断开断开熄问题探究（2）规定“闭合”用1表示，“断开”用0表示，灯“亮”用1表示，灯“熄”用0表示，请将上表进行改写（表16-7）.表16-7开关A开关B灯L11110可以看到，灯L是否亮，取决于开关A，B的状态，它们之间具有因果关系，这种因果关系就是逻辑关系。逻辑代数研究的正是这种逻辑关系.这里的0和1只是一种符号，表示两种对立的状态，它们之间没有数的大小关系.0和1称为逻辑常量.抽象概括开关A，B，灯L的状态会发生变化，且只有两种变化的状态，这样的量称为逻辑变量，常用大写字母A，B，…，L，…表示.逻辑变量只有两种状态，只能取值0和1.逻辑代数中，有逻辑常量，有逻辑变量，也有运算的概念.对于命题

，

，命题

就是

，

的或运算，命题

就是

，

的且运算，命题

就是

的非运算.或运算、与运算和非运算这三种运算，统称逻辑运算.抽象概括抽象概括如果一个事件的发生依赖于两个条件，并且当这两个条件中至少有一个成立时，这个事件发生，那么称这种逻辑关系为逻辑或（也称为逻辑加）.抽象概括例如，在上面的并联电路中，灯L亮否取决于开关A，B的状态，当A，B中至少有一个闭合时，灯L才会亮.这里灯L与开关A，B的关系就是逻辑或，记作L=A+B.因此，表16-7可以改写为表16-8.表16-8或运算的真值表ABA+B111101011000其中，“1+1=1，1+0=1，0+1=1，0+0=0”是或运算的运算规则，上表称为或运算的真值表.例题讲析例1

写出下列各式的运算结果.（1）1+1；

（2）1+1+0；

（3）0+0；

（4）0+1+0.思维拓展

如图16-2所示的开关电路中，灯L的状态能否用开关A，B，C的逻辑运算来表示？课堂练习1.写出下列各式的运算结果.

（1）1+0；

（2）0+1；

（3）0+1+1；

（4）1+1+1.2.

写出下列各式的运算结果.（1）0+0+0；

（2）1+0+1；

（3）1+1+0+1+0；

（4）0+1+0+1+0.

课堂小结1.逻辑常量、逻辑变量及其取值.2.或运算的运算法则.16.3.2与运算五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究观察如图16-3所示的串联电路.（1）完成开关A，B与灯L的状态列表（表16-9）.

表16-9图16-3开关A开关B灯L11110抽象概括如果一个事件的发生依赖于两个条件，并且当且仅当这两个条件同时成立时，这个事件才发生，那么称这种逻辑关系为逻辑与（也称为逻辑乘）.抽象概括例如，在上面的串联电路中，灯L亮否取决于开关A，B的状态，当A，B同时闭合时，灯L才会亮.这里灯L与开关A，B的关系就是逻辑与，记作L=A·B.在不致引起误解的情况下，“·”也可以省略，即写成L=AB.

可以用表16-10表示L与A，B之间的关系.表16-10与运算的真值表ABA·B111100010000其中，“1·1=1，1·0=0，0·1=0，0·0=0”是与运算的运算规则，上表称为与运算的真值表.例题讲析例2

写出下列各式的运算结果.（1）1·0；（2）0·0；（3）1·1.例题讲析例3

写出下列各式的运算结果.（1）1·1+0;（2）1+0·1+0.思维拓展如图16-4所示的开关电路中，灯L的状态能否用开关A，B，C的逻辑运算来表示？课堂练习1.

写出下列各式的运算结果.（1）1+1·0;（2）0·1+0;（3）0·1+1·1;（4）0+1·0+1.2.

写出下列各式的运算结果.（1）0+1·0;（2）0·1+0·0;（3）1·0+0·1;（4）0+0·1+1·1.

课堂小结1.与运算及其运算规则.2.与运算和或运算的复合运算规则.16.4.3等值逻辑式五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究根据逻辑变量A，B的一切可能取值，计算

的值，你有何发现？对于这个问题，可以列出如下真值表.表16-171110000101001001101000001111可以看出，对于逻辑变量

A，B的任意一组值，

的值都相同，所以.抽象概括如果对于逻辑变量的任意一组值，两个逻辑式的值都相等，那么称这样的两个逻辑式为等值逻辑式.等值逻辑式可用“=”连接，并称为等式.需要注意，这种相等是状态的相同.合作交流利用真值表判断

是否成立.例题讲析例1

利用真值表判断下列等式是否成立.（1）

；（2）.课堂练习1.用真值表验证下列等式是否成立.（1）（2）2.用真值表验证课堂小结1.等值逻辑式的概念.2.能根据真值表判断两个逻辑式是否等值.16.4.1逻辑式的概念与运算五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究如图16-8所示开关电路中，灯的状态能否用开关A，B，C的逻辑运算来表示？逻辑变量之间除了有单一的“或”“与”“非”运算外，还有它们之间的复合运算，如上图中

就是一个复合运算，其中

A，B，C都是逻辑变量.抽象概括由常量1，0以及逻辑变量经复合运算构成的式子称为逻辑

代数式、简称逻辑式.逻辑式之间的复合运算称为逻辑运算.例如，

等都是逻辑式.把表示常量的1和0以及单个变量都看作逻辑式.正如前面的讨论，逻辑运算的次序依次为“非运算”“与运算”“或运算”，如果有添加括号的逻辑式，首先要进行括号内的运算.合作交流在如图16-9所示的电路中，试用逻辑变量

A，B，C的逻辑式来表示

L．含有变量的逻辑式的运算将在下一节内容中介绍.下面我们先看只含有常量的逻辑式的运算.例题讲析例1写出下列各式的运算结果：

（1）;（2）;（3）;思维拓展写出

的运算结果.课堂练习1.

的运算结果为（）.A．0

B．1

C．2

D．3课堂练习2.

写出下列各式的运算结果.

（1）;（2）;（3）.课堂小结1.逻辑式的概念.2.逻辑式的复合运算.16.4.2真值表五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究逻辑式

的运算结果是什么？抽象概括将各逻辑变量取定的一组值代入逻辑式，经过运算，可以得到逻辑式的一个值（0或1）.因为逻辑变量只能取0或1，所以对于一个给定的逻辑式来说，人们关心的是逻辑变量为0或1时逻辑式的值，这通常可以用表格的形式将其表示出来.列出逻辑变量的一切可能取值与相应的逻辑式的值的表，称为逻辑式的真值表.例如，表16-13就是的真值表.表16-13的真值表

AB111100010001例题讲析例1

完成下面的逻辑真值表：

表16-14AB11100100思维拓展已知某逻辑式对应的真值表如表16-16所示，试写出相应的逻辑式.ABY111100010001表16-16课堂练习1.完成下面的真值表：AB2.课堂小结1.真值表的概念.

2.正确给出一个逻辑式的真值表.16.5.1常用逻辑运算律五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究根据逻辑常量的基本运算，不论逻辑变量A取1或0，你能得出下列各式的结果吗？（1）

；（2）

；（3）

；（4）.抽象概括与普通代数相类似，逻辑代数中也有许多运算律.运用逻辑运算的运算律能够将逻辑式变形或化简.常用逻辑运算律见表16-20.表16-20

常用逻辑运算律运算律名称运算律公式表示0-1律自等律重叠律互补律交换律结合律分配律吸收律反演律还原律抽象概括

上表中的运算律都可以通过真值表一一验证.利用这些运算律

化简逻辑式时，一般需要以下几个步骤：

（1）

去掉括号；

（2）

使得项数最少；

（3）

基本逻辑变量出现的次数最少.例题讲析例1

化简：（1）

；（2）;

（3）.合作交流逻辑式的化简结果是唯一的吗？试举例说明.课堂练习1.化简（1）（2）2.化简（1）（2）课堂小结1.常用逻辑运算律.2.会利用运算律化简逻辑式.16.5.2逻辑运算律的应用五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》例题讲析例1

某跃层住户在一楼楼梯装有开关

A，在二楼楼梯装有开关

B，在

一楼和二楼之间的楼梯口装有一盏电灯D.设计电路用开关

A，B

控制电灯，即改变任意一个开关的状态，都能改变电灯的状态.

请写出这个电路的逻辑表达式.下面结合实例介绍逻辑运算律的简单应用.例题讲析例2

利用运算律证明思维拓展利用运算律证明课堂练习1.利用运算律证明2.利用运算律证明课堂小结逻辑运算律的应用第16章逻辑代数初步复习五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》知识框图内容要点1.二进制及其转换（1）数码所在的位置称为数位.每个数位上可以使用的数码的个数称为这个计数制的基数.每个数位所代表的数称为位权数.十进制的基数，数码，进位规则，位权数二进制的基数，数码，进位规则，位权数（2）二进制数转换为十进制数可采用乘权相加法，十进制整数转换为二进制数可采用“除2取余法”.内容要点命题逻辑与条件判断(1)命题，真命题，假命题.真命题的真值为1，假命题的真值为0.(2)复合命题：由简单命题用逻辑联结词联结而成的命题称为复合命题.①非命题及其真值表②且命题及其真值表p1001pqPq111100010000③或命题及其真值表pq111101011000内容要点3.逻辑变量与基本运算（1）逻辑常量：0和1（2）逻辑变量（3）逻辑运算：即逻辑式之间的复合运算，包括或运算、与运算和非运算.ABA+B111101011000逻辑且的真值表（逻辑乘的真值表）逻辑或的真值表ABA·B111100010000逻辑非的真值表A1001内容要点4.逻辑式与真值表（1）逻辑式：逻辑式的值0或1.逻辑运算的次序依次为“非运算”“与运算”“或运算”，如果有添加括号的逻辑式，首先要进行括号内的运算.（2）真值表：列出逻辑变量的一切可能取值与相应的逻辑式的值的表，称为逻辑式的真值表.（3）等值逻辑式内容要点5.逻辑运算律(1)常用逻辑运算律运算律名称运算律公式表示0-1律0·A=01+A=1自等律1·A=A0+A=A重叠律A·A=AA+A=A互补律A·=0A+=1交换律A·B=B·AA+B=B+A结合律A·（B·C）=（A·B）·CA+（B+C）=（A+B）+C分配律A·（B+C）=A·B+A·CA+（B·C）=（A+B）·（A+C）吸收律A+A·B=AA·（A+B）=A反演律还原律(2)运用运算律化简逻辑式的步骤：①去掉括号；②使得项数最少；③基本逻辑变量出现的次数最少.课内练习一、选择题1.十进制数13转换为二进制数是（

）.A.1011B.1100C.1101D.11102.二进制数1010等于十进制数（

）.A.10B.15C.18D.20

3．给出下列命题：（1）24是6的倍数且是8的倍数；

（2）5是偶数或86是偶数；（3）平行四边形的对角线互相平分且相等；

（4）1是有理数或1是无理数.其中，真命题的个数是（

）.A.1B.2C.3D.4

课内练习4.下列表达式中符合逻辑运算律的是（

）.A．1+1=2B．1·0=0C．D．5．已知p，q是两个简单命题，若为假命题，则必有（）.A．P假，q假B．