5.6 三角函数倍角公式 -(必修第一册) (教师版)

三角函数倍角公式(本专题仅为公式求值、公式变换等巩固练习，其应用在另一专题讲解)1二倍角的正弦余弦正切公式①sin2α=2sinαcosα②cos2α=co③tαn2α=(由S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)可推导出sin2α，cos2α，2降幂公式co(由余弦倍角公式可得)3∗sin(由降幂公式可得)4∗sin(由倍角公式可得)5∗sinα∙cosβ=cosα∙cosβ=sinα∙sinβ=(由和差公式可得)6∗sinα+sinβ=2cosα+cosβ=2(由和差公式可得)

【题型一】倍角公式的运用【典题1】求值cos20°cos35°1−sin20°=【解析】cos20°===cos10°+sin10°=2【典题2】计算4cos50°【解析】4cos50°=4cos===【点拨】①正切化弦；②注意角度之间的关系，比如互余(50°与40°、80°与10°)、倍数关系、角度相差值是特殊值(10°【典题3】如果1+tanα1−tanα=2013，那么1cos2α【解析】1cos2α=1cos2α+=cos=cos=1+tanα【点拨】①本题的思路有二，一是先化简所求式子再利用已知条件，化二倍角为一倍角；二是由已知可求tanα，进而可得sinα,cosα，再求②化切为弦是常见思路，也可1+2tanα【典题4】已知sin(π12−α2)=【解析】∵sin(π∴cosπ∴sin2【点拨】α2与2α是四倍关系，故可用借助【典题5】若α∈(0,π2)，且cos2α=25sin(α+【解析】∵α∈(0,π2)∴cos2α=2∴cos∴cosα−sinα=∴①式两边平方可得：1−2sinαcosα=125，解得∴2sinαcosαsin2α+co可得12tan2α－25tanα+12=0，解得由①可知cosα>sinα，即tanα<1，(注意对最后求值的取舍)∴tanα=3【点拨】本题的处理方法很多，平时要多注意一题多解，提高对公式灵活运用的能力.比如凑角cos2α=25sinα+π4⇒巩固练习1(★)计算3−tan12°(2cos【答案】8【解析】原式=32(★)已知θ∈(0,π2),sinθ=55，则cos2θ【答案】65【解析】∵θ∈(0，π2)，sin则cos2θtanθ3(★)若tanα+1tanα=3，则cos4α=【答案】19【解析】∵tanα∴sin2α∴cos4α4(★★)设tanα=12，cos(π+β)=−45(β∈(0,π))【答案】724【解析】∵tanα=cos(π+β)=−cosβ=−45，∴cosβ=4∴tan(2α−β)=tan2α−tanβ5(★★)已知α∈(0,π)，且3cos2α－8cosα=5，则sinα=【答案】53【解析】由3cos2α－8cosα即3cos2α－4cosα∵α∈(0，π则sinα6(★★)已知α∈(0,π2)，若sin2α－2cos2α=2，则sinα【答案】25【解析】∵sin2α∴sin2α=2(cos2α∵α∈(0，π2∴sinα∵sin解得sin2α=7(★★)已知α∈(π2,π),tan2α=34,则【答案】−1【解析】∵tan2α=2tanα∴tanα=－3或∴sin2α8(★★)已知sinα=2sinβ,tanα=3tanβ，则cos2α【答案】−14【解析】∵已知sinα=2sinβ，∴sinβ∵tanα=3tanβ，∴sinαcosα=3sinβ若②成立，则把①、②平方相加可得1=1解得cos2α=若③成立，则有cos2α=1综上可得，cos2α=−1故答案为：−14或1．【题型二】降幂公式的运用【典题1】在∆ABC中，若3cos2A−B【解析】在∆ABC中，若3co∴3×即3即3(cosAcosB+sinAsinB)=5(cosAcosB−sinAsinB)，即2cosAcosB=8sinAsinB,∴tαnAtαnB=【点拨】式子中出现“平方”形式，想到降幂公式cos2α=巩固练习1(★★)若cos2θ=14，则sin2θ+2cos【答案】138【解析】∵cos2θ∴sin2(★★)已知tanθ是方程x2－6x+1=0的一根，则cos【答案】13【解析】∵tanθ是方程x∴tan2θ可得sin2θ－6sin∴sin2θ∴cos3(★★)已知cos2αsinα+cosα=24，则cos2【答案】78【解析】∵cos2α∴两边平方，可得1－sin2α=1∴cos【题型三】角的变换【典题1】若sin(θ+π8)=13，则【解析】∵2θ−π4∴sin2θ−【点拨】因为已知角θ+π8和所求角2θ−π4中θ的系数是2倍的关系，故想到2θ+π8【典题2】已知sin(α+3π4)=45【解析】由−π4<α<所以cos(α+3由π4<β<3所以sin(π4所以cos[(α+=cos(α+=即－cos所以cos2【点拨】本题关键在于发现两个已知角之和α+34π+π【总结】①当已知角只有一个时，可已知角与所求角的和或差的值是否为一固定特殊角，或看已知角(所求角)的2倍与所求角(已知角)和或差的值是否为一固定特殊角；当已知角有两个时，主要看两个已知角的和或差形式与所求角的关系；特殊角为0、π②常见的角变换有：α=2∙α2，α=β=1③在运用和差角公式和倍角公式时，要注意“整体思想”的运用.巩固练习1(★★)若cos(α+π12)=23，则sin(【答案】−5【解析】∵cos(α∴cos[2(α+π即cos[π2(★★)已知cos(α+π6)=35，α∈(0，π2【答案】−31【解析】∵cos(α+π∴(α+π6)∈(0，cos(2α+π∴sin(2α+π∴cos(2α=cos(2α+π=−7=−313(★★)已知cos(θ+π6)=−33，则sin(【答案】−1【解析】∵cos(θ+π∴sin(π=2(−4(★★)已知cosα=255，cos(β－α)=31010【答案】π4【解析】由于0<α<β<π所以sinα=55．cos(β所以cosβ所以β=π5(★★★)已知π2<β<α<3π4，且cos(α－β)=【答案】−3365【解析】∵π2<β<∵cos(α－β∴sin(α－β则cos2＝cos(α=1213×6(★★★)设0<x1<x2<π，若【答案】3【解析】设0<x1∵sin(2∴0<2∴∴−∴cos(2∴cos2(=cos2∴co∴co∴cos(x【题型四】简单的三角恒等变换(选学内容)【典题1】若α∈(0,π)，且sinα+2cosα【解析】∵α∈(0,π设tanα2=∵sinα=2tan∴sinα即x+1−x2【点拨】本题利用万能公式，也可利用sinα+2cosα=2求出sinα【典题2】在△ABC中，B=π4，则sinAsinC的最大值是【解析】方法一两角和差公式、二倍角公式sinAsinC=sinAsin(=sinAsin(3π=2∵0<A<3π4∴当2A−π4=π2，即A=3π方法二积化和差sinAsinC==1∵−1≤cos∴−2−当A−C=0，即A=C=3π8时，sinAsinC取得最大值【点拨】掌握积化和差公式，对于处理含涉及sinAsinB,巩固练习1(★★)sin220°【答案】14【解析】sin=sin=sin=sin=1−1=12(★★)sin(α+30°)−sin(α−30°)cosα的值为【答案】1【解析】sin(α+30°)−sin(α−30°)cosα3(★★)已知θ为第二象限角，25sin2θ+sinθ−24=0【答案】±4【解析】∵θ∴sinθ则2kπ则kπ<θ当k是偶数，设k=2n，则2nπ<θ2<当k是奇数，设k=2n+1，则2nπ+π<θ则θ2∵25sin∴sinθ=−∴cosθ=−7∴sinθ2=4(★★)若sinα=−35，α是第三象限角，则1−tanα【答案】−2【解析