湖南省益阳市2025届高三9月教学质量检测试卷数学答案

益阳市2025届高三9月教学质量检测数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D2.B3.D4.D5.A6.В7.C8.C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。9.AC10.ACD11.BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.13.0.3314.（1）2，（2）1275（答对一个记3分）温馨提示：14.（2）由题可知，所以，所以.若，则，，所以，，与是等差数列矛盾.所以.设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以.假设存在使得.设，由得.由，得，，与为等差数列矛盾.所以对任意都有.所以数列是等差数列，.所以，.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）解：（1）由正弦定理得，，又，.，...，. 6分（2）面积为，，.，，由得.即.. 13分16.（本小题满分15分）解：（1）因为调查的男游客人数为：，所以，调查的女游客人数为，于是可完成列联表如下：满意不满意总计男游客35540女游客451560合计8020100 3分零假设为：游客对公园新措施满意与否与性别无关.根据列联表中的数据，可得：，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即游客对公园新措施满意与否与性别无关. 6分（2）由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依题意可知的可能取值为0，1，2，并且服从超几何分布，即，，.所以的分布列为：012 12分. 15分（备注：，2，3，求出一个记2分）17.（本小题满分15分）解：（1）因为平面，又平面，所以.又，且，所以，平面.因为，所以，平面. 5分（2）作，垂足为.则.又，所以，四边形是平行四边形，又，所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，，所以，.由（1）知平面，所以.又，所以.在中，.在中，.由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系. 7分则，，，，，所以，，，，，设平面的法向量为，由，得可取. 10分设平面的法向量为，由，得，可取. 12分因此，，.依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为. 15分18.（本小题满分17分）解：（1）设动点，因为直线，的斜率满足，，化简整理得.所以轨迹的方程为. 4分（2）由已知可设过点的直线的方程为：，点，点，由，得.显然.，.. 7分令，则，，所以.设，则，所以，在单调递减，所以的最大值为即，时，的面积取最大值. 10分（3）由已知可设直线的方程为，即，直线的方程为，即，消去，得，显然，，（*）由（2），得，，，，所以（*）式可化为，，即.所以点的轨迹方程为. 17分备注：（1）中没有，（3）中没有，每项扣1分。19.（本小题满分17分）解：（1）由愿意得，设所求切线的切点为，则直线的方程为，即，又，.即，令，可知在上单调递增.又，所以方程有唯一解.所以，直线的方程是（或）. 5分（2）证明：，，即，要证，由（1）知只要证，即证，又因为，即证，（*）令，则，欲证（*）式成立，等价于证明，设函数，则，所以函数是上的增函数，所以，即成立，所以. 11分（3）解法一：由愿意得.则，令，得或（舍去），在上，，在上，，在上单调递增，在上单调递减，当且仅当时，取得最大值.已知恒成立..又，所以，所以，解得.所以的取值的集合为. 17分解法二：由题意得恒成立，令，得，，，方程有两个不相等的实数根，，则，不妨设，在上单调递增，在上单调递减，.由，得（**），恒