广东专用高考物理二轮复习 计算题专练20 带电粒子在磁场中的运动

专练20带电粒子在磁场中的运动1．(·福建·22)如图1甲，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.让质量为m、电量为q(q＞0)的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中．不计重力和粒子间的影响．图1(1)若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A(a,0)点，求v1的大小；(2)已知一粒子的初速度大小为v(v＞v1)，为使该粒子能经过A(a,0)点，其入射角θ(粒子初速度与x轴正向的夹角)有几个？并求出对应的sinθ值；(3)如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向入射．研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关．求该粒子运动过程中的最大速度值vm.答案(1)eq\f(qBa,2m)(2)2个eq\f(aqB,2mv)(3)eq\f(E,B)＋eq\r(\f(E,B)2＋v\o\al(2,0))解析(1)带电粒子以速率v在匀强磁场B中做匀速圆周运动，半径为R，有qvB＝meq\f(v2,R) ①当粒子沿y轴正向入射，转过半个圆周至A点，该圆周半径为R1，有：R1＝eq\f(a,2) ②将②代入①式得v1＝eq\f(qBa,2m) ③(2)如图，O、A两点处于同一圆周上，且圆心在x＝eq\f(a,2)的直线上，半径为R.当给定一个初速率v时，有2个入射角，分别在第1、2象限，有sinθ′＝sinθ＝eq\f(a,2R) ④由①④式解得sinθ＝eq\f(aqB,2mv) ⑤(3)粒子在运动过程中仅电场力做功，因而在轨道的最高点处速率最大，用ym表示其y坐标，由动能定理有qEym＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,m)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0) ⑥由题知，有vm＝kym ⑦若E＝0时，粒子以初速度v0沿y轴正向入射，有qv0B＝meq\f(v\o\al(2,0),R0) ⑧v0＝kR0 ⑨由⑥⑦⑧⑨式解得vm＝eq\f(E,B)＋eq\r(\f(E,B)2＋v\o\al(2,0))2．匀强磁场区域由一个半径为R的半圆和一个长为2R，宽为eq\f(R,2)的矩形组成，磁场的方向如图2所示．一束质量为m、电荷量为＋q的粒子(粒子间的相互作用和重力均不计)以速度v从边界AN的中点P垂直于AN和磁场方向射入磁场中．问：图2(1)当磁感应强度为多大时，粒子恰好从A点射出？(2)对应于粒子可能射出的各段磁场边界，磁感应强度应满足什么条件？答案(1)eq\f(2mv,qR)(2)见解析解析(1)由左手定则判定，粒子向左偏转，只能从PA、AC 和CD三段边界射出，如图所示．当粒子从A点射出时，运 动半径r1＝eq\f(R,2)由qB1v＝eq\f(mv2,r1)得B1＝eq\f(2mv,qR)(2)当粒子从C点射出时，由△PO2C和△PACPC＝eq\r(R2＋\f(R,2)2)＝eq\f(\r(5)R,2)r2＝eq\f(PC,2cos∠APC)＝eq\f(5,8)R由qB2v＝eq\f(mv2,r2)得B2＝eq\f(8mv,5qR)据粒子在磁场中运动半径随磁场减弱而增大，可以判断当B≥eq\f(2mv,qR)时，粒子从PA段射出当eq\f(2mv,qR)≥B≥eq\f(8mv,5qR)时，粒子从AC段射出当0<B≤eq\f(8mv,5qR)时，粒子从CD段射出．3．如图3所示，在边长L＝8cm的正方形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0＝0.1T．距AB、AD边均为d＝1cm的P点有一粒子源，能在纸面内向各个方向发射出速率不同的带正电的粒子，粒子的质量m＝1.0×10－14kg，电荷的电荷量q＝1.0×10－5图3(1)速度在什么范围内的粒子将不可能射出磁场，被完全约束在正方形内？(2)速度大小为5.0×106m/s的粒子将从答案(1)速度小于或等于5×105解析(1)如图所示，当微粒运动轨迹为Ⅰ时，微粒运动半径r1＝eq\f(d,2)由牛顿第二定律得qv1B0＝meq\f(v\o\al(2,1),r1)解得v1＝5.0×105速度小于或等于5.0×105(2)设速度大小为v2＝5.0×106m/s的微粒运动的轨道半径为rqv2B0＝meq\f(v\o\al(2,2),r2)解得r2＝5cm当微粒运动沿轨迹Ⅱ与AB边相切于E点时，微粒将从BC边F点出射，为最低出射点．由几何关系req\o\al(2,2)＝(r2－d)2＋eq\x\to(PH)2解得eq\x\to(PH)＝3cm所以，eq\x\to(FI)＝L－d－eq\x\to(PH)＝4cm在△O1FI中req\o\al(2,2)＝(r2－eq\x\to(EI))2＋eq\x\to(FI)2解得eq\x\to(EI)＝2cm则出射点F距下边界高eq\x\to(BF)＝eq\x\to(EI)＝2cm当微粒运动沿轨迹Ⅲ与BC边相切于G点时，微粒将从BC边G点出射，为最高出射点．由几何关系req\o\al(2,2)＝(L－r2－d)2＋eq\x\to(O2J)2解得eq\x\to(O2J)＝eq\r(21)cm则出射点G距下边界高eq\x\to(BG)＝eq\x\to(O2J)＋d＝(1＋eq\r(21))cm综上，出射点距B的距离s满足2cm≤s≤(1＋eq\r(21))cm.4．如图4所示的直角坐标系第Ⅰ、Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.5T，处于坐标原点O的放射源不断地放射出比荷eq\f(q,m)＝4×106C/kg的正离子，不计离子的重力及离子间的相互作用．图4(1)求离子在匀强磁场中的运动周期；(2)若某时刻一群离子自原点O以不同速率沿x轴正方向射出，求经过eq\f(π,6)×10－6s时间这些离子所在位置构成的函数方程；(3)若离子自原点O以相同的速率v0＝2.0×106m/s沿不同方向射入第Ⅰ象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能沿平行于y轴且指向答案(1)π×10－6s(2)y＝eq\f(\r(3),3)x(3)见解析解析(1)根据牛顿第二定律有qvB＝eq\f(mv2,R)离子做圆周运动的周期T＝eq\f(2πR,v)＝eq\f(2πm,qB)＝π×10－6s(2)离子运动时间t＝eq\f(π,6)×10－6s＝eq\f(1,6)T根据左手定则，离子沿逆时针方向做半径不同的圆周运动，转过的角度均为θ＝eq\f(1,6)×2π＝eq\f(π,3)这些离子所处位置均在过坐标原点的同一条直线上．该直线方程y＝xtaneq\f(θ,2)＝eq\f(\r(3),3)x(3)离子自原点O以相同的速率v0沿不同方向射入第一象限磁场，均做逆时针方向的匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有qv0B＝eq\f(mv\o\al(2,0),R)R＝eq\f(mv0,qB)＝1m如图甲所示，这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y轴并指向y轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点O′(1,0)为圆心，半径R＝1m的四分之一圆弧OB上．由此可知，磁场区域至少为两个四分之一圆的交集，如图乙所示．则调整后磁场区域的最小面积Smin＝2×(eq\f(πR2,4)－eq\f(R2,2))＝eq\f(π－2,2)m2【必考模型3】带电粒子在磁场中的临界、极值问题1．模型特点：一群粒子在磁场中做圆周运动或一个粒子在磁场中做圆周运动，不论是一群粒子，还是一个粒子，研究的问题往往都是粒子的速度的大小、方向或磁感应强度变化时的极值问题或临界问题或边界问题．2．表现形式：(1)同源粒子发射问题．此形式常有两类情况，一类是粒子的速率相同，发射方向各异，另一类是速率不同，但发射方向唯一．(2)自某一边界射入磁场．这种形式也常有两类情况：一类是射入磁场的位置不同，但速度的大小、方向唯一；另一类是位置相同，速度大小一定，但速度方向各异．3．应对模式：不论哪种模型，都是研究一系列的圆周运动问题，这时要抓住不变量采用动态圆的方法找到临界点或极值，还要注意以下三个基本问题和几个常用结论．(1)三个基本问题①找“圆心”的三个依据依据一：如图a在圆轨迹上任一点作速度的垂线必过圆心；依据二：如图b在圆轨迹上任一弦长的中垂线必过圆心；依据三：如图c，在某位置上作速度的垂线，在垂线上距位置R处的点为圆心．②求半径的两个方法法一，由物理方程求，半径r＝eq\f(mv,qB)；法二，由几何关系求．例如：弦长d＝2rsinθ(θ为弦长对的圆心角的一半)．③计算“时间”的两个方法法一，由圆心角求，t＝eq\f(α,2π)T；法二，由弧长求，t＝eq\f(s,v).在此要注意几个角度关系：速度偏向角φ＝圆弧所对应的圆心角(回旋角)α＝弦切角θ的2倍，如图d.d(2)对于直线边界和圆形边界磁场，常用的结论有：①直线边界的对称性：从同一直线边界射入的粒子，