2020-2021大学数学微积分常用公式总结

dy_dy/dt

参数方程求导:

Ldxdx!dt

复合函数求导法：《哈*

二阶导数的求解一阶导数的求导法依然适用。

2.基本初等函数的导数公式

(优)=axIna(logx)r

axlna

(tanx)'=sec2x(cotx)'=-CSC2X

(seer)'=seextanx(eser)'=-cscxcotx

,—1

(arcsinx)'=/1(arccosx)=/.

Jl-%2

/、，1/、，1

(arctaiK)=-------(arccofc)=----------

1+x21+x2

(shx)'=chx(chr)'=shx

(旧)，=1

chx

(arshx)'=•-/,(arch%),=/1

Vl+x2Vx~—1

3.三角函数

..0-.oc+Ba—B

和差化积：sine+sin.=2sincos

^.々。a+(3.a-p

sincif-sinp=2cos------sin......-

22

cca+(3a-B

COS6Z+cosp=2cos-----cos.......-

22

cosa-cos/3=2sin0sin—~—

22

积化和差：sinoco^=J[sin(o+0+sin(a—p)]

sinasin广=—[cos(<z-13)~cos(a+/3)\

COSdfCOS^=:[cos(tz+/3)+cos@-#)]

I

2?1

seer=------secx=tanx+l

cosx

I

eser=------csc-2x=cotNx+l1

sinx

IJI

cotx=------cot(x——)=-tanx

tanx2

Tl

tan(----x)=cotx

2

X—x

双曲正弦shx=arshv=ln(x+Vl+x2)

双曲余弦chx=-2—

s/ix2

双曲正切出"=汨=1一不3

sh2x=2shxchx

ch2r=ch1x+slvx

ch2x-sh?x=T

4.积分公式表

补充积分公式表

jsec^dx=ln|secx+tan^+CjcscxZx=Incscx-cotx+C

—,=dx—In(x+Jx2+a~)

+C

7/x2+a2\/

-,=dx—In(x+Jx?—a")he

/22'/

A/X-a

jtanxtZx=-Incos%|+CjcotxzZx=Insinx+C

ri,ix「1,1,x-a

-------dx=—arctan—+C------ax=——In-------+C

Ja+xaax-cT2ax+a

,1dx=arcsin—+C

a2-x2a

5.曲率、弧微分

_y〃

k=

曲率:(1+"2)1

]

曲率半径：0=1(左"0)

弧微分：①设y=y(x),有ds=Ji+y2dx

(x=cp(t),--------------

②设有ds=J"?(/)+“'2(t)dt

6.积分上限函数求导

①*£热垃=f(x)

②%必=一了⑴

④

7.等价无穷小

sin%〜尤；tanx〜x；arcsinx〜x；arctanc〜x

ln(l+*x.loga(l+x)~--.

v7Ina,

12

(1+x)/?—1~Z?x.1—cosx-—x；优―]〜xJna

8.极值(V=。)

/>0,极小值；y〃<0,极大值。

注意：①驻点未必是极值点，如y=X3。

②极值点未必是驻点，如y=4总。

③可能极值点：驻点或导数不存在。

9.凸性及拐点

设/(%)在区间/上连续，%,%2《，(%尸%2)及任意实数

2(0<几<1)有

丹办+(1-；I)%2kMxj+(l-*(%2)

则称曲线尸加在/上下凸。

XX

f[Ajc]+(1-2)2]>"(％)+(1