2025届黑龙江哈尔滨市第十九中学高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

2025届黑龙江哈尔滨市第十九中学高二数学第一学期期末质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线被圆截得的弦长为（）A.1 B.C.2 D.32．在等比数列中，若，，则（）A. B.C. D.3．已知，设函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（）A. B.C. D.4．若向量，，，则（）A. B.C. D.5．已知直线与直线垂直，则a＝（）A.3 B.1或﹣3C.﹣1 D.3或﹣16．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（）A B.C. D.7．方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A. B.C. D.8．曲线与曲线的A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等9．直线的倾斜角为（）A. B.C. D.10．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆的蒙日圆的半径为（）A.3 B.4C.5 D.611．我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，分别为左、右、上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆为“黄金椭圆”的是（）A. B.C.轴，且 D.四边形的一个内角为12．有一个圆锥形铅垂，其底面直径为10cm，母线长为15cm．P是铅垂底面圆周上一点，则关于下列命题：①铅垂的侧面积为150cm2；②一只蚂蚁从P点出发沿铅垂侧面爬行一周、最终又回到P点的最短路径的长度为cm．其中正确的判断是（）A.①②都正确 B.①正确、②错误C.①错误、②正确二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.14．如图，棱长为1的正方体，点沿正方形按的方向作匀速运动，点沿正方形按的方向以同样的速度作匀速运动，且点分别从点A与点同时出发，则的中点的轨迹所围成图形的面积大小是________.15．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.16．在等比数列中，若，是方程两根，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和为，当时，；数列中，.直线经过点（1）求数列的通项公式和；（2）设，求数列的前n项和，并求的最大整数n18．（12分）如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，其中，且.（1）求四棱锥S－ABCD的侧面积；（2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.19．（12分）如图，在几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，，且是的中点.（1）求证:平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知函数在处的切线垂直于直线.（1）求（2）求的单调区间21．（12分）已知某学校的初中、高中年级的在校学生人数之比为9：11，该校为了解学生的课下做作业时间，用分层抽样的方法在初中、高中年级的在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：（1）在抽取的100名学生中，初中、高中年级各抽取的人数是多少？（2）根据频率分布直方图，估计学生做作业时间的中位数和平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）另据调查，这100人中做作业时间超过4小时的人中2人来自初中年级，3人来自高中年级，从中任选2人，恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率是多少22．（10分）2017年厦门金砖会晤期间产生碳排放3095吨．2018年起厦门市政府在下潭尾湿地生态公园通过种植红树林的方式中和会晤期间产生的碳排放，拟用20年时间将碳排放全部吸收，实现“零碳排放”目标，向世界传递低碳，环保办会的积极信号，践行金砖国家倡导的可持续发展精神据研究估算，红树林的年碳吸收量随着林龄每年递增2%，2018年公园已有的红树林年碳吸收量为130吨，如果从2019年起每年新种植红树林若干亩，新种植的红树林当年的年碳吸收量为m（）吨．2018年起，红树林的年碳吸收量依次记，，，…（1）①写出一个递推公式，表示与之间的关系；②证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）为了提前5年实现厦门会晤“零碳排放”的目标，m的最小值为多少？参考数据：，，

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用直线和圆相交所得的弦长公式直接计算即可.【详解】由题意可得圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，所以由直线和圆相交所得的弦长公式可得弦长为：.故选：C.2、D【解析】由等比数列的性质得，化简，代入数值求解.【详解】因为数列是等比数列，所以，由题意，所以.故选：D3、D【解析】由题设易知上恒成立，而在上，讨论、，结合导数研究的最值，由不等式恒成立求的取值范围.【详解】由时，在上；由时，在上递减，值域为；令且，则，当时，，即递增，值域为，满足题设；当时，在上，即递减，在上，即递增，此时值域为；当，即时存在，而在中，此时，不合题设；所以，此时要使的不等式恒成立，只需，即，可得；综上，关于的不等式恒成立，则的取值范围为.故选：D【点睛】关键点点睛：由题设易知上，只需在上恒有即可.4、A【解析】根据向量垂直得到方程，求出的值.【详解】由题意得：，解得：.故选：A5、D【解析】根据，得出关于的方程，即可求解实数的值.【详解】直线与直线垂直，所以，解得或.故选：D.6、B【解析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，由此求出结果【详解】因为，所以，即所以，由双曲线的定义，知，设，则，易得，如图，作，为垂足，则，所以，即，即双曲线的离心率为.故选：B7、A【解析】方程即，表示抛物线，方程表示椭圆或双曲线，当和同号时，抛物线开口向左，方程表示焦点在轴的椭圆，无符合条件的选项；当和异号时，抛物线开口向右，方程表示双曲线，本题选择A选项.8、D【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断【详解】解：曲线表示焦点在轴上，长轴长10，短轴长为6，离心率为，焦距为8曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为8对照选项，则正确故选：【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题9、D【解析】由直线斜率概念可写出倾斜角的正切值，进而可求出倾斜角.【详解】因为直线的斜率为，所以倾斜角.故选D【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，由斜率的概念，即可求出结果.10、A【解析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆的两条切线的交点在圆上，所以，故选：A11、B【解析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，对于A，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；对于B，根据勾股定理以及离心率公式判断B；根据结合斜率公式以及离心率公式判断C；由四边形的一个内角为,即即三角形是等边三角形，得到，结合离心率公式判断D.【详解】∵椭圆∴对于A，若，则，∴，∴，不满足条件，故A不符合条件；对于B，，∴∴，∴∴，解得或（舍去），故B符合条件；对于C，轴，且，∴∵∴，解得∵，∴∴，不满足题意，故C不符合条件；对于D，四边形的一个内角为,即即三角形是等边三角形，∴∴，解得∴，故D不符合条件故选：B【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的应用，充分利用建立的等式是解题关键.12、C【解析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，由扇形的面积公式计算即可判断①，在展开图中可知沿着爬行即为最短路径，计算即可判断②.【详解】直径为10cm，母线长为15cm.底面圆周长为.将其侧面展开后得到扇形半径为cm，弧长为，则扇形面积为，①错误.将其侧面展开，则爬行最短距离为，由弧长公式得展开后扇形弧度数为,作，，又,,cm,②正确.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】连接，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.【详解】解：连接∵四面体中，，分别在，上，且，∴∴∴.故答案为：14、##【解析】画出符合要求的图形，观察得到轨迹是菱形，并进行充分性和必要性两方面的证明，并求解出轨迹图形的面积.【详解】如图，分别是正方形ABCD，，的中心，下面进行证明：菱形EFGC的周界即为动线段PQ的中点H的轨迹，首先证明：如果点H是动线段PQ的中点，那么点H必在菱形EFGC的周界上，分两种情况证明：（1）P，Q分别在某一个定角的两边上，不失一般性，设P从B到C，而Q同时从到C，由于速度相同，所以PQ必平行于，故PQ的中点H必在上；（2）P，Q分别在两条异面直线上，不失一般性，设P从A到B，同时Q从到，由于速度相同，则，由于H为PQ的中点，连接并延长，交底面ABCD于点T，连接PT，则平面与平面交线是PT，∵∥平面，∴∥PT，∴，而，∥BC，∴是等腰直角三角形，，从而T在AC上，可以证明FH∥AC，GH∥AC，DG∥AC，基于平行线的唯一性，显然H在DG上，综合（1）（2）可证明，线段PQ的中点一定在菱形EFGC的周界上；下面证明：如果点H在菱形EFGC的周界上，则点H必定是符合条件的线段的中点.也分两种情况进行证明：（1）H在CG或CE上，过点H作PQ∥（或BD），而与BC及（或CD及BC）分别相交于P和Q，由相似的性质可得：PH=QH，即H是PQ的中点，同时可证：BP=（或BQ=DP），因此P、Q符合题设条件（2）H在EF或FG上，不失一般性，设H在FG上，连接并延长，交平面AC于点T，显然T在AC上，过T作TP∥CB于点P，则TP∥，在平面上，连接PH并延长，交于点Q，在三角形中，G是的中点，∥AC，则H是的中点，于是，从而有，又因为TP∥CB，，所以，从而，因此P，Q符合题设条件.由（1）（2），如果H是菱形EFGC周界上的任一点，则H必是符合题设条件的动线段PQ的中点，证毕.因为四边形为菱形，其中，所以边长为且，为等边三角形，，所以面积.故答案为：【点睛】对于立体几何轨迹问题，要画出图形，并要善于观察，利用所学的立体几何方面的知识，大胆猜测，小心验证，对于多种情况的，要画出相应的图形，注意分类讨论.15、160【解析】∵某个年级共有980人，要从中抽取280人，∴抽取比例为，∴此样本中男生人数为，故答案为160.考点：本题考查了分层抽样的应用点评：掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属基础题16、.【解析】由题意求得，，再结合等比数列的性质，即可求解.【详解】由题意知，，是方程的两根，可得，，又由，，所以，，可得，又由，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2），7【解析】（1）根据之间的递推关系，可写出。，采用和相减得方法，可求得，由题意可推得为等差数列，利用等差数列的通项公式可求得答案；（2）写出的表达式，利用错位相减法可求得数列的前n项和，进而利用数列的单调性求的最大整数n【小问1详解】∵，∴，则，∴，即，得又，∴，即，可得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则；∵点在直线上，∴，∴，即数列是等差数列，又，∴；【小问2详解】∵，∴，∴，∴，两式相减可得：，∴,设，则，故，是单调递增的故当时，单调递增的，当时，；当时，，故满足的最大整数18、（1）（2）【解析】（1）根据垂直关系依次求解每个侧面三角形边长和面积即可得解；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.小问1详解】由题可得：，则，SA⊥底面ABCD，所以，SA平面SAB，平面SAB⊥底面ABCD，交线，所以BC⊥平面SAB，BC⊥BS，，所以四棱锥的侧面积【小问2详解】以A为原点，建立空间直角坐标系如图所示：设平面SCD的法向量，，取所以取为平面SAB的的法向量所以平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点F，连接EF，，由四边形是平行四边形即可求解；（2）采用建系法，以为轴，为轴，垂直底面方向为轴，求出对应点坐标，结合二面角夹角余弦公式即可求解.【小问1详解】取的中点F，连接EF，，∵，∴，且，∴，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面；【小问2详解】取AC的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，∴，.设平面的法向量是，则，即，令，得，易知平面的一个法向量是，∴，又二面角是钝二面角，∴二面角的余弦值为.20、（1）；（2）在内单调递减，在内单调递增【解析】（1）由题意求导可得，代入可得（1），从而求，进而求切线方程；（2）的定义域为，，从而求单调性【详解】解：（1）因为在处切线垂直于，所以（2）因为的定义域为当时，当时，在内单调递减，在内单调递增【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.21、（1）初中、高中年级所