2025届四川省成都市新都第一中学高二数学第一学期期末检测试题含解析

2025届四川省成都市新都第一中学高二数学第一学期期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列关系中，正确的是（）A. B.C. D.2．若函数的导函数为偶函数，则的解析式可能是（）A. B.C. D.3．设，，若，其中是自然对数底，则（）A. B.C. D.4．等差数列中，若，，则等于（）A. B.C. D.5．过双曲线的左焦点作x轴的垂线交曲线C于点P，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.6．函数的图象如图所示，是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是（）A B.C. D.7．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有（）A.24种 B.48种C.72种 D.96种8．已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为A. B.C. D.9．已知呈线性相关的变量x与y的部分数据如表所示：若其回归直线方程是，则（）x24568y34.5m7.59A.6.5 B.6C.6.1 D.710．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（）A.14 B.9C.4 D.211．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（）A.1 B.C.－1 D.-212．如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.14．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，则5a+b＝__15．已知直线：和：，且，则实数__________，两直线与之间的距离为__________16．已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔．某学院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生（1）若从中挑选2名志愿者，求入选者正好是一名男生和一名女生的概率；（2）若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，那么现将6人分为A、B两组进行滑雪项目相关知识及志愿者服务知识竞赛，共赛10局．A、B两组分数（单位：分）如下：A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139从统计学角度看，应选择哪个组更合适？理由是什么？18．（12分）已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前n项和，求.19．（12分）已知数列的前项和，且（1）证明：数列为等差数列；（2）设，记数列的前项和为，若，对任意恒成立，求实数的取值范围20．（12分）设函数.（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围.21．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表:零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时)2.5344.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图.（2）求出y关于x的线性回归方程，试预测加工10个零件需要多少小时?（注：，）22．（10分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据对数函数的性质判断A，根据指数函数的性质判断B，根据正弦函数的性质及诱导公式判断C，根据余弦函数的性质及诱导公式判断D；【详解】解：对于A：因为，，，故A错误；对于B：因为在定义域上单调递减，因为，所以，又，，因为在上单调递增，所以，所以，所以，故B正确；对于C：因为在上单调递减，因为，所以，又，所以，故C错误；对于D：因为在上单调递减，又，所以，又，所以，故D错误；故选：B2、C【解析】根据题意，求出每个函数的导函数，进而判断答案.【详解】对A，，为奇函数；对B，，为奇函数；对C，，为偶函数；对D，，既不是奇函数也不是偶函数.故选：C.3、A【解析】利用函数的单调性可得正确的选项.【详解】令，因为均为，故为上的增函数，由可得，故，故选：A.4、C【解析】由等差数列下标和性质可得.【详解】因为，，所以.故选：C5、D【解析】由题知是等腰直角三角形，，又根据通径的结论知，结合可列出关于的二次齐次式，即可求解离心率.【详解】由题知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故选：D.6、A【解析】结合导数的几何意义确定正确选项.【详解】，表示两点连线斜率，表示在处切线的斜率；表示在处切线的斜率；根据图象可知，.故选：A7、B【解析】根据题意，分2步进行分析区域①、②、⑤和区域③、④的涂色方法，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步进行分析：当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有种涂色的方法；当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域③、④有2种涂色方法，故共有种涂色的方法.故选：B8、A【解析】恰好为抛物线的焦点，等于到准线的距离，要想最小，过圆心作抛物线的准线的垂线交抛物线于点，交圆于，最小值等于圆心到准线的距离减去半径4-1=.考点:1.抛物线的定义；2.圆中的最值问题；9、A【解析】根据回归直线过样本点的中心进行求解即可.【详解】由题意可得，，则，解得故选：A.10、C【解析】根据给定条件结合椭圆、双曲线方程的特点直接列式计算作答.【详解】设椭圆半焦距为c，则，而椭圆与双曲线有共同的焦点，则在双曲线中，，即有，解得，所以.故选：C11、C【解析】以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值【详解】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，，，，，∴，∴当时，取得最小值故选：C【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示12、D【解析】构建空间直角坐标系，求直线的方向向量、平面的法向量，应用空间向量的坐标表示，求直线与平面所成角的正弦值.【详解】以点D为坐标原点，向量分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，可得，，，设面的法向量为，有，取，则，所以，，，则直线与平面所成角的正弦值为故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】当时，利用及求得函数的解析式.【详解】当时，，由于函数是奇函数，故.【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性以及轴一侧的解析式，求另一侧的解析式，属于基础题.14、36【解析】根据方向向量和平面法向量的定义即可得出，然后即可得出，然后求出a，b的值，进而求出5a+b的值【详解】∵l⊥α，∴，∴，解得，∴故答案为：3615、①.-4；②.2【解析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案.【详解】解：直线和，，，解得；∴两直线与间的距离是：.故答案为：；2.16、【解析】由条件可得存在实数，使得，再用向量表示出向量，即可得出答案.详解】P，A，B，C四点共面,则存在实数，使得所以即所以，解得故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）答案见详解【解析】(1)：把4名男生和2名女生编号后用列举法写出任选2名的所有基本事件，同时可得出，两人是一男一女的基本事件，计数后可计算概率；(2)：求出两组数据的均值和方差，比较可得【小问1详解】设4名男生分别用A，B，C，D表示：2名女生分别用1，2表示.基本事件为：，，，，，，，，，，，，共15种，所以所求概率为；【小问2详解】A组数据的平均数，B组数据的平均数，A组数据的方差，B组数据的方差，所以选择A队．理由：A、B两队平均数相同，且，A组成绩波动小18、（1）（2）【解析】（1）由题意可得数列是以2为公差的等差数列，再由可求出，从而可求出通项公式，（2）由（1）可得，然后利用分组求和可求出【小问1详解】因为数列满足，所以数列是以2为公差的等差数列，因为，所以，得，所以【小问2详解】由（1）可得，所以19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用可得答案；（2）利用错位相减可得，转化为对任意，恒成立，求出的最大值可得答案小问1详解】当时，由，得或（舍去），由，得，①当时，，②由①－②，得，整理得，因为，所以所以是首项为1，公差为1的等差数列【小问2详解】由（1）可得，所以，③，④由③－④，得，即，由得，所以，即，该式对任意恒成立，因此，所以的取值范围是20、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求导，根据导函数的正负性分类讨论进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合导数的性质、（1）的结论、构造函数法分类讨论进行求解即可.【小问1详解】,,①当时，恒成立，在上单调递增.②当时，恒成立，在上单调递减，③当吋，，在单调递减，单调递增.综上所述，当吋，在上单调递增；当时，在上单调递减，当时，在单调递减，单调递增.【小问2详解】由题意可知：在单调递减，单调递增由（1）可知：①当时，在单调递增，则恒成立②当时，在单调递减，则应（舍）③当时，，则应有令，则，且在单调递增，单调递减，又恒成立，则无解综上，.【点睛】关键点睛：运用构造函数法，结合存在性、任意性的定义进行求解是解题的关键.21、（1）见解析；（2），预测加工10个零件大约需要8.05小时【解析】（1）由题意描点作出散点图；（2）根据题中的公式分别求和，即得，令代入求出的值即可.【详解】（1）散点图（2），，，∴，，∴回归直线方程：，令，得，∴预测加工10个零件大约需要8.05小时.【点睛】本题主要考查了散点图，利用最小二乘法求线性回归方程，考查了学生基本作图能力和运算求解能力.22、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，连接，，证明两两垂直，如图建系，求出的坐标以及平面的一个法向量，证明结合面，即可求证；（2