全等三角形基本模型综合训练(三)(原卷版+解析)

全等三角形基本模型综合训练（三）1．如图，在等腰直角△ABC中，，D、E是BC上的两点，且BD＝CE，过D、E作DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，延长MD、NE交于点F，连接AD、AE．其中：①四边形AMFN是正方形；②△ABE△ACD；③当时，，正确的结论有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC为边向上作正方形BCDE，以AC为边作正方形ACFG，点D落在GF上，连结AE，EG．若DG＝2，BC＝6，则△AEG的面积为（）A．4 B．6 C．5 D．83．如图，Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，O为AC的中点，K为BC上一点，NC⊥BC，且NC＝BK，AK分别交BN、OB于M、F，AC交BN于E，连接OM，下列结论：①AK⊥BN；②OE＝OF；③∠OMN＝45°；④若∠OAF＝∠BAF，则．其中正确结论的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，中，，点D在内部，且使得．则的度数为（

）A． B． C． D．不能确定5．如图，在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为BC延长线上一点，连接AE．延长CB至点D，使BD＝CE，连接AD，过点B作CD的垂线，过点C作AD的垂线交AD于点F，两条垂线相交于点H，连接AH、DH．下列结论：①CH＝AD②∠ACH＋∠BAD＝45°③BD＋CG＝GH④⑤若，则，其中正确的有______（请填写序号）．6．如图，在边长为3的正方形中，点是边上一点，点是延长线上一点，，连接，交于点，过点Ａ作于，延长交于点，连接，若，则______．7．如图，RtABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为_________8．如图，BD为四边形ABCD的对角线，，，，，，则AB的长为______．9．如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于_____秒时，与全等．10．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（如图1）．下面就让小聪同学带领你们来探索垂美四边形的奥秘吧！请看下面题目：（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证、证明）．（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=2cm，AB=3cm，则GE长为．(直接写出结果，不需要写出求解过程)11．如图，直线l1∥l2，点A，B为直线l1的两点，点C，D为直线l2的两点，且满足AB⊥AC，点E为直线l1，l2之间的一点，满足∠AEC＝90°．(1)如图1，当∠CAE＝45°，AB⊥BE时，线段AB与AC的数量关系为（直接写出答案）．(2)直线BE交线段CD于点F，且满足∠CEF＝45°；①如图2，若∠ACE＝30°，AB＝2，求AC的长；②如图3，若AC＝CD，用等式表示线段AB，CF，AD之间的数量关系，并证明．12．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．13．如图1，已知△ABC，，，点E为AB边上一点，过点E作于点F，连接CE，点G为CE的中点，连接GF，GB．(1)线段GF与GB的数量关系为；(2)将Rt△AEF绕点A逆时针旋转，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)在平面内，将Rt△AEF绕点A旋转，当点F落在AB边上时，若，，求BG的长．全等三角形基本模型综合训练（三）1．如图，在等腰直角△ABC中，，D、E是BC上的两点，且BD＝CE，过D、E作DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，延长MD、NE交于点F，连接AD、AE．其中：①四边形AMFN是正方形；②△ABE△ACD；③当时，，正确的结论有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【详解】∵DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，∴∠AMF=∠ANF=90°，又∵∠BAC=90°，∴四边形AMFN是矩形；∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠C=45°，∵DM⊥AB，EN⊥AC，∴△BDM和△CEN均为等腰直角三角形，又∵BD=CE，∴△BDM≌△CEN（AAS），∴BM=CN∴AM=AN，∴四边形AMFN是正方形，故①正确；∵BD=CE，∴BE=CD，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠C=45°，AB=AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），故②正确；如图所示过，过B作B⊥BC，取B=CE，连接A、D，则∠BA=∠C=45°，∴△AB≌△ACE（SAS），∴∠BA=∠CAE，A=AE∵∠DAE=45°，∴∠CAE+∠BAD=∠BA+∠BAD=∠AD=45°=∠DAE∴△ADE≌△AD（SAS），∴D=DE，∵∠DB=90°，∴B2+BD2=D2，∴，故③正确；综上，正确的有①②③，共3个．故选：D．2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC为边向上作正方形BCDE，以AC为边作正方形ACFG，点D落在GF上，连结AE，EG．若DG＝2，BC＝6，则△AEG的面积为（）A．4 B．6 C．5 D．8【答案】D【详解】解：过点E作于点H，过点E作，垂足为，交的延长线于点在正方形中，，正方形中，，，四边形是矩形在和中，，，，，三点同在一条直线上，四边形是矩形，，，与中，，四边形是正方形设正方形的边长为，则，，（舍去），，与中，，故选：D．3．如图，Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，O为AC的中点，K为BC上一点，NC⊥BC，且NC＝BK，AK分别交BN、OB于M、F，AC交BN于E，连接OM，下列结论：①AK⊥BN；②OE＝OF；③∠OMN＝45°；④若∠OAF＝∠BAF，则．其中正确结论的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】解:①∵NC⊥BC，∴∠BCN=90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BCN=∠ABC，∵AB=BC，NC＝BK，∴△ABK≌△BCN（SAS），∴∠KBM=∠BAM，∵∠ABC=∠KBM+∠ABM=90°，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵∠ABM+∠BAM+∠AMB=180°，∴∠AMB=90°，∴AK⊥BN；②∵AB=AC，∠ABC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵O为AC的中点，∴BO是等腰直角三角形ABC的中线垂线角平分线，∴OB=OA，∠BOE=∠AOF=90°，∠OBC=∠ABC=45°，∠BAC=45°，∵∠OBC=∠KBM+∠OBE=45°，∠BAC=∠BAM+∠OAF=45°，∠KBM=∠BAM，∴∠OBE=∠OAF，∴△OBE≌△OAF(ASA)，∴OE=OF；③∵∠BOE=90°，OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠OFE=45°，∵∠AMB=90°，∠AMB+∠AME=180°，∴∠AME=90°，∴∠AME+∠BOE=180°，∴E、M、F、O四点共圆，∴∠OMN=∠OFE，∴∠OMN=45°；④如图，取AF的中点G连接OG，∵∠ABF=90°，∴OG是直角三角形AOF的中线，∴OG=AG=AF，∴∠GOA=∠OAM，∵∠BAC=45°，∠OAF=∠BAF，∠OAF+∠BAF=∠BAC，∴∠OAF=22.5°，∴∠GOA=22.5°，∵∠OGM=∠GOA+∠OAF，∴∠OGM=45°，∵∠AME=∠OMN+∠OMG=90°，∠OMN=45°，∴∠OMG=45°，∴∠OMG=∠OGM=45°，∴OM=OG，∴OM=AF，∴．故选：D．3．如图，中，，点D在内部，且使得．则的度数为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】C【详解】如图，在内作，且使得，连，在和中，，，为等腰三角形，为等腰三角形，，，，为等边三角形，为等腰三角形，延长CE交AD于F点，故选：C．5．如图，在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为BC延长线上一点，连接AE．延长CB至点D，使BD＝CE，连接AD，过点B作CD的垂线，过点C作AD的垂线交AD于点F，两条垂线相交于点H，连接AH、DH．下列结论：①CH＝AD②∠ACH＋∠BAD＝45°③BD＋CG＝GH④⑤若，则，其中正确的有______（请填写序号）．【答案】①②④【详解】连接EG，如图，在Rt△ACB中，有AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∵CH⊥AD，BH⊥CD，∴∠HBC=∠CFD=90°，∴∠ACF+∠FCD=∠FCD+∠CDF=∠BHC+∠FCD=90°，∴∠ACF=∠CDF=∠BHC，∵AC=BC，∴，∴CH=AD，CD=BH，故①正确；∵∠CDF+∠BAD=∠ABC=45°，∴∠ACH+∠BAD=45°，故②正确，∵EC=BD，∴BE=EC+BC=BC+BD=CD，∴BE=BH，∵∠ABC=45°，∠CBH=90°，∴∠CBA=∠ABH=45°，∴结合BG=BG，有，∴GH=GE，∵在△EGC中，EC+CG＞EG，EC=BD，∴BD+CG＞GH，故③错误；∵，，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴，故④正确；根据，设BH=5，CB=4，则有CD=HB=5，AC=BC=4，∴BD=CD-BC=5-4=1，∴，在Rt△ACD中，利用股沟定理可得，∴CH=AD=，∵AD⊥CH，∴，∴，∴HF=CH-CF=，∴，∴，故⑤错误；故答案为：①②④．6．如图，在边长为3的正方形中，点是边上一点，点是延长线上一点，，连接，交于点，过点Ａ作于，延长交于点，连接，若，则______．【答案】【详解】解：连接CH，∵为正方形，边长为3，，∴，，，在和中，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴为等腰直角三角形，即，∵，∴，即H为EF中点，∵，∴，即，在和中，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，设，则，，∵为等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解之得：，∴．故答案为：7．如图，RtABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为_________【答案】【详解】解：如图，过点F作FH⊥BC，连接DF，设AF=x，则BF=4－x，∵EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，∴DF=AF=x，∵，∴，∵FD≥FH，∴，解得：，∴AF最小值是，∴BF的最大值是．故答案为：．8．如图，BD为四边形ABCD的对角线，，，，，，则AB的长为______．【答案】【详解】如图，延长至，使得，延长至，使得，作在与，设，则，设，则中，中，，，解得，中，9．如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于_____秒时，与全等．【答案】2或或12【详解】解：∵△PEC≌△CFQ∴PC=CQ分以下五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，∵PE⊥l，QF⊥1，∴∠PEC=∠QFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，∴∠EPC=∠OCF，要使△PEC≌△CFQ，则需PC=CQ，∵PC=6-t,CQ=8-2t，∴6-t=8-2t，解得：t=2；②如图2，P在BC上，Q在AC上，∵PC=t-6,CQ=2t-8，∴t-6=2t-8，解得：t=2；③如图3:当P、Q都在AC上时，∵CP=6-t,CQ=2t-8，∴6-t=2t-8，解得：t=；④当Q到A点停止，P在BC上时，PC=AC=6，QC=t-6∴6=t-6，解得：t=12；⑤P和2都在BC上的情况不存在∵P的速度是每秒1个单位每秒，Q的速度是2个单位每秒，∴P和Q都在BC上的情况不存在．故答案为:2或或12．10．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（如图1）．下面就让小聪同学带领你们来探索垂美四边形的奥秘吧！请看下面题目：（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证、证明）．（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=2cm，AB=3cm，则GE长为．(直接写出结果，不需要写出求解过程)【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形，证明见解析；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等，证明过程见解析；（3）cm【详解】（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：连接AC、BD，∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；（3）cm；理由：连接CG、BE，BG与CE交于N点，AB、CE交于M点，如图，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠BAG=∠CAE，∵AC=AG，AB=AE，∴△BAG≌△EAC，∴∠ABG=∠AEC，∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，∴∠ABG+∠∠BMN=90°，∴∠BNM=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，∴由（2）的结论可知，∵正方形的性质有BE=AB，GC=AC，∴BE=3，GC=2，∵在Rt△ABC中，AB=3，AC=2，∴理由勾股定理有，∴，∴（cm）．11．如图，直线l1∥l2，点A，B为直线l1的两点，点C，D为直线l2的两点，且满足AB⊥AC，点E为直线l1，l2之间的一点，满足∠AEC＝90°．(1)如图1，当∠CAE＝45°，AB⊥BE时，线段AB与AC的数量关系为（直接写出答案）．(2)直线BE交线段CD于点F，且满足∠CEF＝45°；①如图2，若∠ACE＝30°，AB＝2，求AC的长；②如图3，若AC＝CD，用等式表示线段AB，CF，AD之间的数量关系，并证明．【答案】(1)AB=AC；；(2)①，过程见解析；②AB+CF=AD，理由见解析.【解析】(1)∵AB⊥BE，∴∠ABE=90°，又∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，又∵∠CAE=45°，∴∠BAE=90°-45°=45°故△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE，又∵∠AEC=90°，∠CAE=45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AE=AC，∴AB=AE=×AE=AC；(2)过点B作BM⊥AE，垂足为点M，如下图所示，∵∠AEC=90°，∠CEF=45°，∴∠AEB=180°-∠AEC-∠CEF=180°-90°-45°=45°，又∵BM⊥AE，∴∠BME=90°，∴∠MBE=180°-∠BME-∠AEB=180°-90°-45°=45°，∴∠AEB=∠MBE，∴BM=EM，又∵ACE=30°，∠AEC=90°，∴∠CAE=60°，又∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠BAE=30°，又∵BM⊥AE，AB=2，∴BM=AB=，∴EM=，在Rt△AMB中，根据勾股定理得：AM===，∴AE=AM+EM=，∵∠ACE=30°，∠AEC=90°，∴△AEC是含30°锐角的直角三角形，∴AE=AC，故AC=2·AE=；②线段AB、CF、AD之间满足的数量关系：AB+CF=AD，理由如下：设AD与BF的交点为P，如下图所示，∵AB∥CD，AB⊥AC，∴CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵AC=CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，∵∠CEF=45°，∴∠CAD=∠CEF，∴A、E、P、C四点共圆，∴∠AEC=∠APC=90°，∴CP是等腰直角三角形ACD的斜边的高和中点，∴AP=DP，∵AB∥CD，∴∠BAP=∠FDP，在△BAP和△FDP中，∴△BAP≌△FDP，∴AB=DF，又∵△ACD是等腰直角三角形，∴CD=AD，∴AB+CF=DF+CF=CD=AD，即AB+CF=AD．12．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．【答案】(1)∠ADF=45°，AD=DF；(2)①成立，理由见解析；②1≤S△ADF≤4.【解析】(1)解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：延长DF交AB于H，连接AF，∵∠EDC=∠BAC=90°，∴DE∥AB，∴∠ABF=∠FED，∵F是BE中点，∴BF=EF，又∠BFH=∠DFE，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，AB=AC，∴BH=CD，AH=AD，∴△ADH为等腰直角三角形，∴∠ADF=45°，又HF=FD，∴AF⊥DH，∴∠FAD=∠ADF=45°，即△ADF为等腰直角三角形，∴AD=DF;(2)解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：