专题06勾股定理常用模型(原卷版+解析)

专题06勾股定理常用模型勾股树模型如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．5如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则A．8 B．10 C．80 D．100三个正方形的面积如图所示，则面积为的正方形的边长为A．164 B．36 C．8 D．6如图，分别以直角三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，若，，那么A．9 B．5 C．53 D．45勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，则A．25 B．36 C．40 D．49如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的边长是，则正方形，，，，，，的面积之和是A． B． C． D．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的边长是3、5、2、3，则最大正方形的边长是A．13 B． C．47 D．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是A．1 B．2021 C．2020 D．2019如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是，则图中四个小正方形、、、的面积之和是A． B． C． D．不能确定如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形的面积是A．13 B．26 C．34 D．47如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则图中所有的正方形的面积之和为A． B． C． D．梯子滑动模型如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子的长度为A．10米 B．6米 C．7米 D．8米一架25米长的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙底端7米．如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯脚将水平滑动A．9米 B．15米 C．5米 D．8米如图，一架长的梯子斜靠在垂直的墙上，这时为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子的底端向外移动．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端向外移．雷劈模型一棵大树在一次强台风中于离地面6米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为A．12米 B．18米 C．24米 D．30米如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为尺．A．10 B．12 C．13 D．14如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是A．8米 B．12米 C．5米 D．5或7米如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木頂端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为A．7米 B．8米 C．9米 D．12米一棵高为的大树被台风刮断，若树在离地面处折断，则树顶端落在离树底部处．A． B． C． D．最短路径模型如图，圆柱的底面半径是4，高是5，一只在点的蚂蚁想吃到点的食物，需要爬行的最短路径是取A．9 B．13 C．14 D．25如图，圆柱的底面圆的周长为为，高为，一只蚂蚁沿外壁从点爬行到点，则最少要爬行A． B． C． D．如图，一个底面直径为，高为的糖罐子，一只蚂蚁从处沿着糖罐的表面爬行到处，则蚂蚁爬行的最短距离是A． B． C． D．如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为A． B． C． D．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为．A．9 B．10 C．18 D．20如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部处的点处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为A． B． C． D．如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为A． B． C． D．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到点处吃食物，那么它爬行最短路程是A． B． C． D．如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是．A．4 B．5 C． D．如图，正方体的棱长为2，为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从点出发，到达点，则它运动的最短路程为A． B．4 C． D．5如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处（三条棱长如图所示），问最短路线长为．如图，已蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点出发，经过2个侧面爬到点，如果它运动的路径是最短的，则最短路径长为．如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为，则的取值范围是A． B． C． D．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是A． B． C． D．如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．A．1 B．2 C．3 D．4如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度最短是．如图所示，一根长为的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为，高为，则吸管露出在杯外面的最短长度为．彩带模型我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周四尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”，题意是：如图所示，把枯木看成一个圆柱体，因一丈为十尺，则圆柱体高为20尺，底面周长四尺，有葛藤自点缠绕而上，绕5周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是尺．A．25 B． C． D．如图，圆柱底面周长为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为．在底面直径为，高为的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从至按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为取为了庆祝“元旦”，学校准备在校园操场的圆柱体柱子上贴彩带（如图），已知柱子的底面半径为，高为．取如果要求彩带从柱子底端的处绕柱子4圈后到达柱子顶端的处，则彩带的长度至少约为．专题06勾股定理常用模型勾股树模型如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．5【解答】解：，，，．故选：．如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则A．8 B．10 C．80 D．100【解答】解：在中，，又由正方形面积公式得，，，．故选：．三个正方形的面积如图所示，则面积为的正方形的边长为A．164 B．36 C．8 D．6【解答】解：由勾股定理得，，即面积为的正方形的边长，故选：．如图，分别以直角三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，若，，那么A．9 B．5 C．53 D．45【解答】解：在中，，，，，．，，．故选：．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，则A．25 B．36 C．40 D．49【解答】解：在中，，又由正方形面积公式得，，，．故选：．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的边长是，则正方形，，，，，，的面积之和是A． B． C． D．【解答】解：由图可得，与的面积的和是的面积；与的面积的和是的面积；而，的面积的和是的面积．即、、、、、、的面积之和为3个的面积．的面积是，、、、、、、的面积之和为．故选：．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的边长是3、5、2、3，则最大正方形的边长是A．13 B． C．47 D．【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为、，最大正方形的边长为，由勾股定理得：；；；即最大正方形的面积为：，边长为．故选：．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是A．1 B．2021 C．2020 D．2019【解答】解：由题意得，正方形的面积为1，由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积，“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，故选：．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是，则图中四个小正方形、、、的面积之和是A． B． C． D．不能确定【解答】解：如图，由勾股定理可知，正方形与的面积和等于正方形的面积．正方形与的面积和等于正方形的面积．并且正方形与的面积和等于最大的正方形的面积．因此、、、的面积之和是为最大正方形的面积．故选：．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形的面积是A．13 B．26 C．34 D．47【解答】解：由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，同理，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，故选：．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则图中所有的正方形的面积之和为A． B． C． D．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，，，，，则．故选：．梯子滑动模型如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对【解答】解：由题意得：在中，米，米，米，在中，米，米，米，（米．故选：．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子的长度为A．10米 B．6米 C．7米 D．8米【解答】解：由题意得：米，米，米，设米，则米，由题意得：，解得：，（米，故选：．一架25米长的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙底端7米．如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯脚将水平滑动A．9米 B．15米 C．5米 D．8米【解答】解：梯子顶端距离墙角地距离为，顶端下滑后梯子低端距离墙角的距离为，．故选：．如图，一架长的梯子斜靠在垂直的墙上，这时为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子的底端向外移动．【解答】解：中，，，；同理，中，，，，．答：梯子底端向外移了0.5米，故答案为：0.5如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端向外移．【解答】解：，，，，，，，，梯子底端向外移，故答案为：7雷劈模型一棵大树在一次强台风中于离地面6米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为A．12米 B．18米 C．24米 D．30米【解答】解：如图，在中，，，米，米，米．所以这棵大树在折断前的高度为18米．故选：．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为尺．A．10 B．12 C．13 D．14【解答】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度（尺，答：芦苇长13尺．故选：．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是A．8米 B．12米 C．5米 D．5或7米【解答】解：一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，折断的部分长为，折断前高度为（米．故选：．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木頂端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为A．7米 B．8米 C．9米 D．12米【解答】解：一竖直的木杆在离地面4米处折断，頂端落在地面离木杆底端3米处，折断的部分长为（米，折断前高度为（米．故选：．一棵高为的大树被台风刮断，若树在离地面处折断，则树顶端落在离树底部处．A． B． C． D．【解答】解：设树顶端落在离树底部米，由题意得：，解得：，（不合题意舍去）．故选：．最短路径模型如图，圆柱的底面半径是4，高是5，一只在点的蚂蚁想吃到点的食物，需要爬行的最短路径是取A．9 B．13 C．14 D．25【解答】解：展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即，矩形的宽是圆柱的高5．根据两点之间线段最短，知最短路程是矩形的对角线的长，即．，故选：．如图，圆柱的底面圆的周长为为，高为，一只蚂蚁沿外壁从点爬行到点，则最少要爬行A． B． C． D．【解答】解：将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：底面圆的周长为，，高，．故选：．如图，一个底面直径为，高为的糖罐子，一只蚂蚁从处沿着糖罐的表面爬行到处，则蚂蚁爬行的最短距离是A． B． C． D．【解答】解：将此圆柱展成平面图得：有一圆柱，它的高等于，底面直径等于，底面周长，，，．答：它需要爬行的最短路程为．故答案为：．故选：．如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为A． B． C． D．【解答】解：把圆柱沿母线剪开后展开，点展开后的对应点为，则蚂蚁爬行的最短路径为，如图，，，在，，所以它爬行的最短路程为．故选：．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为．A．9 B．10 C．18 D．20【解答】解：如图：将圆柱展开，为上底面圆周长的一半，作关于的对称点，连接交于，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为的长，即，延长，过作于，，，△中，由勾股定理得：，则该圆柱底面周长为．故选：．如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部处的点处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为A． B． C． D．【解答】解：如图：高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，，，将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，．故选：．如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为A． B． C． D．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，．故选：．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到点处吃食物，那么它爬行最短路程是A． B． C． D．【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是6和3，则所走的最短线段是；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是4和5，所以走的最短线段是；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和2，所以走的最短线段是；三种情况比较而言，第二种情况最短．所以它需要爬行的最短路线的长是，故选：．如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是．A．4 B．5 C． D．【解答】解：将长方体展开，连接，根据两点之间线段最短，，，由勾股定理得：，则需要爬行的最短距离是；故选：．如图，正方体的棱长为2，为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从点出发，到达点，则它运动的最短路程为A． B．4 C． D．5【解答】解：如图，它运动的最短路程，故选：．如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处（三条棱长如图所示），问最短路线长为．【解答】解：如图1，，如图2，，如图3，，故沿长方体的表面爬到对面顶点处，只有图2最短，其最短路线长为：5，故答案为：5如图，已蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点出发，经过2个侧面爬到点，如果它运动的路径是最短的，则最短路径长为．【解答】解：将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短，根据勾股定理得：，故答案为：．如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为，则的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小，如图所示：此时，，．的取值范围是．故选：．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是A． B． C． D．【解答】解：底面半径为半径为，高为，吸管露在杯口外的长度最少为：（厘米）．故选：．如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即，筷子露在杯子外面的长度至少为，故选：．如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中