专题11平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题(原卷版+解析)

专题11平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题（原卷版）第一部分典例精析类型一点的运动规律探究（1）沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．（2022•丛台区开学）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…，根据这个规律探索可得，第10个点的坐标为，第55个点的坐标为．2．（2022•麻城市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是3．（2021春•洛龙区期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点An，则点A2021的坐标是（）A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）绕定点呈“回”字形运动的点的坐标变化规律4．如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…．若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为．5．（2022•金凤区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P2022的坐标为．类型二图形变换的点的坐标规律探究6．（2018春•兴城市期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2换成三角形OA3B3，……，若A（﹣3，1），A1（﹣3，2），A2（﹣3，4），A3（﹣3，8），点B（0，2），B1（0，4），B2（0，6），B3（0，8），按这样的规律，将三角形OAB进行2018次变换，得到三角形OA2018B2018，则A2018的坐标是．7．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1第二次将OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)求三角形OAB的面积；(2)写出三角形OA4B4的各个顶点的坐标；(3)按此图形变化规律，你能写出三角形OAnBn的面积与三角形OAB的面积的大小关系吗？8．如图所示，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，1)，C(3，3)，D(1，3)．(1)在同一直角坐标系中，将正方形向左平移2个单位，画出相应的图形，并写出各点的坐标．(2)将正方形向下平移2个单位，画出相应的图形，并写出各点的坐标．(3)在(1)(2)中，你发现各点的横、纵坐标发生了哪些变化？

第二部分专题提优训练一．试题（共6小题）1．（2019春•马山县期中）如图，一个点在第一，四象限及x轴上运动，在第1次，它从原点运动到点（1，﹣1），用了1秒，然后按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（1，﹣1）→（2，0）→（3，1）→…，它每运动一次需要1秒，那么第2019秒时点所在的位置的坐标是．2．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是，经过第2020次运动后，动点P的坐标是．3．（2021春•新抚区期末）一只电子玩具在第一象限及x，y轴上跳动，第一次它从原点跳到（0，1），然后按图中箭头所示方向跳动（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，每次跳一个单位长度，则第2021次跳到点．

4．（2022秋•承德期中）如图，动点P从（0，3）出发，沿图中所示方向运动，每当碰到长方形OABC的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为45°，第1次碰到长方形边上的点的坐标为（3，0），则第33次碰到长方形边上的点的坐标为（）A．（7，4） B．（8，3） C．（5，0） D．（1，4）5．（2014•惠安县二模）如图，直角坐标平面xoy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（﹣1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，﹣2），…，按这样的运动规律，动点P第11次运动到点（，）；第2014次运动到点（，）．6．（2021春•新疆期中）如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，…已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．（1）求三角形OAB的面积；（2）求A5和B5的坐标；（3）直接写出点An与Bn的坐标．专题11平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题（解析版）第一部分典例精析类型一点的运动规律探究（1）沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．（2022•丛台区开学）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…，根据这个规律探索可得，第10个点的坐标为，第55个点的坐标为．思路引领：从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第10个点和第55个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第10个点和第50个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n列有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，∵1+2+3+4＝10，1+2+3+…+10＝55，∴第10个点在第4列自下而上第4行，所以奇数列的坐标为（n，n−12）（n，n−12−1）…（n偶数列的坐标为（n，n2）（n，n2−1）…（n由加法推算可得到第55个点位于第10列自下而上第10行．代入上式得第10个点的坐标为（4，2），第55个点的坐标为（10，5），故答案为：（4，2），（10，5）．总结提升：本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．2．（2022•麻城市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是思路引领：计算P点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第2022秒P点位置．解：由题意可知，点P运动一个半圆所用的时间为：π÷π∵2022＝1011×2，∴2022秒时，P在第1011个半圆的最末尾处，∴点P的坐标为（2022，0）．故答案为：（2022，0）．总结提升：本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，找出运动规律的同时也要考虑坐标系位置是解题的关键．3．（2021春•洛龙区期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点An，则点A2021的坐标是（）A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）思路引领：观察图形可知，A4，A8，…都在x轴上，求出OA4，OA8，…OA4n的长度，然后写出坐标即可；根据以上规律写出点A4n的坐标即可求出点A2020的坐标，则A2021点的坐标即可求出．解：由图可知，A4，A8，…都在x轴上，蚂蚁每次移动1个单位，∴OA4＝2，OA8＝4，…OA4n＝2n，∴点A4n的坐标为（2n，0），∴点A2020的坐标为（1010，0），∴A2021（1010，1），故选：B．总结提升：本题主要考查了点的变化规律，仔细观察图形，确定出点A4n都在x轴上是解题的关键．绕定点呈“回”字形运动的点的坐标变化规律4．如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…．若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为．思路引领：如图，以点O为原心，建立平面直角坐标系，则A1，A2，A3，…的坐标分别为（－1，0），（－2，0），（－3，0），…，A10的坐标为（－10，0），然后大致描出第10圈的形状，很轻松求出第10圈的长．解：观察图形发现：

第一圈的长是2（1+2）+1=7；第二圈的长是2（3+4）+1=15；

第三圈的长是2（5+6）+1=23；则第n圈的长是2（2n-1+2n）+1=8n-1．

当n=10时，原式=80-1=79．

故答案为79．题眼直击：坐标表示图形，规律探究．总结提升：依次计算第一圈长，第二圈长，……，探究这几个数的一般规律性，然后应用规律求出第10圈．5．（2022•金凤区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P2022的坐标为．思路引领：根据题意可得到规律，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），再根据规律求解即可．解：根据题意可得到规律，P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），P7（2，﹣2），P8（2，2），P12（3，3），P16（4，4），...，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），∵2022＝4×505+2，∴P2022（﹣506，﹣506），故答案为：（﹣506，﹣506）．总结提升：本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．类型二图形变换的点的坐标规律探究6．（2018春•兴城市期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2换成三角形OA3B3，……，若A（﹣3，1），A1（﹣3，2），A2（﹣3，4），A3（﹣3，8），点B（0，2），B1（0，4），B2（0，6），B3（0，8），按这样的规律，将三角形OAB进行2018次变换，得到三角形OA2018B2018，则A2018的坐标是．思路引领：探究规律后利用规律即可解决问题；解：∵A1（﹣3，2），A2（﹣3，4），A3（﹣3，8）；∴A点横坐标为﹣3，纵坐标依次为：2，22，23，…得出：An（﹣3，2n），∴n＝2018时，A2018（﹣3，22018），故答案为（﹣3，22018）总结提升：此题主要考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A，B点横纵坐标变化规律是解题关键．7．12．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1第二次将OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)求三角形OAB的面积；(2)写出三角形OA4B4的各个顶点的坐标；(3)按此图形变化规律，你能写出三角形OAnBn的面积与三角形OAB的面积的大小关系吗？解：(1)S三角形OAB＝×2×3＝3；(2)根据图示知O的坐标是(0，0)；已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，对于A1，A2…An坐标找规律比较从而发现An的横坐标为2n，而纵坐标都是3；同理B1，B2…Bn也一样找规律，规律为Bn的横坐标为2n＋1，纵坐标为0．由上规律可知：A4的坐标是(16，3)，B4的坐标是(32，0)；综上所述，O(0，0)，A4(16，3)，B4(32，0)；(3)根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是4，所以OBn＝2n＋1，S三角形OAnBn＝×2n＋1×3＝3×2n＝2nS三角形OAB，即S三角形AnBn＝2nS三角形OAB。8．如图所示，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，1)，C(3，3)，D(1，3)．(1)在同一直角坐标系中，将正方形向左平移2个单位，画出相应的图形，并写出各点的坐标．(2)将正方形向下平移2个单位，画出相应的图形，并写出各点的坐标．(3)在(1)(2)中，你发现各点的横、纵坐标发生了哪些变化？思路引领：（1）让正方形ABCD的四个顶点分别向左平移2个单位，画出相应图形，根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标；

（2）让正方形ABCD的四个顶点分别向下平移2个单位，画出相应图形，根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标；

（3）从上二题中可以看出正方形ABCD→正方形A′B′C′D′各点的横坐标都减去2，纵坐标不变；

正方形ABCD→正方形A″B″C″D″各点的纵坐标都减去2，横坐标不变．解：(1)将正方形向左平移2个单位，也就是横坐标都减去2，纵坐标不变．如图1所示：A(－1，1)，B(1，1)，C(1，3)，D(－1，3)．(2)将正方形向下平移2个单位，也就是横坐标不变，纵坐标减去2．如图2所示．A(1，－1)，B(3，－1)，C(3，1)，D(1，1)．图1图2(3)在(1)中，各点的横坐标都减少了2，纵坐标未变；在(2)中，横坐标未变纵坐标都减少了2．点睛：本题考查的是平移变换作图．作平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

第二部分专题提优训练一．试题（共6小题）1．（2019春•马山县期中）如图，一个点在第一，四象限及x轴上运动，在第1次，它从原点运动到点（1，﹣1），用了1秒，然后按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（1，﹣1）→（2，0）→（3，1）→…，它每运动一次需要1秒，那么第2019秒时点所在的位置的坐标是．思路引领：根据已知得出点的横坐标为：等于运动次数，纵坐标从﹣1，0，1，0依次循环，即可得出答案．解：∵（0，0）→（1，﹣1）→（2，0）→（3，1）→…，第4秒时点所在位置的坐标是：（4，0），∴第5次运动点的坐标为：（5，﹣1），第6次运动点的坐标为：（6，0），第7次运动点的坐标为：（7，1），第8次运动点的坐标为：（8，0），∴质点的横坐标为：等于运动次数，纵坐标从﹣1，0，1，0依次循环，∴第2019秒时点所在位置的坐标是：横坐标为：2019，∵2019÷4＝504…3，纵坐标为：1，∴第2019秒时点所在位置的坐标是：（2019，1）．故答案为：（2019，1）．总结提升：此题主要考查了数字变化规律以及坐标性质，根据已知得出质点坐标的变化规律是解题关键．2．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是，经过第2020次运动后，动点P的坐标是．思路引领：分析点P的运动规律，找到循环次数即可．解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．∵1000＝4×250，∴当第250循环结束时，点P位置在（1000，0），∵2019＝4×504+3，2020＝4×505，∴当第504循环结束时，点P位置在（2016，0），在此基础之上运动三次到（2019，2），运动四次到点（2020，0），故答案为（2019，2）；（2020，0）．总结提升：本题是规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环．3．（2021春•新抚区期末）一只电子玩具在第一象限及x，y轴上跳动，第一次它从原点跳到（0，1），然后按图中箭头所示方向跳动（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，每次跳一个单位长度，则第2021次跳到点．思路引领：根据电子玩具运动的速度确定：（0，1）用的次数是1（12）次，到（0，2）是第8（2×4）次，到（0，3）是第9（32）次，到（0，4）是第24（4×6）次，到（0，5）是第25（52）次，到（0，6）是第48（6×8）次，依此类推，到（0，45）是第2025次，后退4次可得2021次所对应的坐标．解：电子玩具运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，1）用的次数是1（12）次，到（0，2）是第8（2×4）次，到（0，3）是第9（32）次，到（0，4）是第24（4×6）次，到（0，5）是第25（52）次，到（0，6）第48（6×8）次，依此类推，到（0，45）是第2025次．2025﹣1﹣3＝2021，故第2021次时电子玩具所在位置的坐标是（3，44）．故答案为：（3，44）．总结提升：此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．4．（2022秋•承德期中）如图，动点P从（0，3）出发，沿图中所示方向运动，每当碰到长方形OABC的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为45°，第1次碰到长方形边上的点的坐标为（3，0），则第33次碰到长方形边上的点的坐标为（）A．（7，4） B．（8，3） C．（5，0） D．（1，4）思路引领：通过分析观察，总结出图形变化规律为每碰撞6次回到起始点，所以，33÷6＝5⋅⋅⋅⋅⋅⋅3，则第33次碰到长方形边上的点的坐标与第3次碰到长方形边上的点的坐标一样，即可求解．解：观察图1可知，第1次碰到长方形边上的点的坐标为（3，0），第2次碰到长方形边上的点的坐标为（7，4），第3次碰到长方形边上的点的坐标为（8，3），第4次碰到长方形边上的点的坐标为（5，0），第5次碰到长方形边上的点的坐标为（1，4），第6次碰到长方形边上的点的坐标为（0，3），第7次碰到长方形边上的点的坐标为（3，0），所以每碰撞6次回到起始点，因为33÷6＝5⋅⋅⋅⋅⋅⋅3，所以第33次碰到长方形边上的点的坐标为（8，3）．故选：B．总结提升：本题考查了图形规律探究，掌握图形变化规律是关键．5．（2014•惠安县二模）如图，直角坐标平面xoy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（﹣1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，﹣2），…，按这样的运动规律，动点P第11次运动到点（，）；第2014次运动到点（，）．思路引领：观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环