专题05平行四边形的四种几何综合问题(原卷版+解析)

专题05平行四边形的四种几何综合问题类型一、折叠问题例．如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（

）A．5 B．7 C． D．例2．如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为（

）A．3 B． C． D．【变式训练1】如图，平行四边形中，＝，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为______．【变式训练2】如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．【变式训练3】如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为

____________【变式训练4】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．类型二、平行四边形中的最值问题例．（将军饮马模型）如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是________．【变式训练1】如图，在中，，，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．【变式训练2】如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．【变式训练3】如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．【变式训练4】如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则的最小值为______．类型三、动点问题例．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．【变式训练1】如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则_____秒后四边形成为一个平行四边形．【变式训练2】如图，在四边形中，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？类型四、旋转问题例．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，点M，P，N分别为，，的中点．(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是___________，位置关系是___________；(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：若，，绕点A在平面内旋转过程中，请求出的面积取得最大值时的长．【变式训练1】在中，，．在中，，．连接，M为线段的中点，连接．绕点A旋转，若，，的最大值为（

）A．5 B． C．7 D．【变式训练2】如图，是等腰直角三角形，，，线段可绕点在平面内旋转，．(1)若，在线段旋转过程中，当点，，三点在同一直线上时，直接写出的长．(2)如图，若将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接，．①当点的位置由外的点转到其内的点处，且，时，求的长；②如图，若，连接，将绕点在平面内旋转，分别取，，的中点，，，连接，，，请直接写出面积的取值范围．【变式训练3】在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，于点M．于点N，连接．(1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长交于点E．求证：；(2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点在直线a的同侧，其它条件不变，此时，，求MN的长度．(3)若过P点作于点G，试探究线段和的数量关系．专题05平行四边形的四种几何综合问题类型一、折叠问题例．如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（

）A．5 B．7 C． D．【答案】A【详解】解：如图：连接，作，∵四边形是平行四边形，∴，∴且，∴，∴；∵M是中点，∴，∴，∴；∵折叠，∴，∴当三点共线时，的长度最小，∴此时，故选：A．例2．如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【详解】解：延长交于点H，∵恰好垂直于，且四边形是平行四边形，∴也垂直于，由折叠的性质得，，，，∴，∴，，在中，，，∴，，∴，由折叠的性质得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故选：C．【变式训练1】如图，平行四边形中，＝，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为______．【答案】【详解】解：由折叠知：，，，∵四边形是平行四边形，∴，∴∠，∴，∴，过点作，垂足为F，∴，∵，∴，∴，中，，∴，∵，∴，∴，∴，∵,∴，∴，∴，故答案为：．【变式训练2】如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．【答案】7【详解】∵向上翻折，点A正好落在边上，∴，，∵的周长为6，的周长为20，∴，，∴，∴∵，，∴，∵四边形是平行四边形，∴，即，∴．故答案为：7．【变式训练3】如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为

____________【答案】45【详解】解：如图，连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、．∵，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，∴，，，∵，∴，∵D、T关于对称，∴，，∴，∵，∴B、A、T共线，∴，∵，，∴四边形EGCD是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，则的最小值为45．故答案为：45．【变式训练4】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．【答案】【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，∵AB=6，5BE=AE，∴AE=5，BE=，由折叠的性质可知：GE=AE=5，GF=AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABN=∠A=45°，∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6，∴FH=BM=6，在Rt△GEN中，根据勾股定理，得，∴，解得GN=±7（负值舍去），∴GN=7，设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，在Rt△GFH中，根据勾股定理，得，∴，解得x=，∴AF=AM+FM=6+=．∴AF长度为．故答案为：．类型二、平行四边形中的最值问题例．（将军饮马模型）如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是________．【答案】【详解】解：过点A作直线的对称点F，连接，连接交于点P，此时有最小值，最小值为的长，∵点A与点F关于直线对称，∴，，则，∴是等边三角形，∵在中，，∴，过点E作直线的垂线，垂足为点G，∵，∴，∴，，∴，∴，∴的最小值是．故答案为：．【变式训练1】如图，在中，，，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．【答案】9.6【详解】设交于点，过点作于点，如图所示，在四边形中，，，∵，∴，∵，∴,在中，，∵，∴，当点与点，重合时，最小，∴的最小值为．故答案为：．【变式训练2】如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．【答案】3【详解】解：如图，过作交的延长线于点，∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴，∵，∴当三点共线时，线段的和最小，∵，，∴，即：的最小值等于3；故答案为：3．【变式训练3】如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．【答案】【详解】解：如图，延长到，使得，连接，过点作于点．四边形是平行四边形，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，在中，，，，，．的最小值为．故答案为：．【变式训练4】如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则的最小值为______．【答案】【详解】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO=QO，CO=AO=，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，当P与P'重合时，OP的值才是最小，∴则PQ的最小值为2OP′=2×OC=，故答案为：．类型三、动点问题例．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．【答案】4s或s【详解】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝4﹣2t，解得t＝，②当F在线段CM上，即2≤t≤5，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝2t﹣4，解得t＝4，综上所述，t＝4或，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，故答案为：4s或s．【变式训练1】如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则_____秒后四边形成为一个平行四边形．【答案】2【详解】解：如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，∵AD∥BC，∴AP∥BQ，当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，∴t=6-2t，∴t=2，当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．故答案为：2．【变式训练2】如图，在四边形中，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？【答案】分别需经过；或．理由见解析．【详解】解：①设经过，，此时四边形成为平行四边形，∵，∴，解得，∴当s时，且PQ=CD②设经过，，如图所示，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F，当CF=EQ时，四边形PQCD为梯形（腰相等）或平行四边形，∵，∴四边形ABFD是矩形，∴AD=BF，∵AD=24cm，BC=26cm，∴（cm），当四边形PQCD为梯形（腰相等）时，，∴，解得，∴当s时，PQ=CD，当四边形为平行四边形或梯形（腰相等），为平行四边形时有s，PQ=CD，综上所述，当s时，；当s或s时，PQ=CD．类型四、旋转问题例．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，点M，P，N分别为，，的中点．(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是___________，位置关系是___________；(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：若，，绕点A在平面内旋转过程中，请求出的面积取得最大值时的长．【答案】(1)，(2)是等腰直角三角形，理由见解析(3)【详解】（1）点N，分别是，的中点，，，点，是，的中点，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：，；（2）是等腰直角三角形．理由如下：由旋转知，，，，，，，利用三角形的中位线得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）由（2）知是等腰直角三角形，∴．∴当最大时，最大．∵，∴最大时最大．∴当点D在的延长线上时最大，如图，此时中，，，．∴．【变式训练1】在中，，．在中，，．连接，M为线段的中点，连接．绕点A旋转，若，，的最大值为（

）A．5 B． C．7 D．【答案】B【详解】解：如图，取的中点，连接，，，，点是的中点，，，，，点是的中点，点是的中点，，在中，，当点在的延长线上时，有最大值为，故选：B．【变式训练2】如图，是等腰直角三角形，，，线段可绕点在平面内旋转，．(1)若，在线段旋转过程中，当点，，三点在同一直线上时，直接写出的长．(2)如图，若将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接，．①当点的位置由外的点转到其内的点处，且，时，求的长；②如图，若，连接，将绕点在平面内旋转，分别取，，的中点，，，连接，，，请直接写出面积的取值范围．【答案】(1)或(2)①；②【详解】（1）当点在的延长线上时，，当点在线段上时，，故CD的长为或12．（2）①如图2中，连接，．，，，，，，，，，，，，．②如图3中，连接，延长交于，交于．，，，，，，，，，，，，，，，，同法可得，，，，，，是等腰直角三角形，，．【变式训练3】在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，于点M．于点N，连接．(1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长