2025年高考数学一轮复习：导数与函数的单调性（十二大题型）讲义（原卷版）

第02讲导数与函数的单调性

目录

01考情透视•目标导航...........................................................................2

02知识导图•思维引航...........................................................................3

03考点突破•题型探究...........................................................................4

知识点1：函数的单调性与导数的关系............................................................4

知识点2：利用导数判断函数单调性的步骤........................................................4

解题方法总结...................................................................................5

题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像................................................5

题型二：求单调区间.............................................................................7

题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围.........................................8

题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围...............................................8

题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围...................................9

题型六：不含参数单调性讨论...................................................................10

题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析.....................................................11

题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析...................................................12

题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析..........................................12

题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析........................................14

题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析...............................................15

题型十二：分段分析法讨论函数的单调性.........................................................15

04真题练习•命题洞见...........................................................................16

05课本典例•高考素材...........................................................................17

06易错分析•答题模板...........................................................................19

易错点：对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻........................................19

答题模板：利用导数判断函数的单调性...........................................................19

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

高考对函数单调性的考查相对稳定，考

2023年乙卷(文)第20题，12分

查内容、频率、题型、难度均变化不大.高

2023年乙卷(理)第16题，5分

考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只

(1)函数的单调区间2023年II卷第6题，5分

要把握好导数作为研究函数的有力工具这一

(2)单调性与导数的关系2022年甲卷第12题，5分

点，将函数的单调性本质问题利用图像直观

2022年1卷第7题，5分

明了地展示出来，其余的就是具体问题的转

2021年浙江卷第7题，5分

化了.

复习目标：

(1)结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.

(2)能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

匐2

〃二知识导图•思维引航\\

设函数丁=/（.”在某个区间内可导，

如果则『=/（'•）为增函数；

函数的单调性与导数的关系

如果/,（.v）＜0,则/=/（、）为减函数；

如果/'（M=0，则J=/（x）为常数函数.

导数与函数的单调性确定函数/（X）的定义域

如果导函数中未知未负，则需要单独讨论的部分；〜

’如果导函数恒止或恒负，则无需单独讨论J

T求出导数/，代）的零点）

利用导数判断函数单调性的步骤,加/'（X）的骞点将/（X）的定义域划分为若干个区间，'

T列表给出了'住）在各区间上的正负，

、由此得出函数r=/（M在定义域内的单调性/

/如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶存;

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或•阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.

通过二阶导正负判断阶导函数的单调性，进而判断阶导函数正负区间段.

考点突确.题理辉宝

知识固本

知识点1:函数的单调性与导数的关系

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果((x)>0,则y=/(x)为增函数；

如果((x)<0,则y=/(x)为减函数.

2、己知函数的单调性问题

①若/(x)在某个区间上单调递增，则在该区间上有广(工)20恒成立(但不恒等于0)；反之，要满足

((x)>0,才能得出/(x)在某个区间上单调递增；

②若/(x)在某个区间上单调递减，则在该区间上有尸(幻<0恒成立(但不恒等于0)；反之，要满足

才能得出了(x)在某个区间上单调递减.

【诊断自测】(2024•高三•上海松江•期末)函数y=的图象如图所示，y=_f(X)为函数y=

的导函数，则不等式上3<0的解集为()

A.(-3,-1)B.(0,1)

C.(-3,-l)u(0,l)D.(-CO,-3)L(1,-HO)

知识点2：利用导数判断函数单调性的步骤

(1)确定函数“X)的定义域；

(2)如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分.如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论；

(3)求出导数1(x)的零点；

(4)用/(x)的零点将/(X)的定义域划分为若干个区间，列表给出广(x)在各区间上的正负，由此得

出函数y=/(x)在定义域内的单调性；

(5)如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导

往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.通过二阶导正

负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段.

【诊断自测】(2024•湖南怀化•二模)已知/(x)=2--3x-hix,则/(期的单调增区间为—.

解题方法总结

1、使尸(x)=0的离散点不影响函数的单调性，即当尸(x)在某个区间内离散点处为零，在其余点处均

为正(或负)时，/(X)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例如，在(-00,-)上，/(x)=d,当

x=O时，/'(x)=0；当xwO时，r(x)>0,而显然/(x)=V在(f+w)上是单调递增函数.

2、若函数y=/(x)在区间①向上单调递增，则((x)20(广⑺不恒为0),反之不成立.因为

即/(x)>0或((x)=0,当尸(尤)>0时，函数y=/(x)在区间(a,6)上单调递增.当((元)=0

时，/(x)在这个区间为常值函数；同理，若函数y=/(x)在区间①力)上单调递减，贝iJ/'(x)WO(尸(x)不

恒为0),反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不

必要条件.于是有如下结论：

;(无)>0n/(x)单调递增；以x)单调递增n/'(X)>0；

八尤)<0n/(x)单调递减；/(x)单调递减n-(无)<0.

1题［甲J

题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

【典例1-1】(2024•重庆•模拟预测)已知函数〃x)=x"(x>0),a为实数，"X)的导函数为/(X),在

同一直角坐标系中，“X)与/'(X)的大致图象不可能是()

【典例1-2】（2024•广东广州•一模）已知函数y=/（x）的图像如图所示，则其导函数y=/'（x）的图像

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数/⑴单调递增o导函数尸（尤）20（导函数

等于0,只在离散点成立，其余点满足/（无）＞0）；原函数单调递减o导函数/'（X）40（导函数等于0,只

在离散点成立，其余点满足/（Xo）＜O）.

【变式1-1］（2024•高三•陕西西安•期中）已知函数y=〃x）（xeR）的图象如图所示，则不等式

矿（x）＞0的解集为（）.

B.-C0,3

c.(-8,0)D.(-1,0)1(1,3)

【变式1-2](2024•北京海淀•一模)函数"X)是定义在(-4,4)上的偶函数，其图象如图所示，/⑶=0.

设了'(X)是/a)的导函数，则关于％的不等式/(彳+1>/'。)20的解集是()

A.[0,2]B.[-3,0][3,4)C.(-5,0]1[2,4)D.(M,0][2,3)

题型二：求单调区间

【典例2-1】(2024•四川成都•三模)已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，

/(x)=x(l-liu),则当X<。时，/⑺的单调递增区间为

【典例2-2]函数>=工的严格递减区间是.

尤-2

【方法技巧】

求函数的单调区间的步骤如下：

(1)求了(X)的定义域

(2)求出尸(x).

(3)令/(©=0,求出其全部根，把全部的根在x轴上标出.

(4)在定义域内，令/'(尤)>0,解出x的取值范围，得函数的增区间；令((无)<0,解出x的取值范

围，得函数的减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和''或"，"隔开.

【变式2-1](2024•四川巴中•一模)已知奇函数/(%)的导函数为/'(x),若当x<0时/(x)=d-,且

(T)=0.则/(%)的单调增区间为

【变式2-2](2024•广西•模拟预测)函数〃尤)=3--2x-31n尤的单调递增区间为—.

【变式2-3]函数/(x)=sin2x+2cosx在(0,兀)上的单调递减区间为.

题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围

【典例3-1】已知函数/（力=（2-尤户-《%在（0,5）上为减函数，贝也的取值范围是（）

【典例3-2】已知函数外力=#+尹+》+1在（-哂0）,（3,+«）上为增函数，在（1,2）上为减函数,

则实数。的取值范围为（）

【方法技巧】

已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解.

【变式3-1】已知函数=在区间[1,3]上单调递减，则实数。的取值范围为（）

A.B.a>lC.a之—D.a>—

33

【变式3-2]（2024•高三•广东汕头•期中）设"（0』），若函数/（%）=屋+（1+。>在（0,+功递增，则。

的取值范围是（）

.6-1#+1逐-11）rfy/5-1>75-1

[22」L23JI2JI2J

【变式3-3]（2024•陕西西安•三模）若函数=依+lnx在区间（i,e）上单调递增，贝网的取值范

围是（）

A.[3,+o>）B.（-«）,3]C.[3,e2+l]D.[3,e2-l]

【变式3-4]（2024•高三•江苏南通•期中）己知函数/（力=犬-仪+111%（。€11）的减区间为则

题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围

尤2]

【典例44]（2024•宁夏银川•三模）若函数/（x）=、-Inx在区间（九加+§）上不单调，则实数机的取

值范围为（）

2

A.0<m<—B.—<m<l

33

2

C.—<m<1D.m>l

3

【典例4-2】已知函数/(%)=(1-％)山%+如:在(1,+00)上不单调，贝！的取值范围是()

A.(0,+co)B.(-8,0)C.［0,+oo)D.(-oo,0］

【方法技巧】

已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.

【变式4-1】函数〃尤)=；/-2以+lnx在(1,3)上不单调，则实数。的取值范围为()

A.-,-1

B.(l,+a>)

C.-co,--M(1,+<»)D.J(2,+oo)

【变式4-2】函数〃x)=(l-x)lnx+◎在(1,舟)上不单调的一个充分不必要条件是()

A.aG(1,+OO)B.ae(-<x>,0)C.ae(0,+co)D.«e(-l,+oo)

【变式4-3］若函数/(x)=f_12x在区间(4上不单调，则实数上的取值范围是()

A.(―oo,—+oo)B.(一3,—

C.(-2,2)D.不存在这样的实数上

【变式4-4】函数"x)=sin^xj-以在R上不单调，则。的取值范围是()

A.曰』B.(-1,1)C,D.

题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围

【典例5-1】已知函数/。)=/_尤2+1在Qi)上有增区间，则。的取值范围是_.

【典例5-2］若函数/。)=尤34.+尤在［1,3］存在单调递减区间，则a的取值范围为一.

【方法技巧】

已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.

【变式5-1］若函数，(无)=1”-3--2》存在单调递减区间，则实数。的取值范围是—.

【变式5-2］若函数〃©=炉-e，-改在R上存在单调递增区间，则实数。的最大值为一.

【变式5-3］(2024•高三•湖北襄阳•期末)函数/⑴的导函数为:⑴，若在了⑺的定义域内存在一

个区间2/(x)在区间O上单调递增，/'(x)在区间。上单调递减，则称区间。为函数/⑺的一个“渐缓增

区间若对于函数/(x)=ae*-V,区间［o,；］是其一个渐缓增区间，那么实数。的取值范围是—.

i3

【变式5-4］若函数〃x)=(/+〃a)e'在-J，］上存在单调递减区间，则加的取值范围是.

题型六：不含参数单调性讨论

【典例6-1】(2024•河北保定•二模)已知函数”x)=(x-2e2)lnx-ox-2e2(awR)芾a=l,讨论/(%)

的单调性；

【典例6-2】(2024•高三•天津•开学考试)已知函数f(x)=e，-左sinx.当左=l,xe(0弓小寸，求

fM的单调区间；

【方法技巧】

确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数

的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开.

【变式6-1］已知函数/(%)=111(炉—1)—Inx.

判断"X)的单调性，并说明理由；

【变式6-2］(2024•湖南邵阳•三模)已知函数/(尤)=网平±jaeR),若。=2,求”力的单调区间.

【变式6-3］(2024•全国•模拟预测)已知函数"%)=加-(lnx)2(awR).

当a=l时，讨论函数/⑺的单调性.

【变式6-4】函数/(X)=油-1111-1.当"=小时，求函数/⑴的单调性;

e

题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析

【典例7-1】已知函数/(元)=ax-21n尤.讨论函数/O)的单调性;

【典例7-2】已知函数〃尤)=2+hw-lMeR.讨论函数/(x)的单调性;

【方法技巧】

导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时,

讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区

间.

【变式7-1](2024•陕西渭南•二模)已知函数/(x)=ln(x+l)—皿,其中〃zeR.讨论/⑺的单调性;

【变式7-2]设函数〃x)=ln(x+l)-含.讨论的单调性;

题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析

【典例8-1】(2024•山东枣庄•模拟预测)已知函数〃x)=e*-双2-x,/'(x)为『3的导数，讨论f(x)的

单调性；

【典例8-2](2024•海南海口•二模)已知函数〃x)=x+2-ae*.讨论“X)的单调性;

【方法技巧】

导函数的形式为含参准一次函数，首先对/'(x)定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系,

结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间.

【变式8-1】已知函数=讨论〃力的单调性；

【变式8-2](2024•浙江宁波•模拟预测)已知函数/(劝=6*-6-1.讨论了3的单调性；

题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析

【典例9-1】已知函数〃x)=[-(a+l)x+alnx.讨论/(%)的单调性;

【典例9-2］已知函数/(x)=gY+(1-”口一。111》(。€11).讨论函数/<>)的单调性;

【方法技巧】

若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域,

判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.

【变式9-1］已知函数〃一)=苏-(2+5a)x+51nx(aeR),讨论函数/(%)的单调性；

【变式9-2】已知函数/(力=-一二一(a+l)ln(x+l)+ax+e-2(aeR,e为自然对数的底数).讨论函数

/⑺的单调性;

【变式9-3］(2024•河南洛阳•模拟预测)已知函数/(x)=(l—6)lnx+6x+LbwR.

X

(1)当b=o时，求曲线>=/(%)在(1J⑴)处的切线方程；

(2)讨论“X)的单调性.

【变式9-4】已知函数”乃=111厂3―，fleR求函数“X)的单调区间.

题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析

【典例10-1】已知函数ga1f+lnx-ta.讨论g(x)的单调性

【典例10-2】已知函数/(1)=(口+1)111%+加+1.讨论函数〃x)的单调性;

【方法技巧】

若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.

【变式10-1]讨论函数/(x)Tnx+x,aeR的单调性

【变式10-2](2024•高三•广西•开学考试)已知函数/■(尤)=(x2+l)e"+3(aeR).讨论/(%)的单调性.

【变式10-3】设函数/(力=；，+2++(1-2a)x,awO,求/(X)的单调区间.

题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析

【典例11一1】已知函数〃x)=e“[£+a+lj,其中心T.求“X)的单调区间.

【典例11-2]已知函数/(幻=竺一1-hu-1L讨论“X)的单调性;

XX

【方法技巧】

若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划

分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.

【变式11-1］已知函数/(x)=lnx—x,g(x)=%2-2%+3h(x)=(x-2)ex+ag(x),讨论函数/z(x)的单调性;

【变式11-2】已知函数〃x)=e1x2_(2a+i)x+6]3beR).6=1时，讨论/(*)的单调性.

题型十二：分段分析法讨论函数的单调性

【典例12-1】已知函数〃%)=/+1+f—2x+l+(x—l)lna(。＞0,且awl)求函数〃x)的单调区间;

【典例12-2】已知函数/(x)=e*-依(awR),g(x)=e*+cos'x.

⑴若〃x)20,求“的取值范围；

⑵求函数g(x)在(0,+。)上的单调性；

【方法技巧】

分段讨论导函数的正负.

【变式12-1](2024•全国•高三专题练习)已知函数〃力=%-111%-上.判断函数/(力的单调性.

【变式12-2】(2024•高三•湖北•期中)已知函数/(x)=asin(l-x)+lnx,aeR.讨论函数/(%)在

xe(O』)上的单调性.

【变式12-3]设函数〃尤)=字+取2,其中aeR,讨论“X)的单调性.

1.(2023年新课标全国H卷数学真题)已知函数〃同=破-111%在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值

为().

21-2

A.eB.eC.e"D.e

2.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)设"(O』)，若