2024-2025学年吉林省长春市某中学高三全国高校招生模拟考试数学试题（含解析）

2024-2025学年吉林省长春市19中高三全国高校招生模拟考试数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z=」一(i是虚数单位)在复平面内对应的点在()

2-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知/(九)为定义在R上的奇函数，若当％之0时，f(x)=2x+x+m(加为实数)，则关于x的不等式

—2</(x—1)<2的解集是()

A.(0,2)B.(-2,2)C.(-1,1)D.(1,3)

3.下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N除以正整数机所得的余数是记为

“N三”(modm)”，例如7三1(mod2).执行该程序框图，则输出的〃等于()

C.18D.19

4.如图是计算』+二+二+：+1值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()

246810

B.k<5

C.k>5

D.k<6

0<2%+y<6

5.若MV满足约束条件°-，则z=x+2y的最大值为（）

3<x-y<6,

A.10B.8C.5D.3

6.+工］的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为

A.-40B.-20C.20D.40

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A.32B.—C.16D.—

33

8.如图，在平行四边形ABC。中，。为对角线的交点，点P为平行四边形外一点，且APOB,BP04,则=

()

D

3

A.DA+2DCB.-DA+DC

2

31

C.2DA+DCD.-DA+-DC

22

9.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业

岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.

A.互联网行业从业人员中90后占一半以上

B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%

C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

10.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的

秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的

值为2,则输出的u值为（）

A.9x210-2B.9x210+2C.9x2"+2D.9x2u-2

H.在平面直角坐标系xQy中，已知角。的顶点与原点。重合，始边与左轴的非负半轴重合，终边落在直线y=2x上,

则siny+26»)

43

A.B.C.

555

(%-2)(%-/)+3,(%2In2)

12.已知函数/(x)=<当X£[>n,+8）时，/（%）的取值范围为（—8,6+2],则实数m

3-2x,(x<In2)

的取值范围是（）

A.卜8,（B.（-00,1]C.宁,1D.[In2,1]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B为焦点，且过C,D两点的双曲线的离心率为.

14.已知向量a=（2,-6）,b=（3,m）,若k+0=卜一0,则.

15.若/（%）=：区3+（左—2）/-5左+7在（0,2）上单调递减，则上的取值范围是

16.已知q,%是互相垂直的单位向量，若垂与q+Ke；的夹角为60。，则实数入的值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设函数二（1工・*20-1）+*2口+》口W口

⑺求二-的最小正周期;

(〃)若neG.OX且吒)■:，求:::「二-3的值.

18.(12分)在平面直角坐标系x，y中，〃为直线y=X-2上动点，过点作M抛物线C:必=》的两条切线MA,MB,

切点分别为A,B,N为A5的中点.

(1)证明:MNLx轴；

(2)直线是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

19.(12分)若数列｛%｝满足：对于任意〃eN*，。"+|。“+1—4+2]均为数列｛4｝中的项，则称数列｛4｝为“T数列

(1)若数列｛4｝的前〃项和S“=4〃-2/，“cN*，试判断数列｛q,｝是否为“T数列”？说明理由；

(2)若公差为d的等差数列｛4｝为“T数列”，求d的取值范围；

(3)若数列｛4｝为“T数列"，4=1,且对于任意〃eN*，均有/＜4+1-区＜。“+1，求数列｛4｝的通项公式.

20.(12分)设椭圆C:]+V=1的右焦点为口，过尸的直线/与C交于A,3两点，点M的坐标为(2,0).

(1)当直线/的倾斜角为45。时，求线段48的中点的横坐标；

(2)设点A关于x轴的对称点为C,求证：M,B,C三点共线；

(3)设过点M的直线交椭圆于G,"两点，若椭圆上存在点P,使得OG+OH=XOP(其中。为坐标原点)，求实数

X的取值范围.

21.(12分)如图，在直三棱柱A5C—中，CA=CB,点尸，。分别为4月，CQ的中点.求证：

(1)P。//平面ABC；

(2)。。，平面43耳4.

22.(10分)已知抛物线〃：好=2刀(。＞0)的焦点p到点N(-1,-2)的距离为厢.

(1)求抛物线M的方程；

(2)过点N作抛物线〃的两条切线，切点分别为A,B,点4、B分别在第一和第二象限内，求AABN的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.

【详解】

ii（2+i）-l+2z12.

用小2-i（2-z）（2+z）555，

则复数z=」一（，是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：

2-iI55j

位于第二象限.

故选：B.

本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.

2.A

【解析】

先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.

【详解】

据题意，得/（0）=1+m=0,得加=—1,所以当XN0时，/（x）=2"+x—1.分析知，函数/（x）在R上为增函数.

又/（1）=2,所以/（—1）=—2.又—2</（x—1）<2,所以一1<X—1<1,所以0〈尤<2,故选A.

本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.

3.B

【解析】

由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量”的值，模拟程序的运行过程，代入四个选

项进行验证即可.

【详解】

解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整数.

若输出〃=16,贝U6三l（mod3）不符合题意，排除；

若输出〃=17,则17三2（mod3）,17三2（mod5）,符合题意.

故选:B.

本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.

4.B

【解析】

根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,进而可得判断框内的不等

式.

【详解】

因为该程序图是计算工+工+工+,+工值的一个程序框圈

246810

所以共循环了5次

所以输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,

即判断框内的不等式应为左26或左＞5

所以选C

本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题.

5.D

【解析】

171

画出可行域，将Z=x+2y化为y=—,通过平移y=-万》即可判断出最优解，代入到目标函数，即可求出最值.

【详解】

0<2x+y<6

解:由约束条件＜作出可行域如图,

3<x-y<6

|z

化目标函数Z=x+2y为直线方程的斜截式,y=—+5.由图可知

1z

当直线y=x+务过4(3,0)时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为3.

故选:D

本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域，然后将目标函数转化为丁=依+加的形式，在可行域内通过平移

丁=⑪找到最优解，将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.

6.D

【解析】

令x=l得a=l.故原式=(^+-)(2x--)5.(x+-)(2x--)5的通项4+1=C5‘(2x)"2'(_xT)'=C5‘(_l)'25fx5-2"

XXXX

由52二1得『2,对应的常数项=80,由5-2『-1得口3,对应的常数项=40,故所求的常数项为40,选D

解析2.用组合提取法，把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x,选3个提出

X

若第1个括号提出从余下的括号中选2个提出工，选3个提出x.

XX

故常数项=X-Cl(ixy-C^(--)3+—•C^(--)2•《(2X)3=40+80=40

XXX

7.D

【解析】

根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何

体的体积.

【详解】

由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为工x2x2x2+』x』x2x2x2=3.

2323

故选D.

本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.

8.D

【解析】

连接OP,根据题目，证明出四边形APOD为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案

【详解】

连接OP,由APOB,BP0A知，四边形AP30为平行四边形，可得四边形APOD为平行四边形，所以

1131

DP=DA+DO=DA+-DA+-DC=-DA+-DC.

2222

本题考查向量的线性运算问题，属于基础题

9.D

【解析】

根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假.

【详解】

在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%,所以是正确的；

在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：

56%x39.6%=22.176%>20%,互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%,所以是正确的；

在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：

13.7%x39.6%=9.52%>3%,互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；

在D中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%x39.6%=22.176%<41%,所以不能判断互联网

行业中从事技术岗位的人数90后比80后多.

故选：D.

本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算

能力，属于基础题.

10.C

【解析】

由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的左，v的值，当左=-1时，不满足条件上一0,跳出循环，输出v的

值.

【详解】

解:初始值v=10,x=2,程序运行过程如下表所示：

k=9,

v=10x2+9,左=8,

V=10X22+9X2+8,左=7,

v=10x23+9x22+8x2+7,k=6,

v=10x24+9x23+8x22+7x2+6,k=5,

v=10x25+9x24+8x23+7x22+6x2+5,k=4,

v=10x26+9x25+8x24+7x23+6x22+5x2+4,k=3,

v=10x27+9x26+8x25+7x24+6x23+5x22+4x2+3.k=2,

v=10x28+9x27+8x26+7x25+6x24+5x23+4x22+3x2+2,k=l,

v=10x29+9x28+8x27+7x26+6x25+5x24+4x23+3x22+2x2+1,k=0,

v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x26+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+0,k=-l,

跳出循环，输出v的值为

^43v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x26+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+00

2V=10X2I1+9X210+8X29+7X28+6X27+5X26+4X25+3X24+2X23+1X22+0@

①一@得

-v=-10x2n+1X210+1X29+1X28+1X27+1X26+1X25+1X24+1X23+1X22+1X2

2（l-210）

-v=-10x2n+—^-----

1-2

v=9x2n+2.

故选：C.

本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到左，v的值是解题的关键，属于基础题.

11.C

【解析】

甘+2。）化简为关于tan。的形式，结合终边所在的直线可知tan。的值，从

利用诱导公式以及二倍角公式，将sin

而可求siny+20的值.

【详解】

i.（371.2C2nsin?9—COS?etan20-1

因为sin——+28=-cos20=sm3-cos0=——-----------且tan0-2,

（2）sin2+cos2tan26,+1

所以si唁+2，］=E3

5

故选：C.

本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解

znsinZ6+“COS2。值的两种方法：（1）分别求解出sin，,cos。的值，再求出结果；（2）将msin?O+ACOS?。变形为

msin20+ncos10mtan23+n八《.，士4，，人可

-----------，利用tan9的值求出结果.

sin261+cos20tan?6+1

12.C

【解析】

求导分析函数在％Nln2时的单调性、极值，可得xNln2时，〃力满足题意，再在x<ln2时，求解〃x）We+2的

x的范围，综合可得结果.

【详解】

当xNln2时，/'(x)=-(x-l)(^-2),

令/'(x)>。，KOln2<x<1；/,(x)<0,则x>l,

；・函数/(x)在(ln2,l)单调递增，在(1,4w)单调递减.

函数/(x)在x=l处取得极大值为/(l)=e+2,

.••xNln2时，的取值范围为(TO,e+2],

ln2<m<l

又当尤<ln2时，令/(x)=3—2xWe+2,则％2宁，即T«x<ln2,

1-e7c

/.----<m<ln2

2

综上所述，机的取值范围为宁，1.

故选C.

本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

根据A,3为焦点，得c=2；又|AC|—忸C|=2a求得。，从而得到离心率.

【详解】

为焦点=>2c=4=>c=2

C在双曲线上，则

又"|=也4+叱=5=2a=2=a=l

Cc

:,e=--2

a

本题正确结果：2

本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.

14.1

【解析】

根据向量加法和减法的坐标运算，先分别求得a+b与〃,再结合向量的模长公式即可求得m的值.

【详解】

向量a=(2,—6),b=(3,m)

贝i|a+b=(5,—6+加)，a—=(-1,—6—ni)

则0=J52+(_6+0『=\/m2-12m+61

b-0=+(_6_m)-=y/m2+12m+37

因为卜+囚=,_囚

即J??—12/7/+61=Vw2+12/n+37，化简可得—12机+61=12机+37

解得m—1

故答案为：1

本题考查了向量坐标加法和减法的运算，向量模长的求法,属于基础题.

15.(-w,l]

【解析】

由题意可得导数/'(x)<0在(0,2)恒成立，解出即可.

【详解】

解：由题意，f(x)^kx-+2(k-2)x,

当左<0时，显然/'(©<0,符合题意；

当左>0时,/(%)<。在(0,2)恒成立，

r(0)<0,/(2)<0,.-.^G(0,l],

^e(-oo,l],

故答案为：(-8』].

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

lb.---

3

【解析】

根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出入的值.

【详解】

解：由题意，设6=（1,0）,e?=1），

则gq-4=（6,-1），

ei+^e2=（1,入）；

又夹角为60°,

*,•G）•（,+九色）=九=2xjl+（xCOs6。。,

即乖f_入=y/1+A2，

解得九=正.

3

本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（7）Z;（77）-y

【解析】

⑺化简得到二㈡）=Csin[二斗.）,得到周期.

⑺口白=、1皿（二+卦=：，故an（匚+m=占根据范围判断cos（二+m=-号，代入计算得到答案.

【详解】

⑺ZZ；=m（2D-J）+«i（Zl+9=m（XI-J）+CM（2O-9

=\7$：n<三I，故二=<=二.

（1/）二（三）=、二:口二—二；=，，故E「♦-1=亍，cos（二-=±~,

□e^,0]>故二-三eg当方卜境（二+会）1>1si®（二+点）I,

故二+京W（号，二）敌（二♦京）=--4~9

ya+3=Xu+削《（口暇=-亨

本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

18.（1）见解析（2）直线AB过定点（；,2）.

【解析】

（1）设出A,3两点的坐标，利用导数求得切线M4的方程，设出〃点坐标并代入切线的方程，同理将加点坐标

代入切线MB的方程，利用韦达定理求得线段A5中点N的横坐标，由此判断出尤轴.

（2）求得N点的纵坐标VN，由此求得N点坐标，求得直线的斜率，由此求得直线的方程，化简后可得直线

AB过定点（；,2）.

【详解】

（1）设切点A（X],x；）,5（/，后），y=2x,

.••切线肠1的斜率为2为，切线M4：y一%2=2%玉），

设才-2）,则有r—2—W=2%（f—石），化简得X；—2处+/—2=0,

同理可的x；—2tx2+1—2—0.

工占，%是方程d—2比+/一2=0的两根，.•・玉+%2=21,xrx2=t—2,

xN=%=%=%时，.，.MN_L1轴.

（2）*.*yN—+X；）=玉+々）—玉々~2t2—1+2,「・N，,2产—/■+2）.

12_12]

^AB=~-----"=%+%=2%，；・直线AB：y—⑵2_/+2）=2%（%_J）,即y—2=2/（%——）,

玉_%22

；•直线AB过定点（g,2）.

本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

72+1

19.（1）不是，见解析（2）d'O（3）an=—^~

【解析】

（1）利用递推关系求出数列的通项公式，进一步验证〃=1时，%+|a〃+i-。“+2|是否为数列｛为｝中的项，即可得答案;

⑵由题意得%+|%+「%+2|=%+（"—Dd+|d|，再对公差进行分类讨论，即可得答案；

(3)由题意得数列｛4｝为等差数列，设数列｛%｝的公差为々>0),再根据不等式%得到公差的值,

即可得答案；

【详解】

22

(1)当“22时，an=Sn-S“_|=4n-2n-4(”-1)+2(”-I)=-4n+6

又q=S]=2=4xl—2,所以—4〃+6.

所以+|%+i—%+21=+6+4=10—4n

当77=1时,an+\an+l-an+2\=6,而。“<2,

所以〃=1时，an+\an+1-a“+21不是数列｛4｝中的项，故数列｛«„｝不是为“T数列”

(2)因为数列T是公差为d的等差数列，

所以an+\an+l-a„+2|=4+(〃-V)d+\d\.

因为数列｛4｝为“T数列”

所以任意〃£N"存在mGN"，使得q+(〃-l)d+\d\=am,即有(m—n)d-\d\.

①若d、0,则只需M="+leN*，使得O—〃)d=|d|,从而得+|%+i-。,什2|是数列｛4｝中的项.

②若d<0,贝b〃=1.止匕时，当〃=1时，加=0不为正整数，所以d<0不符合题意.综上，d，0.

(3)由题意4<4+1，所以4+|%+「%+2|=%+%+2-4+1，

又因为％<%+%+2—%+1=%+2一(%+1一％)<%+2，且数列｛%｝为“7数列”，

所以4+4+2—an+\-4+1，即4+4+2=2a“+i,所以数列｛a“｝为等差数列•

设数列｛«„｝的公差为9>0),则有4=1+(〃-1)1,

由。“<a,3—a；<4+1，得1+("—<42+(2n-l)r]<l+nt,

整理得"(2/一/)>/—3/+1,①

"(/—2t°)>2t—/一1.②

若2—<0,取正整数N。〉2/；，

则当〃>N。时，〃(2/—，)<(2/—.)N0<t2—3,+1,

与①式对应任意〃£N*恒成立相矛盾，因此2产-，20.

同样根据②式可得1—2/>0,

所以2r—1=().又，＞0,所以％=—.

2

经检验当/=」时，①②两式对应任意“eN*恒成立，

2

所以数列｛%｝的通项公式为a“=l+g(〃—1)=等.

本题考查数列新定义题、等差数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推

理能力、运算求解能力，难度较大.

2

20.(1)A8的中点的横坐标为§；(2)证明见解析；(3)(-2,2)

【解析】

设4(尤1，%),3(尤2，%)・

y=x-1

(1)因为直线/的倾斜角为45。，尸(1,0),所以直线的方程为》=九-1,联立方程组―、，消去y并整理,

——+V=1

I2，

得3f—4x=0,则占=j

故线段AB的中点的横坐标为三.

3

(2)根据题意得点C&,-%),

若直线AB的斜率为0,则直线AB的方程为丁=0,A、C两点重合，显然B,C三点共线；

若直线AB的斜率不为0,设直线A8的方程为x=2y+l,

x=my+1

联立方程组<消去％并整理得消,+2)y2+2my-l=0,

-+/=1

12■

2m|

则%+%=---2—，%为=---o~-，设直线BM、CM的斜率分别为k、k，

m+2m~+2BMCM

则

k一k二一为％.为(玉一2)+%(%-2)—一1)+%(〃%一+2加%%一(%+%)

XX

BMCM2-22-X](%1-2)(2-2)(jny{-l)(my2-1)]_〃?(％+%)+〃/%为

-2m2m

-2--------12

/77-+2m-+2；即左BM=《M，即M,B,C三点共线.

“Imm

1+-;--------------5——

m+2m+2

(3)根据题意，得直线GH的斜率存在，设该直线的方程为丁=左(％-2),

设尸(%,％),6(鼻,％)，”(尤4，%)，

y=k(x-2)

联立方程组尤2,消去y并整理，得(l+2„-8r尤+8/-2=0,

—+y=1

〔2•

1只“2只“2_)

由/=64/-4(1+2犷)(8/一2)＞0,整理得廿＜一，又鼻+尤—型__二

2l+2k21+2/

4k

所以为+%=左(*3+*4-4)=_]+2/，

结合OG+OH=AOP，得几毛=W+七"%=%+%，

当2=0时，该直线为左轴，即y=0,

此时椭圆上任意一点P都满足OG+OH=/iQP，此时符合题意；

18二

无°="7•1.0^232左416左2

当几。0时，由OG+O〃=4OP，得:，代入椭圆c的方程，得而匈亍+而匈亍=1，整理，

/0=I'T+2p

2

2_16k_16

得~l+2k2~1,-

F+29

再结合二＜!，得到0＜万＜4,即4c(一2,0)1(0,2)