专项31相似三角形-A字型(2种类型)(原卷版+解析)

专项31相似三角形-A字型（2种类型）有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC及∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B.【类型1：平行类A字型】1．如图，DE∥BC，且EC；BD＝2；3，AD＝9，则AE的长为（）A．6 B．9 C．3 D．42．如图，在△ABC中，点D、E分别在线段AB、AC上，DE∥BC，AD：AB＝1：3，若△ADE的面积是1，则△ABC的面积是（）A．3 B．4 C．8 D．93．如图，在△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求这个正方形的边长．4．阳光明媚的一天实践课上，亮亮准备用所学知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得FG＝2米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，BF＝9米，点D、B、F、G在一条直线上，CD⊥DG，AB⊥DG，EF⊥DG，已知教学楼CD的高度为16米，请你求出假山的高度AB．5．如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，求树高CD．6．小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F．求旗杆AB的高度．7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动．设运动的时间为t秒．（1）AB＝；（2）用含t的代数式表示线段CQ的长；（3）当Q在AC上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；（4）设点O是PA的中点，当OQ与△ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．9．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD．（1）求证：MC是⊙O的切线；（2）若AB＝BM＝4，求tan∠MAC的值．10．如图①，等边三角形纸片ABC中，AB＝12，点D在BC上，CD＝4，过点D折叠该纸片，得点C'和折痕DE（点E不与点A、C重合）．（1）当点C'落在AC上时，依题意补全图②，求证：DC'∥AB；（2）设△ABC'的面积为S，S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由；（3）当B，C'，E三点共线时，EC的长为.【类型2：不平行A字型】11.如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，若∠1＝∠B，＝，△ADE的面积等于2，则△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．10 D．1212．如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE＝∠C，下列结论中，错误的是（）A． B． C． D．13.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点D在AC上且AD＝3，DE⊥AB于点E，求AE的长．14．问题提出（1）如图①．在等边△ABC中，点D是BC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F，BD＝4，CD＝2，求四边形AEDF的面积；问题解决（2）湿地公园具有湿地保护与利用、科普教育、湿地研究、生态观光、休闲娱乐等多种功能．某湿地公园有一块长BC为80米，宽AB为60米的矩形湿地，如图②所示．为使游客更方便游览，现需要建一个观光游览平台EFMD，其中点E、F、M分别在AD、AC、CD上，AE＝FE，∠DEF+∠DMF＝180°．要使观光平台容纳更多游客，想让四边形EFMD的面积尽可能的大．请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形观光平台EFMD？若存在，求四边形EFMD面积的最大值及这时AF的长度；若不存在，请说明理由．专项31相似三角形-A字型（2种类型）有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC及∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B.【类型1：平行类A字型】1．如图，DE∥BC，且EC；BD＝2；3，AD＝9，则AE的长为（）A．6 B．9 C．3 D．4【答案】A【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵EC：BD＝2：3，AD＝9，∴，解得AE＝6．故选：A．2．如图，在△ABC中，点D、E分别在线段AB、AC上，DE∥BC，AD：AB＝1：3，若△ADE的面积是1，则△ABC的面积是（）A．3 B．4 C．8 D．9【答案】D【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2，∵AD：AB＝1：3，若△ADE的面积是1，∴S△ABC＝9，故选：D．3．如图，在△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求这个正方形的边长．【解答】解：如图，设正方形的边长为x，∴MN＝ID＝PN＝x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝4，∴这个正方形的边长4cm．故答案为：4．4．阳光明媚的一天实践课上，亮亮准备用所学知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得FG＝2米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，BF＝9米，点D、B、F、G在一条直线上，CD⊥DG，AB⊥DG，EF⊥DG，已知教学楼CD的高度为16米，请你求出假山的高度AB．【解答】解：∵CD⊥DG，EF⊥DG，∴EF∥CD，∴△GEF∽△GCD，∴＝，即＝，解得BD＝9．∵CD⊥DG，AB⊥DG，∴AB∥CD，∴△FAB∽△FCD，∴＝，即＝，解得AB＝8，∴假山的高度AB为8米．5．如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，求树高CD．【解答】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四边形EFDH为矩形，∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米，∴AG＝AB﹣GB＝2.9﹣1.7＝1.2（米），∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴＝，∴＝，解得CH＝4.8，∴CD＝CH+DH＝4.8+1.7＝6.5（米）．答：树高CD为6.5米．6．小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F．求旗杆AB的高度．【解答】解：由题意知BG＝HE＝CF＝3.5米，∴DH＝DE﹣CF＝7﹣3.5＝3.5（米），∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴AG∥DH，∴△CDH∽△CAG，∴＝，即，∴AG＝14米，∴AB＝AG+GB＝14+3.5＝17.5（米），∴旗杆AB的高度为17.5米．7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．【解答】解：（1）由题意得：∠ABC＝∠DCE＝∠FEG＝90°，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2m，∵∠DEC＝∠AEB，∴△DEC∽△AEB，∴＝，∴＝，∵∠FGE＝∠AGB，∴△FGE∽△AGB，∴＝，∴＝，∴＝，∴EB＝（8+12）m，∴＝，∴AB＝8+4≈14.92m，答：旗杆AB的高度为14.92米；（2）由（1）得：△DEC∽△AEB，∴＝，∴＝，由（1）得：△FGE∽△AGB，∴＝，∴＝，∴＝，∴EB＝，∴＝，∴AB＝，答：旗杆AB的高度为m．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动．设运动的时间为t秒．（1）AB＝20；（2）用含t的代数式表示线段CQ的长；（3）当Q在AC上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；（4）设点O是PA的中点，当OQ与△ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝16，BC＝12，∴．故答案为：20；（2）①当点Q在线段CA上时，CQ＝AC﹣AQ＝16﹣2t（0≤t≤8），②当点Q在线段CA上时，CQ＝2t﹣16（8＜t≤10），综上，线段CQ的长为16﹣2t（0≤t≤8）或2t﹣16（8＜t≤10）；（3）如图1，当∠AQP＝90°时，△AQP∽△ACB，∴．由题意：BP＝2t，AQ＝2t，∴PA＝AB﹣BP＝20﹣2t，∴，∴t＝；如图2，当∠APQ＝90°时，△APQ∽△ACB，∴，由题意：BP＝2t，AQ＝2t，∴PA＝AB﹣BP＝20﹣2t，∴，解得：t＝．综上所述，t＝或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；（4）如图3，当QO⊥AB时，∵OP＝OA，OQ⊥PB，∴QP＝QA＝2t，∵点O是PA的中点，∴OP＝OA＝PA＝（20﹣2t），∵∠B＝∠B，∠QOB＝∠C＝90°，∴△BOQ∽△BCA，∴，∴，解得：，如图4，当OQ⊥AC时，∵AC⊥BC，OQ⊥AC，∴OQ∥BC，∴△AOQ∽△ABC，∴，∵点O是PA的中点，∴OP＝OA＝PA＝（20﹣2t），∴，∴，如图5，当OQ⊥BC时，∵AC⊥BC，OQ⊥BC，∴OQ∥AC，∴△BOQ∽△BAC，∴，∵BQ＝AC+BC﹣2t＝16+12﹣2t＝28﹣2t，BO＝BP+PO＝2t+（20﹣2t）＝10+t，∴，解得，综上所述，当OQ与△ABC的一边垂直时，t的值为或或．9．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD．（1）求证：MC是⊙O的切线；（2）若AB＝BM＝4，求tan∠MAC的值．【解答】（1）证明：∵AD⊥MC，∴∠D＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵AC平分∠MAD，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥DA，∴∠D＝∠OCM＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴MC是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝4，∴OC＝OB＝AB＝2，∴OM＝OB+BM＝6，在Rt△OCM中，MC＝＝＝4，∵∠M＝∠M，∠OCM＝∠D＝90°，∴△MCO∽△MDA，∴＝＝，∴＝＝，∴MD＝，AD＝，∴CD＝MD﹣MC＝，在Rt△ACD中，tan∠DAC＝＝＝，∴tan∠MAC＝tan∠DAC＝，∴tan∠MAC的值为．10．如图①，等边三角形纸片ABC中，AB＝12，点D在BC上，CD＝4，过点D折叠该纸片，得点C'和折痕DE（点E不与点A、C重合）．（1）当点C'落在AC上时，依题意补全图②，求证：DC'∥AB；（2）设△ABC'的面积为S，S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由；（3）当B，C'，E三点共线时，EC的长为.【解答】（1）证明：补全图形，如图②所示，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵过点D折叠该纸片，得点C'和折痕DE，∴∠DC′C＝∠C＝60°，∴∠DC′C＝∠A＝60°，∴DC'∥AB；（2）解：S存在最小值，如图③，过点D作DF⊥AB于F，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝12，又∵CD＝4，∴BD＝8，由折叠可知，DC′＝DC＝4，∴点C′在以D为圆心，4为半径的圆上，∴当点C′在DF上时，点C′到AB的距离最小，S△ABC最小，∵Rt△BDF中，DF＝DB•sin∠ABD＝8•sin60°＝8×＝4，∴S最小＝×12×（4﹣4）＝24﹣24；（3）解：EC＝2﹣2，理由如下：如图④，连接BC′，过点D作DG⊥C′E于点G，过点E作EH⊥BC于点H，则∠DGC′＝∠EHC＝90°，设CE＝x，由翻折得：DC′＝DC＝4，C′E＝CE＝x，∠DC′E＝∠DCE＝60°，C′G＝DC′•cos∠DC′E＝4cos60°＝2，DG＝DC′•sin∠DC′E＝4sin60°＝2，CH＝CE•cos∠DCE＝x•cos60°＝x，EH＝CE•sin∠DCE＝x•sin60°＝x，∴BH＝BC﹣CH＝12﹣x，∵B，C'，E三点共线，∴∠DBG＝∠EBH，BG＝BE﹣C′E+C′G＝BE﹣x+2，∴△BDG∽△BEH，∴＝＝，即：＝＝∴BE＝2x，∴＝，∵x＞0，∴x＝2﹣2，∴EC的长为2﹣2，故答案为：2﹣2．【类型2：不平行A字型】11.如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，若∠1＝∠B，＝，△ADE的面积等于2，则△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】B【解答】解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∵＝，∴＝，∵△ADE的面积等于2，∴△ACB的面积等于8．故选：B．12．如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE＝∠C，下列结论中，错误的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAG，∵点F是AG的中点，∴AF＝FG＝，∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△CAB，∴∠AEB＝∠B，又∵∠BAG＝∠CAG，∴△EAF∽△BAG，∴＝，∵∠ADE＝∠C，∠BAG＝∠CAG，∴△ADF∽△ACG，∴，故选：D13.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点D在AC上且AD＝3，DE⊥AB于点E，求AE的长．【解答】解：∵DE⊥AB于点E，∠C＝90°，∴∠AED＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AB＝5，AD＝3，AC＝4，∴，∴AE＝．14．问题提出（1）如图①．在等边△ABC中，点D是BC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F，BD＝4，CD＝2，求四边形AEDF的面积；问题解决（2）湿地公园具有湿地保护与利用、科普教育、湿地研究、生态观光、休闲娱乐等多种功能．某湿地公园有一块长BC为80米，宽AB为60米的矩形湿地，如图②所示．为使游客更方便游览，现需要建一个观光游览平台EFMD，其中点E、F、M分别在AD、AC、CD上，AE＝FE，∠DEF+∠DMF＝180°．要使观光平台容纳更多游客，想让四边形EFMD的面积尽可能的大．请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形观光平台EFMD？若存在，求四边形EFMD面积的最大值及这时AF的长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝6，在Rt△BED中，BE＝BD•cos60°＝4×＝2，DE＝BD•sin60°＝4×＝2，在Rt△DFC中，CF＝DC•cos60°＝2×＝1，DF＝