专题15因式分解易错题之解答题(20题)-2020-2021学年七年级数学下册同步易错题精讲精练(浙教版)(原卷版+解析)

专题15因式分解易错题之解答题（20题）Part1与提取公因式法有关的易错题1．（2020·利辛县七年级月考）因式分解；2．（2020·陕西西安市·七年级期末）长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中，将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形的面积为；将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形的面积为．（1）若a，b为正整数，请说明与的差一定是5的倍数；（2）若，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积．3．（2020·咸阳市七年级月考）阅读材料：求的值．解：设，将等式两边同时乘2，得2S=将下式减去上式，得2S-S=，即S=请你仿照此法计算下面各题（1）（2）（其中n为正整数）4．（2020·浙江金华市·七年级期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值；5．（2021·湖南株洲市·七年级期末）阅读材料：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，．尝试应用：（1）把看成一个整体，合并的结果是_________．（2）已知，求的值．拓广探索：（3）已知，求的值．6．（2019·浙江杭州市·七年级期末）（1）填空：①．②．③．（2）猜想下列各题的结果并验证下列第②个等式：①．②．7．（2018·上海市七年级期末）因式分解：8．（2019·张家港市七年级期末）甲同学分解因式x2＋ax＋m，其结果为(x＋2）(x＋4)，乙同学分解因式x2＋nx＋b，其结果为(x＋1）(x＋9)，在此情形下，请你来分解因式x2＋ax＋b．9．（2019·张家港市七年级期末）分解因式(1)－3m3＋12m(2)2x2y－8xy＋8y(3)a4＋3a2－410．（2019·安徽安庆市·七年级期末）（1）因式分解：（2）已知≠，且，，则+的值.Part2与用乘法公式分解因式有关的易错题11．（2021·上海宝山区·七年级期末）数学业余小组在活动中发现：……（1）请你在答题卡中写出（补上）上述公式中积为的一行；（2）请仔细领悟上述公式，并将分解因式：（3）请将分解因式．12．（2021·湖南邵阳市·七年级期末）请看下面的问题：把x4+4分解因式提示：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．13．（2020·浙江杭州市·七年级月考）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式；例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：_________．（2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．14．（2020·成都市七年级月考）已知．（1）求a，b的值．（2）求代数式的值．15．（2020·浙江七年级期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正五形，五块是长为，宽为的全等小长方形．且．（以上长度单位：）（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________．（2）若每块小长方块的面积为，四个正方形的面积和为．①试求图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和；②求的值．16．（2020·浙江杭州市·七年级期末）发现与探索：（1）根据小明的解答将下列各式因式分解小明的解答：①②③（2）根据小丽的思考解决下列问题：小丽的思考：代数式无论取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．①说明：代数式的最小值为．②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．17．（2020·贵州铜仁市·七年级期末）在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如，当时，，，，则密码018162或180162等．对于多项式，取，用上述方法产生密码是什么？18．（2020·浙江杭州市·七年级期末）下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2－4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2－4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．A．提取公因式B．平方差公式C．完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解．19．（2020·河北邯郸市·七年级期末）请利用因式分解说明能被100整除．20．（2020·张家界市七年级期末）先阅读材料：分解因式：．解：令，则所以．材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：（1）分解因式：_______；（2）分解因式：；专题15因式分解易错题之解答题（20题）Part1与提取公因式法有关的易错题1．（2020·利辛县七年级月考）因式分解；【答案】（a-b）（3x+2y）【提示】先把化为：再利用提公因式的方法分解因式即可．【详解】解：【名师点拨】本题考查提公因式法分解因式，注意互为相反数的两个因式之间的变形，掌握以上知识是解题的关键．2．（2020·陕西西安市·七年级期末）长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中，将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形的面积为；将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形的面积为．（1）若a，b为正整数，请说明与的差一定是5的倍数；（2）若，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积．【答案】（1）见解析（2）50【提示】（1）根据题意得到，，将-的结果化为即可得到结论；（2）根据得到，再根据将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积为，代入求值即可.【详解】解：（1），，所以，所以与的差一定是5的倍数；（2）因为，所以，所以，所以.因为将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积为（平方厘米）.【名师点拨】此题考查了多项式乘法，提公因式法分解因式，列代数式，整式的加减法计算法则，已知式子的值求整式的值，正确理解长方形的长与宽的变化，根据变化的量列整式计算是解题的关键.3．（2020·咸阳市七年级月考）阅读材料：求的值．解：设，将等式两边同时乘2，得2S=将下式减去上式，得2S-S=，即S=请你仿照此法计算下面各题（1）（2）（其中n为正整数）【答案】（1）；（2）．【提示】（1）利用例题的方法将原式进行变形进而可以得出答案；（2）仿照例题的思路进行变形即可．【详解】解：（1）设，将等式两边同时乘2，得将下式减去上式，得，即∴结果为（2）设，将等式两边同时乘3，得将下式减去上式，得，即，∴，∴结果为【名师点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，提取公因式法分解因式，正确将式子进行变形是解题的关键．4．（2020·浙江金华市·七年级期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值；【答案】(1)-84;(2)25;(3)1或-1【提示】（1）直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案；（2）直接利用完全平方公式进而求出答案；（3）直接利用（2）中所求，结合完全平方公式求出答案．【详解】(1)∵a−b=7，ab=−12，∴a2b﹣ab2=ab(a−b)=−12×7=−84；(2)∵a−b=7，ab=−12，∴=49，∴a2+b2−2ab=49，∴a2+b2=25；(3)∵a2+b2=25，∴=25+2ab=25−24=1，∴a+b=±1.【名师点拨】此题考查因式分解-提公因式法、完全平方公式，解题关键在于掌握因式分解的综合运用.5．（2021·湖南株洲市·七年级期末）阅读材料：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，．尝试应用：（1）把看成一个整体，合并的结果是_________．（2）已知，求的值．拓广探索：（3）已知，求的值．【答案】（1）；（2）-2018；（3）6【提示】（1）把看做一个整体，合并即可得到结果；（2）原式前两项提取3变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（3）原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：（1）．（2）∵，∴（3）∵，∴=a-c+2b-d-2b+c=a-d=a-2b+2b-c+c-d=（a-2b）+（2b-c）+（c-d）=2-5+9=6．【名师点拨】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2019·浙江杭州市·七年级期末）（1）填空：①．②．③．（2）猜想下列各题的结果并验证下列第②个等式：①．②．【答案】（1）①6；②18；③54；（2）①；②【提示】（1）①对每一项提取公因式3，然后进行计算即可得出答案；②对每一项提取公因式，然后进行计算即可得出答案；③对每一项提取公因式，然后进行计算即可得出答案；（2）①对每一项提取公因式，然后进行计算即可得出答案；②对每一项提取公因式，然后进行计算即可得出答案；【详解】（1）①②③（2）猜想下列各题的结果并验证下列第②个等式：①．②．【名师点拨】本题主要考查提取公因式和规律探索，掌握提取公因式法是解题的关键．7．（2018·上海市七年级期末）因式分解：【答案】【提示】先分组分解后提取公因式即可.【详解】【名师点拨】本题考查的是分解因式，能正确的进行分组是关键.8．（2019·张家港市七年级期末）甲同学分解因式x2＋ax＋m，其结果为(x＋2）(x＋4)，乙同学分解因式x2＋nx＋b，其结果为(x＋1）(x＋9)，在此情形下，请你来分解因式x2＋ax＋b．【答案】(x+3)2【提示】利用整式的乘法求出a,b的值，再进行因式分解即可.【详解】∵(x＋2）(x＋4)=x2＋6x＋8，∴a=6,∵(x＋1）(x＋9)=x2＋10x＋9∴b=9∴x2＋ax＋b=x2＋6x＋9=(x+3)2.【名师点拨】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知整式的乘法法则.9．（2019·张家港市七年级期末）分解因式(1)－3m3＋12m(2)2x2y－8xy＋8y(3)a4＋3a2－4【答案】(1)-3m（m+2）（m-2），(2)2y(x-2)2，(3)(a2+4)(a+1)(a-1)【提示】（1）提取-3m后，再根据平方差公式因式分解；（2）先提取2y，再根据完全平方公式因式分解；（3）先利用十字相乘法因式分解，再用公式法因式分解.【详解】(1)－3m3＋12m=-3m（m2-4）=-3m（m+2）（m-2）(2)2x2y－8xy＋8y=2y(x2-4x+4)=2y(x-2)2(3)a4＋3a2－4=(a2-1)(a2+4)=(a2+4)(a+1)(a-1)【名师点拨】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法.10．（2019·安徽安庆市·七年级期末）（1）因式分解：（2）已知≠，且，，则+的值.【答案】（1）或;（2）【提示】利用因式分解和平方差公式。【详解】（1）a2（b-2）+（2-b）解原式=a2（b-2）-（b-2）=（b-2）（a2-1）=（b-2）（a-1）（a+1）（2）x2-x=10①y2-y=10②，用①-②=x2-x-y2+y=0即（x2-y2）-（x-y）=0（x-y）（x+y）-（x-y）=0左边分解因式，得（x-y）（x+y-1）=0所以（x-y）=0（x+y-1）=0因为x≠y，所以x+y=1【名师点拨】掌握因式分解定义，把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。掌握平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2Part2与用乘法公式分解因式有关的易错题11．（2021·上海宝山区·七年级期末）数学业余小组在活动中发现：……（1）请你在答题卡中写出（补上）上述公式中积为的一行；（2）请仔细领悟上述公式，并将分解因式：（3）请将分解因式．【答案】（1）；（2）；（3）【提示】（1）将n=5代入公式中即可求出结论；（2）根据=，然后利用条件中公式因式分解即可；（3）将多项式乘再除以，然后根据条件中公式将分子变形，再利用平方差公式和条件公式将分子因式分解，最后约分即可．【详解】解：（1）将n=5代入中，得；（2）===；（3）=====．【名师点拨】此题考查的是因式分解，根据已知条件中公式因式分解是解题关键．12．（2021·湖南邵阳市·七年级期末）请看下面的问题：把x4+4分解因式提示：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．【答案】（1）（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）（2）（x+b）（x﹣2a﹣b）【详解】试题提示：这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目．解：（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，=（x2+2y2）2﹣4x2y2，=（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，=x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，=（x﹣a）2﹣（a+b）2，=（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），=（x+b）（x﹣2a﹣b）．考点：因式分解-运用公式法．点评：本题考查了添项法因式分解，难度比较大．13．（2020·浙江杭州市·七年级月考）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式；例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：_________．（2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．【答案】（1）（m+1）（m-5）；（2）a=2，b=-3，最小值为5；（3）a=4，b=3，最小值为20【提示】（1）仿样例对含字母的项进行配方化成完全平方式，再运用平方差公式进行分解因式；（2）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答；（3）利用配方法将多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+28转化为（a-b-1）2+（b-3）2+18，然后利用非负数的性质进一步得最小值．【详解】解：（1）m2-4m-5=（m2-4m+4）-9=（m-2）2-32=（m-2+3）（m-2-3）=（m+1）（m-5），故答案为：（m+1）（m-5）；（2）a2+b2-4a+6b+18=（a2-4a+4）+（b2+6b+9）+5=（a-2）2+（b+3）2+5，∴当a=2，b=-3时，a2+b2-4a+6b+28有最小值为5；（3）a2-2ab+2b2-2a-4b+30=a2+（-2ab-2a）+（b2+2b+1）+（b2-6b+9）+20=a2-2a（b+1）+（b+1）2+（b-3）2+20=（a-b-1）2+（b-3）2+20，当a=4，b=3时，原式取最小值20．∴当a=4，b=3时，多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+28有最小值20．【名师点拨】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．14．（2020·成都市七年级月考）已知．（1）求a，b的值．（2）求代数式的值．【答案】（1）．（2）．【提示】（1）根据非负数的性质求解即可；（2）先化简，再代入求值．【详解】解：（1），，∴，∴．（2）∵，∴．【名师点拨】本题考查了非负数的性质和整式的化简求值以及因式分解，解题关键是熟练运用整式的运算法则进行化简，代入数值后合理计算．15．（2020·浙江七年级期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正五形，五块是长为，宽为的全等小长方形．且．（以上长度单位：）（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________．（2）若每块小长方块的面积为，四个正方形的面积和为．①试求图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和；②求的值．【答案】（1）（2m+n）（m+2n）；（2）①66cm；②41【提示】（1）根据图中的面积关系，两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此可解；（2）①根据题意可得mn，2m2+2n2，从而可得从而m2+n2，进而可求得m+n，结合图形可得答案．②根据m2+n2以及mn的值，结合完全平方公式计算即可．【详解】解：（1）观察图形，发现代数式：2m2+5mn+2n2表示大长方形的面积，则2m2+5mn+2n2=（2m+n）（m+2n）；故答案为：（2m+n）（m+2n）；（2）①若每块小矩形的面积为20cm2，四个正方形的面积和为162cm2，则mn=20cm2，2m2+2n2=162cm2，∴m2+n2=81，∴（m+n）2=81+20×2=121，∴m+n=11，∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n=6（m+n）=66（cm）；②（m-n）2=m2+n2-2mn=81-2×20=41．【名师点拨】本题考查了因式分解在几何图形问题中的应用，数形结合，并熟练掌握相关计算法则，是解题的关键．16．（2020·浙江杭州市·七年级期末）发现与探索：（1）根据小明的解答将下列各式因式分解小明的解答：①②③（2）根据小丽的思考解决下列问题：小丽的思考：代数式无论取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．①说明：代数式的最小值为．②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．【答案】（1）①（a-10）（a-2）；②（a-8）（a-2）；③（a-5b）（a-b）；（2）①见解析；②28【提示】（1）仿照小明的解答过程、利用完全平方公式、平方差公式计算；（2）仿照小丽的思考过程，利用完全平方公式、平方差公式计算、偶次方的非负性解答．【详解】解：（1）①a2-12a+20=a2-12a+36-36+20=（a-6）2-42=（a-10）（a-2）；②（a-1）2-8（a-1）+7=（a-1）2-8（a-1）+16-16+7=（a-5）2-32=（a-8）（a-2）；③a2-6ab+5b2=a2-6ab+9b2-9b2+5b2=（a-3b）2-4b2=（a-5b）（a-b）；（2）①a2-12a+20=a2-12a+36-36+20=（a-6）2-16，无论a取何值（a-6）2都大于等于0，再加上-16，则代数式（a-6）2-16大于等于-16，则a2-12a+20的最小值为-16；②无论a取何值-（a+1）2都小于等于0，再加上8，则代数式-（a+1）2+8小于等于8，则-（a+1）2+8的最大值为8，-a2+12a-8．=-（a2-12a+8）=-（a2-12a+36-36+8）=-（a-6）2+36-8=-（a-6）2+28无论a取何值-（a-6）2都小于等于0，再加上28，则代数式-（a-6）2+28小于等于28，则-a2+12a-8的最大值为28．【名师点拨】本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．17．（2020·贵州铜仁市·七年级期末）在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如，当时，，，，则密码018162或180162等．对于多项式，取，用上述方法产生密码是什么？【答案】101030或103010或301010．【提示】根据密码产生原则：先对多项式进行因式分解，后代入求值，最后适当排序组合生成密码．【详解】解：∵，∴，∴密码为101030或103010或301010．【名师点拨】本题考查了多项式的因式分解，熟练运用提取公因式法，公式法分解因式是解题的关键．