专题02二次根式的乘除(原卷版+解析)

专题02二次根式的乘除法目录TOC\o"1-1"\h\u12556必备知识点 130951考点一二次根式的性质与化简 223008考点二最简二次根式 330951考点一二次根式的乘除法 523008考点二分母有理化5知识导航知识导航必备知识点1．二次根式的性质和化简（1）二次根式的基本性质：

①≥0；a≥0（双重非负性）．

②（）2=a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．

③（算术平方根的意义）

（2）二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．（a≥0，b≥0）（a≥0，b>0）

（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．2．最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．3.二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：=·（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：·=（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b>0）（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b>0）4.分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．

一个二次根式的有理化因式不止一个．

例如：的有理化因式可以是，也可以是，这里的a可以是任意有理数．考点一二次根式的性质与化简1．下列计算正确的是（）A． B． C． D．2．当x＞2时，＝（）A．2﹣x B．x﹣2 C．2+x D．±（x﹣2）3．化简的结果为（）A．5 B．10 C．5 D．54．若＝3﹣a，则实数a的取值范围是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥35．下列计算正确的是（）A． B． C． D．6．下列计算正确的是（）A． B． C． D．7．已知实数﹣1＜a＜，化简|a+1|+＝．8．化简+（）2＝．9．实数a、b在数轴上的位置如图中的A、B两点．（1）A点与表示﹣1点的距离是；（2）化简．考点二最简二次根式10．下列根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．11．下列根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．12．下列二次根式中，最简二次根式有（）个．；；；；．A．1 B．2 C．3 D．413．下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．14．我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如2+1是型无理数，则（﹣）2属于无理数的类型为（）A．型 B．型 C．型 D．型15．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．16．若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是．17．计算：（1）＝；（2）＝；（3）＝．18．将下列二次根式化成最简二次根式，然后找出其中被开方式相同的二次根式：，，，，19．把（a﹣b）化成最简二次根式．20．已知和是相等的最简二次根式．（1）求a，b的值；（2）求的值．考点三二次根式的乘除法21．计算（）2的结果是（）A．5﹣2a B．﹣1 C．﹣1﹣2a D．122．下列各式中正确的是（）A． B． C． D．23．计算：．24．计算：（1）a3•a+（﹣a2）3÷a2．（2）．25．对于二次根式的性质＝中，关于a、b的取值正确的说法是（）A．a≥0，b≥0 B．a≥0，b＞0 C．a≤0，b≤0 D．a≤0，b＜0考点四分母有理化26．以下选项中，与的积为有理数的是（）A． B．3 C．2 D．27．（1）计算：2x（x﹣3y）+（5xy2﹣2x2y）÷y．（2）计算：（）﹣2+20220﹣÷．专题02二次根式的乘除法目录TOC\o"1-1"\h\u12556必备知识点 130951考点一二次根式的性质与化简 323008考点二最简二次根式 630951考点一二次根式的乘除法 1123008考点二分母有理化13知识导航知识导航必备知识点1．二次根式的性质和化简（1）二次根式的基本性质：

①≥0；a≥0（双重非负性）．

②（）2=a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．

③（算术平方根的意义）

（2）二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．（a≥0，b≥0）（a≥0，b>0）

（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．2．最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．3.二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：=·（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：·=（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b>0）（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b>0）4.分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．

一个二次根式的有理化因式不止一个．

例如：的有理化因式可以是，也可以是，这里的a可以是任意有理数．考点一二次根式的性质与化简1．下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的性质以及立方根的性质即可求出答案．【解答】解：A、原式＝16，故A符合题意．B、与不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意．C、原式＝﹣1，故C不符合题意．D、原式＝，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查二次根式的性质与化简以及立方根，解题的关键是正确运用二次根式与立方根的性质，本题属于基础题型．2．当x＞2时，＝（）A．2﹣x B．x﹣2 C．2+x D．±（x﹣2）【分析】根据＝|a|的进行计算即可．【解答】解：∵x＞2，∴＝|2﹣x|＝x﹣2，故选：B．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握＝|a|是解题的关键．3．化简的结果为（）A．5 B．10 C．5 D．5【分析】根据积的算术平方根的性质进行解答即可．【解答】解：＝5，故选：D．【点评】本题考查的是二次根式的性质和化简，利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来是解题的关键．4．若＝3﹣a，则实数a的取值范围是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3【分析】根据二次根式的性质得出a﹣3≤0，求出即可．【解答】解：∵＝3﹣a，∴a﹣3≤0，解得：a≤3．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≤0时，＝﹣a，当a≥0时，＝a．5．下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用算术平方根及立方根定义计算各项，即可做出判断．【解答】解：A、原式没有意义，错误；B、原式没有意义，错误；C、原式＝|﹣4|＝4，错误；D、原式＝﹣4，正确，故选：D．【点评】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．6．下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用算术平方根的定义对A进行判断；利用二次根式的性质对B进行判断；利用平方根的定义对C进行判断；利用二次根式的定义对D进行判断．【解答】解：A．＝2，所以A选项不符合题意；B．＝|﹣9|＝9，所以B选项符合题意；C．±＝±6，所以C选项不符合题意；D．没有意义，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活运用二次根式的性质是解决问题的关键．7．已知实数﹣1＜a＜，化简|a+1|+＝3．【分析】根据绝对值的意义及二次根式的性质进行化简．【解答】解：∵﹣1＜a＜，∴a+1＞0，a﹣2＜0，∴原式＝a+1+2﹣a＝3，故答案为：3．【点评】本题考查绝对值及二次根式的化简，理解绝对值的意义及二次根式的性质＝|a|是解题关键．8．化简+（）2＝3x﹣10．【分析】先根据有意义，得到x，再根据+＝+2x﹣7求解即可．【解答】解：∵有意义，∴2x﹣7≥0，∴，∴＝＝x﹣3+2x﹣7＝3x﹣10，故答案为：3x﹣10．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9．实数a、b在数轴上的位置如图中的A、B两点．（1）A点与表示﹣1点的距离是a+1；（2）化简．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式可得答案；（2）根据数轴可知b﹣1＞0，b﹣2＜0，然后根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：（1）根据数轴可知：A点与表示﹣1点的距离是a+1，故答案为：a+1；（2）原式＝b﹣1+＝b﹣1+2﹣b＝1．【点评】此题考查的是二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的性质是解决此题关键．考点二最简二次根式10．下列根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【分析】A：被开方数含分母；B：被开方数中含能开得尽方的因数或因式；C：符合最简二次根式的两个条件；D：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式【解答】解：A：原式＝，∴不符合题意；B：原式＝2，∴不符合题意；C：原式＝，∴符合题意；D：原式＝|x|，∴不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式是解题关键．11．下列根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义知道最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．【解答】解：A，B选项，被开方数中含有分母，故A，B选项不符合题意；C选项，＝2，故C选项不符合题意；D选项，是最简二次根式，故D选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．12．下列二次根式中，最简二次根式有（）个．；；；；．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：最简二次根式有，，，共3个，故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开得尽方的因数和因式．13．下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、＝2的被开方数中含有能开得尽的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、＝2的被开方数中含有能开得尽的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是最简二次根式的定义，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．14．我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如2+1是型无理数，则（﹣）2属于无理数的类型为（）A．型 B．型 C．型 D．型【分析】先根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再根据无理数的定义判断即可．【解答】解：（﹣）2＝6﹣2××+2＝﹣4+8，属于型无理数，故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式，二次根式的性质和无理数，能根据二次根式的性质进行计算是解此题的关键．15．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．＝3，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C．是最简二次根式，故本选项符合题意；D．的被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．16．若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是﹣2．【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．【解答】解：∵二次根式是最简二次根式，∴2x+7≥0，∴2x≥﹣7，∴x≥﹣3.5，∵x取整数值，当x＝﹣3时，二次根式为＝1，不是最简二次根式，不合题意；当x＝﹣2时，二次根式为，是最简二次根式，符合题意；∴若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解答此题的关键．17．计算：（1）＝3；（2）＝；（3）＝0.5．【分析】根据二次根式的性质化成最简二次根式即可．【解答】解：（1）＝＝3；（2）＝；（3）＝0.5；故答案为：（1）3；（2）；（3）0.5．【点评】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．18．将下列二次根式化成最简二次根式，然后找出其中被开方式相同的二次根式：，，，，【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可．【解答】解：＝2，＝3，＝2，＝，＝，∴、、是被开方式相同的二次根式，、是被开方式相同的二次根式．【点评】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．19．把（a﹣b）化成最简二次根式．【分析】直接利用二次根式的性质结合问题得出a﹣b的符号，进而化简即可．【解答】解：（a﹣b）＝﹣＝﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确判断得出a﹣b的符号是解题关键．20．已知和是相等的最简二次根式．（1）求a，b的值；（2）求的值．【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值；（2）根据算术平方根的概念解答即可．【解答】解：（1）∵和是相等的最简二次根式，∴．解得，，∴a的值是0，b的值是2；（2）＝＝2．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念、同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．考点三二次根式的乘除法21．计算（）2的结果是（）A．5﹣2a B．﹣1 C．﹣1﹣2a D．1【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的取值范围，进而化简二次根式得出答案．【解答】解：∵有意义，∴2﹣a≥0，解得：a≤2，则a﹣3＜0，原式＝2﹣a+3﹣a＝5﹣2a．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，正确得出a的取值范围是解题关键．22．下列各式中正确的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A.＝2，故此选项不合题意；B.＝2，故此选项不合题意；C．（）2＝2，故此选项符合题意；D．（﹣）2＝2，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．23．计算：．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．24．计算：（1）a3•a+（﹣a2）3