专题11平行线中翻折求角度问题高分突破

专题11平行线中翻折求角度问题高分突破真题再现真题再现1．（2022春•大渡口区期末）如图，长方形纸片ABCD中，AB，DC边上分别有点E，F，将长方形纸片ABCD沿EF翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若∠GEB＝28°，则∠DFE的度数是（）A．75° B．76° C．77° D．78°【答案】B【解答】解：延长AB，FH交于点P，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠P＝∠PFC，由题意得：GE∥FH，∴∠GEB＝∠P，∴∠GEB＝∠PFC＝28°，∴∠DFH＝180°﹣∠PFC＝152°，由折叠得：∠DFE＝∠EFH＝∠DFH＝76°，故选：B．2．（2022春•潍坊期中）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边AD∥BC，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（）A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝90° C．∠1﹣∠2＝30° D．2∠1﹣3∠2＝30°【答案】B【解答】解：如图所示：∵AD∥BC，∴∠DAE＝2∠2，即180°﹣2∠1＝2∠2，∴∠1+∠2＝90°，故选：B．3．（2021春•工业园区校级月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM＝∠EFM，则∠AEN的度数为（）A．45° B．36° C．72° D．18°【答案】B【解答】解：设∠MFB＝x°，则∠MFE＝∠CFE＝2x°，∵x+2x+2x＝180，∴x＝36，∴∠MFE＝72°＝∠CFE，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE＝72°，又∵NE∥MF，∴∠AEN＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故选：B．4．（2020春•长岭县期末）如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数是（）A．80° B．100° C．90° D．95°【答案】D【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°，∵△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠BMN＝∠BMF＝×100°＝50°，∠BNM＝∠BNF＝×70°＝35°，在△BMN中，∠B＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝180°﹣（50°+35°）＝180°﹣85°＝95°；故选：D．5．（2016秋•新区期中）如图，四边形ABCD，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，E为AD中点，将点D绕着CE翻折到点D’处，连接BE，记∠AED’＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为（）A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°【答案】B【解答】解：∵E为AD中点，∴AE＝ED，在△BAE和△CDE中∵，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE＝∠ECD，∵将点D绕着CE翻折到点D′处，∴∠ECD＝∠D′CE，∠D′EC＝∠DEC，∵∠AED′＝α，∠ABE＝β，∴∠ECD＝β，∴∠DEC＝∠D′EC＝90°﹣β，∴∠DED′＝180°﹣2β，∵∠AED′＝180°﹣（180°﹣2β）＝α，∴α＝2β．故选：B．6．（2022春•武隆区校级期中）如图所示，△ABC中∠C＝80°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A'BD，此时A'D∥BC，则∠ABC＝度．【答案】75【解答】解：∵A'D∥BC∴∠CBA′＝∠A′．∵△ABD沿BD翻折得△A'BD，∴∠A＝∠A′，∠ABD＝∠A′BD．∵∠A＝∠ABD，∴∠CBA′＝∠A′BD＝∠ABD＝∠A．∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+3∠A＝100°．∴∠A＝25°．∴∠ABC＝75°．故答案为：75．7．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点H处，若∠1＝32°，则∠2＝．【答案】106°【解答】解：由翻折的性质可知：∠DEF＝∠GEF，∵∠1＝32°，∴∠DEF＝∠GEF＝74°，∴∠AEF＝∠1+∠GEF＝32°+74°＝106°，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠2＝106°，故答案为：106°．8．（2022秋•新会区校级期末）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝度．【答案】155【解答】解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，∴∠A′EF＝∠AEF．∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，∴∠A′ED＝∠A″ED．∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，∴∠A′ED＝105°+∠DEF．∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．∴∠DEF＝25°．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝25°．∴∠CFE＝180°﹣∠EFB＝180°﹣25°＝155°．故答案为：155．9．（2022春•浦北县期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在平面内的A'处，若∠B＝40°，则∠BDA'的大小是．【答案】100°【解答】解：DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝40°．△ADE沿DE翻折，使得点A落在平面内的A′处，∴∠A′DE＝∠ADE＝40°．由角的和差，得∠BDA′＝180°﹣∠A′DE﹣∠ADE＝180°﹣40°﹣40°＝100°．故答案为：100°．10．（2022春•荣县校级期中）如图，将长方形纸片ABCD进行翻折，图中EF为折痕．如果∠1＝25°，∠2的度数为．【答案】65°【解答】解：如图：延长MH交BC于点G，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∠B＝90°，由折叠得：∠B＝∠FHM＝90°，∵∠FHM是△FHG的一个外角，∴∠HGF＝∠FHM﹣∠1＝65°，∵AD∥BC，∴∠2＝∠HGF＝65°，故答案为：65°．11．（2022•南京模拟）如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将ABD沿看BD翻折，使点A落在点A'处，且A′D∥BC，A′B交AC于点E（如图2），又将△BCE沿着A′B翻折，使点C落在点C′处，若点C′恰好落在BD上（如图3），且∠C′EB＝75°，则∠C＝°【答案】80【解答】解：∵A′D∥BC，∴∠A′＝∠CBE，由折叠可得：∠A＝∠A'，∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，∠BC'E＝∠C，∴∠A＝∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，∵∠BC'E+∠C'EB+∠DBE＝180°，∠C'EB＝75°，∴∠BC'E+∠DBE＝105°，∴∠C+∠DBE＝105°，∵∠A+∠C+∠ACB＝180°，∴∠C+4∠DBE＝180°，∴∠C＝80°，故答案为：80°．12．（2022春•逊克县期末）如图，将CD翻折至CB位置，已知AB∥CD，∠CBE＝80°，则∠1的度数是．【答案】50°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BCD＝180°﹣∠CBE＝100°，∵将CD翻折至CB位置，∴∠1＝∠BCD＝×100°＝50°，故答案为：50°．13．（2022•市南区校级一模）如图，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝α，按图进行翻折，使MD∥NG∥BC，ME∥FG，则∠NFE的度数是．【答案】2α﹣180°【解答】解：∵MD∥NG∥BC，∴∠M＝∠MEF，∠N＝∠NFE，∵ME∥FG，∴∠MEF＝∠GFC，由翻折可知，∠ABC＝∠M，∠GFC＝∠NFG，∠N＝∠C，∵∠NFE+∠GFC+∠NFG＝180°，∠ABC+∠ACB＝α，∴∠NFE＝2α﹣180°．故答案为：2α﹣180°．14．（2022春•海州区期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数为°．【答案】95【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，∴∠BMF＝∠A＝100°，∠FNB＝∠C＝70°，∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°，故答案为：95．15．（2021春•奉化区校级期末）如图，长方形ABCD中，AD＞AB．E，F分别是AD，BC上不在中点的任意两点，连接EF，将长方形ABCD沿EF翻折，当不重叠（阴影）部分均为长方形时，所有满足条件的∠BFE的度数为度．【答案】135或45【解答】解：有两种情形：如图1中，满足条件的∠BFE＝135°如图2中，满足条件的∠BFE＝45°，综上所述，满足条件的∠BFE的值为135°或45°．故答案为135°或45°．16．（2018•东西湖区模拟）如图，矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点．G为AD上一点，将△ABG沿BG翻折，使A点的对应点恰好落在EF上，则∠ABG＝．【答案】30°【解答】解：如图，连接AN，由折叠可得，EF垂直平分AB，∴NA＝NB，由折叠可得，AB＝NB，∠ABG＝∠NBG，∴AB＝BN＝AN，∴△ABN是等边三角形，∴∠ABN＝60°，∴∠ABG＝∠ABN＝30°，故答案为：30°．（2017秋•湖州期中）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE＝a，则①DC′平分∠BDE；②BC长为（+1）a；③△BC′D是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长．则上述命题中正确的是（填序号）【答案】③④【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠C＝45°，∵Rt△ABD折叠得到Rt△EBD，∴∠DBE＝∠ABC＝22.5°，DE＝AD＝a，∠DEB＝90°，∴△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，DC＝a，∵Rt△DC′E由Rt△DCE折叠得到，∴∠C′DE＝∠CDE＝45°，∠DC′E＝45°，∴∠BDC′＝∠DC′E﹣∠DBE＝22.5°，∴DC′不平分∠BDE，所以①错误；∵AC＝AD+DC＝a+a，∴BC＝AC＝（a+a）＝（+2）a，所以②错误；∵∠DBC＝∠BDC′＝22.5°，∴△BC′D是等腰三角形，所以③正确；∵△CED的周长＝DE+EC+DC＝a+a+a＝（+2）a，∴△CED的周长等于BC的长，所以④正确．故答案为③④．18．（2021春•达州期末）如图，长方形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE＝65°，则∠AEB＝．【答案】50°【解答】解：∵AD∥BC，∠BFE＝65°，∴∠BFE＝∠FED＝65°．由翻折的性质可知：∠BEF＝∠DEF＝65°．∴∠AEB＝180°﹣65°﹣65°＝50°．故答案为：50°．20．（2021秋•临海市期末）如图1，将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着MP翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q处．（1）若∠BMN＝70°，求∠AME的度数．（2）若∠PMQ＝α，试用含α的式子表示∠AMQ，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置，∴∠EMN＝∠BMN＝70°，∴∠AME＝180°﹣（∠EMN+∠BMN）＝180°﹣（70°+70°）＝40°；（2）∠AMQ＝180°﹣4α．理由如下：如图2，∵将△PMN沿着PM翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q处，∴∠PMN＝∠PMQ＝α，∴∠BMN＝∠NMQ＝2α，∴∠AMQ＝180°﹣（∠BMN+∠NMQ）＝180°﹣（2α+2α）＝180°﹣4α．21．（2021春•高新区校级期中）已知，直线PQ∥MN，点C是直线PQ和MN之间的一点．（1）如图1，点D，E分别在PQ，MN上，∠1和∠2为锐角，求证：∠C＝∠1+∠2；（2）把一块三角板ABC（其中∠A＝30°，∠C＝90°）按图2放置，点D，E分别是三角板的两直角边分别与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDQ的度数；（3）如图3，将（2）中的三角板进行适当的转动，把射线EM沿直线AC翻折，交BC于点G，试判断∠BDQ和∠GEN有何数量关系？写出你的结论并说明理由．【解答】解：（1）∠DCE＝∠1+∠2．理由：如图，过C作CH∥PQ，∵PQ∥MN，∴PQ∥CH∥MN，∴∠1＝∠DCH，∠2＝∠ECH，∴∠DCE＝∠DCH+∠ECH＝∠1+∠2；（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDQ＝∠PDC＝60°；（3）∠GEN＝2∠BDQ，理由如下：设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，∴∠BDQ＝90°﹣x，∴＝＝2．即∠GEN＝2∠BDQ．22．（2021春•溧阳市期中）折叠（折）问题是几何变换问题中的常见问题，它体现了平面几何图形变换中基本数量关系和几何关系，是考查几何知识的常见类型．（1）操作与探究：如图1，我们将一张上下平行的纸片，沿MN折叠得到如图所示图形．①如图2，若∠1＝90°，则∠2＝45°．②如图3，请你探案∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由；（2）拓展与延伸：若以点M为公共点，分别沿MN、MP翻折该纸片，翻折后如图4所示，当∠1＝90°时，请直接写出∠2与∠3的数量关系．【解答】解：（1）①如图2，∵∠1＝90°，∴∠2+∠3＝90°，由折叠得：∠2＝∠3，∴∠2＝∠3＝45°，故答案为：45°；②∠2＝2∠1，理由如下：如图3：延长FN交ME于H，由折叠得：∠1＝∠GMN，∵MG∥FN，ND∥ME，∴∠GMN＝∠MNH，∠2＝∠NHE，∴∠1＝∠MNH，∴∠2＝∠NHE＝∠1+∠MNH＝2∠1；（2）∠2+∠3＝90°，理由如下：如图4，延长AP交CM于C，延长BN交CM于D，∵