6.5垂直七年级数学上册讲义（苏科版）（原卷版）

垂直知识点一、垂线的概念及表示1. 垂线：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.（垂线是直线，不是线段）2. 垂足：互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.3. 表示方法：如图所示，两条直线互相垂直，记作a⊥b或AB⊥CD，O是垂足.4. 两条直线互相垂直时，常在垂足处写一个直角标志“┑”.5. 线段与线段、线段与射线、射线与射线垂直，指的都是它们所在的直线互相垂直.例：已知OC⊥OA，OD⊥OB，若∠AOB＝30°，则∠COD等于（）A．60° B．30°或150° C．120° D．90°【解答】B【解析】如图1：∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOC＝∠BOD＝90°，∵∠AOB＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠COD＝150°；如图2：∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOC＝∠BOD＝90°，∵∠AOB＝30°，∴∠DOC＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°；如图3：∴∠BOC＝60°，∴∠COD＝30°，故选B．知识点二、垂线的画法如图所示，过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线.知识点三、垂线的结论1. 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2. 垂线段及其性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短.3. 点到直线的距离 如图所示，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，上图中，线段AB的长度就是点A到直线l的距离.4. 已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条.5. 连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的.6. 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，并不是垂线段.例：如图，下列线段的长度指的是点A到直线CD的距离的是（）A．AC B．CD C．AD D．BD【解答】C【解析】∵AD与CD垂直于点D，∴线段AD是点A到直线CD的距离，故选C．巩固练习一．选择题（共8小题）1．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点A到CD的距离是线段（）的长度．A．CD B．AD C．BD D．BC2．点P为直线l外一点，点A为直线l上一点，PA＝4cm，设点P到直线l的距离是dcm，则（）A．d＞4 B．d≥4 C．d＜4 D．d≤43．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有A、B、C、D四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在（）A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处4．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠BOD＝25°，则∠AOC的大小为（）A．65° B．105° C．120° D．115°5．如图，直线AB与CD交于点O，过点O作EO⊥CD，∠AOE＝50°，则∠BOC的度数是（）A．140° B．135° C．130° D．120°6．如图，直线AB，CD相交于点E，EF⊥AB于点E，若∠FEC﹣∠AEC＝20°，那么∠AED的度数为（）A．125° B．135° C．140° D．145°7．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥AB，OG平分∠EOF，若∠BOC＝48°，则∠AOG等于（）A．10° B．12° C．14° D．16°8．如图，将一副三角尺的直角顶点重合放置于点A处，下列结论：①∠BAE＞∠DAC；②∠BAD＝∠EAC；③AD⊥BC；④∠BAE+∠DAC＝180°；⑤∠E+∠D＝∠B+∠C．其中结论正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二．填空题（共8小题）9．如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE＝4cm，CD＝3cm，CF＝6cm．则点C到AB的距离是cm．10．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝40°6'，则∠AOC的度数为．11．人去河边打水总是垂直于河边方向走的数学原理是．12．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COE＝54°，则∠BOD的度数是．13．已知∠A和∠B的两边互相垂直，且∠A比∠B的两倍少60°，则∠B的度数为．14．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则A到BC距离是．若A地在C地的正东方向，则B地在C地的方向．15．在直线MN上取一点P，过点P作射线PA、PB，若PA⊥PB，当∠MPA＝55°时，则∠NPB度数是．16．已知：直线AB与直线CD交于点O，∠BOC＝45°，（1）如图，若EO⊥AB，则∠DOE＝．（2）如图，若EO平分∠AOC，则∠DOE＝．三．解答题（共10小题）17．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥EF，OG平分∠BOF，∠AOC＝20°．求∠DOG的度数．18．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．（1）若∠BOC＝2∠AOC，求∠BOD的度数．（2）若∠1＝∠2，请判断ON与CD垂直吗？如果垂直，请说明理由．19．如图，已知OB，OC，OD是∠AOE内三条射线，OB平分∠AOE，OD平分∠COE．（1）若∠AOB＝70°，∠DOE＝20°，求∠BOC的度数．（2）若∠AOE＝136°，AO⊥CO，求∠BOD的度数．（3）若∠DOE＝20°，∠AOE+∠BOD＝220°，求∠BOD的度数．20．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，OM平分∠BOE，∠AOC＝50°．（1）求∠DOM的度数；（2）在∠AOM的内部画射线ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分线吗？请说明理由．21．如图，直线AB和CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，OF平分∠BOD，若∠EOF＝107°，求∠COE的度数．22．如图，∠AOC＝140°，OD平分∠AOC，OB⊥OA，垂足为O．求∠DOB的度数．（按要求填空）解：∵OD平分∠AOC（已知），∴∠AOD＝∠DOC（）．∵∠AOC＝140°（），∴∠AOD＝°（等量代换）．又∵OB⊥OA（已知），∴∠AOB＝90°（）．∴∠DOB＝∠AOB﹣＝°．23．如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．（1）若∠BOE：∠EOC＝1：4，求∠AOC的度数；（2）在（1）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．24．已知，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，∠EOC：∠BOD＝7：11．（1）如图1，求∠DOE的度数；（2）如图2，过点O画出直线CD的垂线MN，请直接写出图中所有度数为125°的角．25．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥CD．（1）如图1，将射线OB沿着直线CD翻折得到射线OF，即∠BOD＝∠FOD．求证：OE平分∠AOF；（2）如图2，在（1）的条件下，过点O作OG⊥AB，当∠FOG：∠AOE＝2：3时，求∠COG的度数．26．直线A