清单01数列的通项与求和（考点清单知识导图13个考点清单题型解读）（原卷版）

清单01数列的通项与求和（13个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】求数列通项的方法归纳法由数列的前几项求数列的通项公式①各项的符号特征，通过或来调节正负项．②考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．③相邻项(或其绝对值)的变化特征．④拆项、添项后的特征．⑤通过通分等方法变化后，观察是否有规律．（2）累加法累加法适用于an＋1－an＝f(n)或an－an1＝f(n)型，其解题恒等式为an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解（3）累乘法累乘法适用于或型，通常利用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1，求出通项an.（4）已知Sn=f(n)求an已知求通项，步骤可分为三步：（1）当时；（2）当时，；（3）检验能否合写，即和两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式．（5）已知Sn与an的关系求an根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.（6）用“待定系数法”构造等比数列形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.（7）倒数法形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.【清单02】求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．②等比数列的前n项和公式Sn＝推导方法：乘公比，错位相减法．(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.2．常见的裂项公式（1）等差型=1\*GB3①特别注意②如：（尤其要注意不能丢前边的）（2）无理型=1\*GB3①如：（3）指数型①如：难点正本疑点清源1．解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．2．等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．【考点题型一】归纳法根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.【例1】（2324高二下·吉林长春·期中）数列，3，，9的一个通项公式是（

）A． B．C． D．【变式11】（2324高二下·辽宁大连·月考）数列的通项公式为（

）A． B．C． D．【变式12】（2324高二下·北京·期中）数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（

）A． B． C． D．【考点题型二】累加法【例2】（2425高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（

）A． B． C． D．【变式21】（2324高二下·陕西渭南·期中）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，…，则第n层小球的个数为.【变式22】（2324高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列满足，，.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式.【考点题型三】累乘法【例3】（2324高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：且，则数列的通项公式为．【变式31】（2324高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．【变式32】（2324高二下·吉林·开学考试）在数列中，，则.【变式33】（2324高二下·江西萍乡·期中）已知数列的前项和为，且满足．(1)求的值；(2)试猜想的通项公式，并证明．【考点题型四】已知Sn=f(n)求an【例4】（2324高二下·北京·期中）已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为．【变式41】（2425高二上·上海·课后作业）已知数列的前n项和为，且，则数列通项公式．【变式42】（2324高二下·西藏拉萨·期末）已知数列的前项和为，满足，则【变式43】数列满足，则．【考点题型五】已知Sn与an的关系求an【例5】（2425高二上·全国·课后作业）记数列an的前项和为，对任意正整数，有，且.(1)求和的值，并猜想an的通项公式；(2)证明第（1）问猜想的通项公式；【变式51】（2324高二下·江苏南京·开学考试）设是数列的前项和，且.若对满足，数列的前项和为．【变式52】（2324高二下·海南海口·期中）已知数列an的前项和为且满足，则数列an的通项公式为．【变式53】（2223高二上·陕西榆林·阶段练习）为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【考点题型六】待定系数构造法【例6】（2324高二上·广东深圳·期末）已知数an满足，则数列an的通项公式．【变式61】（2324高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列an的递推公式为且，则数列an的前n项和=【变式62】（2324高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为.【变式63】（2324高二下·四川南充·期中）已知数列an的首项为，且满足，则．【考点题型七】倒数构造法【例7】（2324高二下·河南·期中）数列中，若，，则．【变式71】在数列中，已知，，则的通项公式为．【变式72】已知数列满足，，则的前n项和为.【考点题型八】公式法求数列的和【例8】（2425高二上·全国·课后作业）在等比数列中，对任意，均有，求．【变式81】（2324高二下·广东·期中）已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（

）A．910 B．900 C．890 D．880【变式82】（2425高二上·全国·单元测试）在数列中，前项和.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)当时，求.【考点题型九】分组求和【例9】（2324高二下·山西大同·期中）已知是等差数列，是等比数列，且.(1)求数列与的通项公式；(2)求数列的前项和.【变式91】（2324高二下·海南·期中）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（

）A． B．C． D．【变式92】（2324高二下·河南南阳·期中）已知等比数列是各项均为正数的递增数列，成等差数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【考点题型十】裂项相消求和【例10】已知数列的前项和满足，且．(1)求数列的前项和；(2)求数列的通项公式；(3)记，为前项和，求．【变式101】（2324高二下·贵州安顺·期末）若数列是等差数列，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前99项和.【变式102】（2024·福建龙岩·三模）若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)设，记数列的前项和为，证明:.【变式103】（2425高三上·广东·开学考试）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且．(1)求的通项公式；(2)设，记的前项和为，求证：．【考点题型十一】倒序相加求和如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．【例11】（2425高二上·全国·课后作业）已知某数列的通项，则（

）A．48 B．49 C．50 D．51【变式111】（2324高二上·山东菏泽·阶段练习）已知，数列的前项和为，则（

）A．8096 B．8094 C．4048 D．4047【变式112】（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前2024项和.【考点题型十二】错位相减求和【例12】（2324高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中．(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；(2)求数列的前项和【变式121】（2324高二下·海南·期中）设数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【变式122】（2324高二下·安徽池州·期中）在等差数列中，且，，构成公比不为1的等比数列(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前n项和．【考点