第1节　圆周运动 教学设计

第六章圆周运动第1节圆周运动[学习目标]1．理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算．2．知道线速度、角速度、周期之间的关系．3．理解匀速圆周运动的概念和特点．知识点1线速度1．定义：物体做圆周运动通过的弧长与所用时间的比值．2．定义式：v＝eq\f(Δs,Δt)．3．标矢性：线速度是矢量，其方向和半径垂直，和圆弧相切．4．物理意义：描述质点沿圆周运动快慢的物理量．5．匀速圆周运动(1)定义：线速度的大小处处相等的圆周运动．(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以匀速圆周运动是一种变速运动．知识点2角速度1．定义：物体与圆心的连线扫过的角度与所用时间的比值．2．定义式：ω＝eq\f(Δθ,Δt)．3．单位：弧度每秒，符号是rad/s或rad·s－1，在运算中，角速度的单位可以写为s－1．4．物理意义：描述质点沿圆周转动快慢的物理量．[判一判]1．(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同．()(2)做匀速圆周运动的物体，其所受合外力不为零．()(3)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变．()(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度大小不变．()提示：(1)×(2)√(3)×(4)√[想一想]1．日常生活中，时钟指针的尖端、摩天轮上的座舱、电风扇工作时叶片上的点都在做圆周运动，它们的运动有何共同点？有什么不同之处？提示：它们的运动都是圆周运动，共同点是运动轨迹都是圆周．不同点是转动的快慢不一样．知识点3周期1．周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，用T表示，国际单位制单位为秒(s)．2．转速：单位时间内物体转过的圈数，常用n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)．知识点4线速度与角速度的关系1．两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积．2．关系式：v＝ωr．[判一判]2．(1)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小．()(2)匀速圆周运动的角速度越小，则线速度越大．()提示：(1)√(2)×[想一想]2．闹钟与手表为什么会有快慢之争？提出你的看法，和同学进行讨论．提示：显然，闹钟和手表是从不同角度看圆周运动的：闹钟指的是秒针针尖的线速度；手表则指的是描述秒针运动的另一个物理量，这个物理量就是角速度．1．(对匀速圆周运动的理解)质点做匀速圆周运动，在任意相等的时间内，下列物理量可能不同的是()A．通过的弧长 B．通过的位移大小C．转过的角度 D．速度的变化解析：选D.质点做匀速圆周运动时，因线速度的大小不变，故在任意相等的时间内通过的圆弧长度相同，A错误；位移是矢量，所以在任意相等的时间内通过的位移方向不一定相同，但是位移大小相等，B错误；质点做匀速圆周运动时，角速度是不变的，所以在任意相等的时间内转过的角度是相同的，C错误；速度的变化是矢量，任意相等的时间内的速度变化方向不一定相同，D正确．2．(对匀速圆周运动性质的理解)关于物体做匀速圆周运动的速度，下列说法中正确的是()A．速度的大小和方向都改变B．速度的大小和方向都不变C．速度的大小不变，方向改变D．速度的大小改变，方向不变解析：选C.物体做匀速圆周运动的速度大小不变，但方向始终沿圆周的切线方向，即方向时刻在变化，故C正确，A、B、D错误．3．(线速度与角速度的关系)如图甲所示，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其简化原理图如图乙所示．A、B、C三点位于齿轮不同位置，已知2rC＝rA，rC＝rB.以下关于A、B、C三点的线速度大小v、角速度大小ω之间关系的说法正确的是()A．vA<vB，ωA＝ωB B．vB＝2vC，ωA＝ωCC．ωA>ωB，vB＝vC D．ωA<ωB，vB＝vC解析：选B.A、C是同轴转动，有ωA＝ωC，vA＝ωArA，vC＝ωCrC，又因2rC＝rA，故vA＝2vC，B、A是同缘传动，有vA＝vB，又因vA＝2vC，所以vB＝2vC，故A、C、D错误，B正确．4．(角速度与周期的关系)(多选)一精准转动的机械钟表，下列说法正确的是()A．秒针转动的周期最长B．时针转动的转速最小C．秒针转动的角速度最大D．秒针的角速度为eq\f(π,30)rad/s解析：选BCD.秒针转动的周期最短，角速度最大，A错误，C正确；时针转动的周期最长，转速最小，B正确；秒针的角速度为ω＝eq\f(2π,60)rad/s＝eq\f(π,30)rad/s，D正确．探究一圆周运动的物理量及其关系【情景导入】拍苍蝇的过程与物理有关．市场上出售的苍蝇拍(如图所示)拍把长约30cm，拍头长约12cm、宽约10cm，这种拍的使用效果往往不好，拍未到，蝇已飞．有人将拍把增长到60cm，结果是打一个准一个，你能解释其原因吗？提示：苍蝇的反应很灵敏，只有拍头的速度足够大时才能击中，而人转动手腕的角速度是有限的．由v＝ωr知，当增大转动半径(即拍把长)时，如由30cm增大到60cm，则拍头速度增大为原来的2倍，此时，苍蝇就难以逃生了．1．物理量的定义(1)线速度：单位时间(1s内)转过的弧长．(2)角速度：单位时间(1s内)转过的圆心角．(3)周期：转一圈所用的时间．(4)频率(转速)：单位时间内转过的圈数．2．各物理量之间的关系(1)v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2πr,T)＝2πnr(2)ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)＝2πn(3)v＝ωr3．物理量之间关系的分析技巧(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝eq\f(2π,T)＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了．(2)对线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝eq\f(1,r)；ω一定时，v∝r.(3)在讨论v、ω、r三者的关系时，应采用控制变量法，先保持其中一个量不变，再讨论另外两个量之间的关系．ω、T和n三个物理量可相互换算，只要其中一个量确定，其余两个量也就确定了．【例1】(多选)某同学参加了糕点制作的选修课，在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径约25cm的蛋糕(圆盘与蛋糕中心重合)．他要在蛋糕上均匀“点”上奶油，挤奶油时手处于圆盘上方静止不动，奶油竖直下落到蛋糕表面，若不计奶油下落时间，每隔2s“点”一次奶油，蛋糕一周均匀“点”上10个奶油．下列说法正确的是()A．圆盘转动一周历时18sB．圆盘转动一周历时20sC．蛋糕边缘的奶油(可视为质点)线速度大小约为eq\f(π,80)m/sD．蛋糕边缘的奶油(可视为质点)线速度大小约为eq\f(π,10)m/s[解析]每隔2s“点”一次奶油，蛋糕一周均匀“点”上10个奶油，则圆盘转动一圈的时间T＝20s，A错误，B正确；蛋糕边缘的奶油(可视为质点)线速度大小约为v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2πr,T)＝eq\f(2π×\f(0.25,2),20)m/s＝eq\f(π,80)m/s，C正确，D错误．[答案]BC【例2】A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们()A．线速度大小之比为2∶3B．角速度大小之比为3∶4C．圆周运动的半径之比为2∶1D．转速之比为3∶2[解析]根据线速度定义式v＝eq\f(s,t)，已知在相同时间内它们通过的路程之比是4∶3，则线速度大小之比为4∶3，故A错误；根据角速度定义式ω＝eq\f(θ,t)，相同时间内它们转过的角度之比为3∶2，则角速度之比为3∶2，故B错误；根据公式v＝rω，可得圆周运动半径r＝eq\f(v,ω)，线速度大小之比为4∶3，角速度之比为3∶2，则圆周运动的半径之比为8∶9，故C错误；根据T＝eq\f(2π,ω)得，周期之比为2∶3，再根据n＝eq\f(1,T)得转速之比为3∶2，故D正确．[答案]D[针对训练1](多选)质点做匀速圆周运动时()A．线速度越大，其转速一定越大B．角速度大时，其转速一定大C．线速度一定时，半径越大，则周期越长D．无论半径大小如何，角速度越大，则质点的周期一定越长解析：选BC.匀速圆周运动的线速度v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(n·2πr,1)＝2πrn，则n＝eq\f(v,2πr)，故线速度越大，其转速不一定越大，因为还与r有关，A错误；匀速圆周运动的角速度ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2πn,1)＝2πn，则n＝eq\f(ω,2π)，所以角速度大时，其转速一定大，B正确；匀速圆周运动的周期T＝eq\f(2πr,v)，则线速度一定时，半径越大，周期越长，C正确；匀速圆周运动的周期T＝eq\f(2π,ω)，与半径无关，且角速度越大，质点的周期一定越短，D错误．[针对训练2]一种叫“指尖陀螺”的玩具如图．当将陀螺绕位于中心点A的转轴旋转时，陀螺上B、C两点的周期、角速度及线速度的关系正确的是()A．TB＝TC，vB<vCB．TB>TC，vB<vCC．ωB＝ωC，vC<vBD．ωB>ωC，vB<vC解析：选A.由于是共轴转动，可知ωB＝ωC，根据T＝eq\f(2π,ω)，得转动周期相等，即TB＝TC，根据v＝rω，因为rB<rC，则vB<vC，故B、C、D错误，A正确．探究二对匀速圆周运动性质的理解【情景导入】1．做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同吗？2．匀速圆周运动的线速度是不变的吗？匀速圆周运动中的“匀速”和匀速直线运动中的“匀速”一样吗？提示：1.不一定相同．做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移大小相等，但方向可能不同．2．质点做匀速圆周运动时，速度的大小不变，方向时刻在变化，因此，匀速圆周运动不是线速度不变的运动，而是线速度大小不变的运动，是变速曲线运动．匀速圆周运动中的“匀速”是指速度的大小(速率)不变，应该理解成“匀速率”；而匀速直线运动中的“匀速”指的是速度不变，是大小、方向都不变．二者并不相同．1．匀中有变：由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周的切线方向，所以物体做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在变化．2．匀速的含义(1)速度的大小不变，即速率不变；(2)转动快慢不变，即角速度大小不变．3．运动性质：线速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是一种变速运动．【例3】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是()A．匀速圆周运动就是匀速运动B．匀速圆周运动是匀加速运动C．匀速圆周运动是一种变加速运动D．做匀速圆周运动的物体处于平衡状态[解析]匀速圆周运动是速度大小不变即“匀速率”的运动，速度的方向时刻发生变化，而匀速运动是速度不变的运动即匀速直线运动，A错误；由于速度方向在变化，故物体的加速度不为零，所受合力也一定不为零，故不是平衡状态，D错误；由于匀速圆周运动的速度大小不变，则由力与运动的关系可知合力方向应与速度方向是垂直的，即加速度方向与速度方向总是垂直的，而速度方向不停地发生变化，故加速度方向不停地发生变化，即加速度不是恒定的，B错误，C正确．[答案]C[针对训练3](多选)做匀速圆周运动的物体，下列不变的物理量是()A．速度 B．速率C．角速度 D．周期解析：选BCD.物体做匀速圆周运动时，速度的大小虽然不变，但它的方向在不断变化，故B、C、D正确．探究三对传动装置的分析【情景导入】1．如图所示，跷跷板的支点位于板的中点，A、B是板上的两个点，请比较：在撬动的某一时刻，A、B的线速度vA、vB的大小关系及角速度ωA、ωB的大小关系．2．如图所示的是机器内部的齿轮，大小齿轮相互啮合．当机器转动时，小齿轮和大齿轮谁转得快？有人说它们的速度大小是一样的，这种说法对吗？提示：1.根据题意，A、B绕同一支点转动，所以角速度相等，即ωA＝ωB；由题图看出rA>rB，根据v＝ωr得线速度vA>vB.2．小齿轮比大齿轮转得快(因为小齿轮转动角速度大)，但大小齿轮相互啮合的线速度大小相同．常见的传动装置及其特点同轴转动皮带传动齿轮传动装置A、B两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点特点角速度、周期相同线速度大小相等线速度大小相等规律线速度与半径成正比：eq\f(vA,vB)＝eq\f(r,R)角速度与半径成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R).周期与半径成正比：eq\f(TA,TB)＝eq\f(R,r)角速度与半径成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r2,r1).周期与半径成正比：eq\f(TA,TB)＝eq\f(r1,r2)【例4】(多选)如图，装置A、B轮通过皮带传动，A、C轮通过摩擦传动，半径RA＝2RB＝3RC，各接触面均不打滑，则A、B、C边缘上的点的线速度和角速度之比分别为()A．vA∶vB∶vC＝1∶2∶3B．vA∶vB∶vC＝1∶1∶1C．ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶3D．ωA∶ωB∶ωC＝1∶1∶1[解析]装置A、B轮通过皮带传动，A、B边缘上的点具有相同的线速度，A、C轮通过摩擦传动，A、C边缘上的点具有相同的线速度，所以三点的线速度是相等的，即vA∶vB∶vC＝1∶1∶1，A错误，B正确；由线速度与角速度之间的关系v＝ωr得ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶3，C正确，D错误．[答案]BC【例5】(2022·哈师大附中期中)如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω转动，则()A．若θ＝30°，则vA∶vB＝1∶2B．若θ＝30°，则vA∶vB＝2∶1C．A、B两点的角速度相等D．A、B两点的线速度相等[解析]共轴转动的各点角速度相等，故A、B两点的角速度相等；若θ＝30°，A点的转动半径为Rcos30°＝eq\f(\r(3),2)R，B点的转动半径为R，根据公式v＝rω，线速度之比为vA∶vB＝RA∶RB＝eq\r(3)∶2.[答案]C[针对训练4]如图所示，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，而后轮与小齿轮是绕共同的轴转动的．设大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为r1、r2、r3，当A点的线速度大小为v时，C点的线速度大小为()A.eq\f(r1,r2)v B.eq\f(r2,r3)vC.eq\f(r3,r1)v D.eq\f(r3,r2)v解析：选D.传动过程中，同一链条上的A、B两点的线速度相等，即vA＝vB，B点的速度为v，根据ω＝eq\f(v,r)，且B、C两点同轴转动，角速度相同，所以eq\f(vB,r2)＝eq\f(vC,r3)，代入数据联立得：vC＝eq\f(r3,r2)v，D正确．[A级——合格考达标练]1．如图所示，在圆规匀速转动画圆的过程中()A．笔尖的角速度不变B．笔尖的线速度不变C．笔尖的加速度不变D．笔尖在相等的时间内转过的位移不变解析：选A.做匀速圆周运动的物体角速度是不变的，故A正确；线速度是矢量，在匀速转动圆规画图的过程中，线速度大小不变，方向时刻改变，所以笔尖的线速度是变化的，故B错误；笔尖的加速度大小不变，方向时刻改变，所以笔尖的加速度是变化的，故C错误；笔尖在相同时间内转过的路程相等，但转过的位移不一定相等，故D错误．2.健步行走是现在流行的一种健身方式．如图所示，在广场的两个同心圆圆形走道上，有一对父女沿同一方向匀速健步行走，女儿在图中A位置，父亲在图中B位置．若女儿、父亲所在位置与圆心始终在一条线上，则下列说法正确的是()A．女儿的线速度比较小B．女儿的角速度比较大C．父亲的周期比较大D．父亲的转速比较大解析：选A.根据女儿、父亲所在位置与圆心始终在一条线上可知，他们的角速度相同，由公式v＝ωr可知，女儿的线速度较小，由公式n＝f＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(1,T)可知，女儿、父亲的转速和周期相等，综合以上分析可知，A正确．3．(多选)儿童喜爱的游戏——旋转木马如图所示．在转台上有两匹小马A、B，已知A的旋转半径小于B的旋转半径，下列说法正确的有()A．小马A、B的线速度相同B．小马A、B的角速度相同C．小马A的周期小于小马B的周期D．小马A的线速度小于小马B的线速度解析：选BD.两匹小马A、B同轴转动，角速度相同，根据v＝ωr可知，角速度相同时，线速度与半径成正比，又A的旋转半径小于B的旋转半径，故小马A的线速度小于小马B的线速度，A错误，B、D正确；角速度相同时，根据T＝eq\f(2π,ω)可知，周期也相同，C错误．4．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120km/h”上，可估算出该车车轮的转速约为()A．1000r/s B．1000r/minC．1000r/h D．2000r/s解析：选B.由v＝rω、ω＝2πn，联立可得n＝eq\f(v,2πr)＝eq\f(120×103,3600×2×3.14×30×10－2)r/s≈17.7r/s＝1062r/min.5．甲、乙、丙三个物体，甲静止地放在金昌，乙静止地放在上海，丙静止地放在三亚．当它们随地球一起转动时，则()A．甲的角速度最大，乙的线速度最小B．丙的角速度最小，甲的线速度最大C．三个物体的角速度、周期和线速度都相等D．三个物体的角速度、周期一样，丙的线速度最大解析：选D.甲、乙、丙三个物体随地球一起转动时它们的周期和角速度均相同，由于甲的半径最小而丙的半径最大，由线速度和角速度的关系v＝ωr知，甲的线速度最小而丙的线速度最大，故A、B、C错误，D正确．6．甲、乙两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，转动半径之比为1∶3，则甲、乙两快艇的线速度大小之比为()A．1∶4 B．2∶3C．4∶9 D．9∶16解析：选C.由题知，甲的角速度ω1＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(\f(π,3),Δt)，乙的角速度ω2＝eq\f(\f(π,4),Δt)，eq\f(ω1,ω2)＝eq\f(4,3)，又eq\f(r1,r2)＝eq\f(1,3)，则甲、乙两快艇的线速度大小之比eq\f(v1,v2)＝eq\f(ω1r1,ω2r2)＝eq\f(4,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,9)，故C正确，A、B、D错误．7．如图所示，电风扇同一扇叶上的P、Q两点到转轴的距离分别为rP、rQ，且rP<rQ，电风扇正常转动时()A．P点的线速度比Q点的线速度小B．P点的角速度比Q点的角速度小C．P点的线速度比Q点的线速度大D．P点的角速度比Q点的角速度大解析：选A.P、Q两点同轴做匀速转动，角速度相等，设为ω，由图可知Q点转动的半径大，P点转动的半径小；由公式v＝rω，ω相等，则P、Q两点的线速度大小关系为vP<vQ，故A正确．8．如图所示，A、B为某小区门口自动升降杆上的两点，A在杆的顶端，B在杆的中点处．杆从水平位置匀速转至竖直位置的过程中，A、B两点()A．角速度大小之比为2∶1B．角速度大小之比为1∶2C．线速度大小之比为2∶1D．线速度大小之比为1∶2解析：选C.因为A、B两点是同轴转动，所以A、B两点的角速度是相等的，故A、B错误；由v＝rω，可知速度之比等于半径之比，故A、B两点线速度大小之比为2∶1，故C正确，D错误．9．一个玩具陀螺如图所示，a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是()A．a、b和c三点的线速度大小相等B．a、b和c三点的角速度相等C．a、b的角速度比c的大D．c的线速度比a、b的大解析：选B.由于a、b、c三点绕同一轴转动，在相等时间内转过的圆心角相等，故它们的角速度相同，B正确，C错误．因a、b两点转动半径相等且大于c点的转动半径，由v＝ωr知va＝vb>vc，故A、D错误．[B级——等级考增分练]10．(多选)明代出版的《天工开物》一书中就有牛力齿轮翻车的图画(如图所示)，记录了我们祖先的劳动智慧．若A、B两齿轮半径的大小关系为rA>rB，则()A．齿轮A、B的角速度大小相等B．齿轮A的角速度大小小于齿轮B的角速度大小C．齿轮A、B边缘的线速度大小相等D．齿轮A边缘的线速度大小小于齿轮B边缘的线速度大小解析：选BC.A、B两轮边缘线速度大小相等，且齿轮A半径比齿轮B大，所以齿轮A的角速度大小小于齿轮B的角速度大小，A、D错误，B、C正确．11．共享单车是一种新型、便捷的公共交通方式．某共享单车采用的无链传动系统如图甲所示，利用圆锥齿轮90°轴交，将动力传至后轴，驱动后轮转动，杜绝了传统自行车“掉链子”的问题．圆锥齿轮90°轴交示意图如图乙所示，其中A是圆锥齿轮转轴上的点，B、C分别是两个圆锥齿轮边缘上的点，两个圆锥齿轮中心轴到A、B、C三点