专题23概率(精讲精练)(原卷版+解析)

第23讲概率（精讲）能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件的所有结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率。知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率。TOC\o"1-2"\h\u第23讲概率（精讲） 1考点1：概率的概念及其公式 3考点2：随机事件概率的计算 9课堂总结：思维导图 20分层训练：课堂知识巩固 21考点1：概率的概念及其公式①概率及公式：定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．概率公式：P(A)＝(m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．②用频率可以估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝.③事件的类型及其概率｛事件分类★｝下列判断正确的是A．明天太阳从东方升起是随机事件 B．购买一张彩票中奖是必然事件 C．掷一枚骰子，向上一面的点数是6是不可能事件 D．任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件｛事件分类★｝下列事件为随机事件的是A．四个人分成三组，恰有一组有两个人 B．购买一张福利彩票，恰好中奖 C．在一个只装有白球的盒子里摸出了红球 D．掷一次骰子，向上一面的点数小于7｛事件分类★｝下列事件中，是必然事件的是A．刚到车站，恰好有车进站 B．在一个仅装着白乒乓球的盒子中，摸出黄乒乓球 C．打开九年级上册数学教材，恰好是概率初步的内容 D．任意画一个三角形，其外角和是｛事件分类★｝下列说法中，正确的是A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得｛事件分类★｝关于“明天是晴天的概率为”，下列说法正确的是A．明天一定是晴天 B．明天一定不是睛天 C．明天的地方是晴天 D．明天是晴天的可能性很大｛事件分类★｝（2018•北京）从甲地到乙地有，，三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路合计5915116612450050501222785004526516723500早高峰期间，乘坐（填“”，“”或“”线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．（2021•黔东南州）一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列事件属于必然事件的是A．至少有1个球是白色球 B．至少有1个球是黑色球 C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是黑色球（2021•贵阳）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则的值可能是A．4 B．5 C．6 D．7（2020•安顺）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是A．B．C． D．（2021•郴州）下列说法正确的是A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯 C．“某彩票中奖概率是”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖 D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上考点2：随机事件概率的计算①随机事件概率的计算方法(1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；(2)两步完成：列表法、画树状图法；(3)两步以上：画树状图法｛概率计算★｝一个布袋里装有2个红球，3个黄球和5个白球，除颜色外其他都相同，搅匀后任意摸出一个球，是红球的概率是A． B． C． D．｛概率计算★｝某市准备举行初中生“党史知识竞赛”，学校通过初赛选出了2位男生、和2位女生、共4位选手，准备从4人中任选2人代表学校参加比赛．求所选代表都是女生的概率．｛概率计算★｝将三幅完全相同的图片，分别剪成大小相同的上、中、下三段，每张图片的三段放在一起组成三部分，若从每一部分中抽取一段，则正好拼成一幅完整图片的概率是A． B． C． D．｛概率计算★｝由三个正方形彼此嵌套组成一个如图所示的图案，其中每个内层正方形的顶点都是其外层正方形边的中点，在该图案上任意取点，恰好取在空白区域的概率是A． B． C． D．｛概率计算★｝看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马综合指标数如表，每匹马只赛一场，综合指标的两数相比，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为6，4，2．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为马匹等级下等马中等马上等马齐王246田忌135A． B． C． D．｛概率计算★｝（2021•德州）如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为．｛概率计算★｝为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：：很好；：较好；：一般；：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）此次调查的总人数为20；（2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是；（3）请将条形统计图补充完整；（4）为了共同进步，何老师准备从被调查的类和类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．｛概率计算★｝习总书记指出“垃圾分类工作就是新时尚”．为响应垃圾分类处理政策，改善生态环境，某城市将生活垃圾分为三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为，，，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为，，．（1）小明将垃圾分装在三个袋中分别投放到每个垃圾箱，每袋垃圾仅随机投放到一个垃圾箱，用画树状图或列表的方法求把三个袋子都放错垃圾箱的概率是多少？（2）某学习小组为了了解该城市生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了一些小区某天三类垃圾箱中共100吨的生活垃圾，数据统计如表：（单位：吨）308122.6243.43.22.814调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生600吨生活垃圾．假设该城市每天处理投放正确的垃圾，每天大概可回收多少吨塑料类垃圾的二级原料．｛概率计算★｝（2021•福建模拟）越野汽车轮胎的质量是根据其正常使用的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于7千小时的为优质品，否则为普通品．某汽修店对，两种不同型号的汽车轮胎做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的扇形统计图和折线图如图所示：根据上述调查数据，解决下列问题：（1）现从仓库中大量的，两种型号的轮胎中各随机抽取1件产品，求其中至少有1件是优质品的概率；（2）汽修店对轮胎实行“三包”，根据多年销售经验可知，轮胎每件产品的利润（单位：元）与其使用时间（单位：千小时）的关系如下表：使用时间（单位：千小时）每件产品的利润（单位：元）200400请从平均利润角度考虑，该汽修店应选择销售哪种轮胎，说明理由．（2021•兰州）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为A． B． C． D．（2021•随州）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为A． B． C． D．（2021•杭州）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是A． B． C． D．课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．（2022•济南）某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是A． B． C． D．2．（2022•枣庄）在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是A． B． C． D．3．（2022•广州）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是A． B． C． D．4．（2022•贵阳）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序、主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是A．小星抽到数字1的可能性最小 B．小星抽到数字2的可能性最大 C．小星抽到数字3的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同5．（2022•北京）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是A． B． C． D．6．（2022•泰州）如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为A． B． C． D．17．（2022•广西）下列事件是必然事件的是A．三角形内角和是 B．端午节赛龙舟，红队获得冠军 C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况8．（2022•苏州）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是A． B． C． D．9．（2022•武汉）班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是A． B． C． D．10．（2022•宁夏）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是．11．（2022•淄博）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：（1）共有名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是度；（2）补全调查结果条形统计图；（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．12．（2022•巴中）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．参加四个社团活动人数统计表社团活动舞蹈篮球围棋足球人数503080请根据以上信息，回答下列问题：（1）抽取的学生共有人，其中参加围棋社的有人；（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．13．（2022•六盘水）为倡导“全民健身，健康向上”的生活方式，我市教育系统特举办教职工气排球比赛．比赛采取小组循环，每场比赛实行三局两胜制，取实力最强的两支队伍参加决赛，从组的比分胜负表中知道二中胜4场负1场．教职工气排球比赛比分胜负表组一中二中三中四中五中六中一中二中三中四中五中六中（1）根据表中数据可知，一中共获胜场，“四中五中”的比赛获胜可能性最大的是；（2）若处的比分是和，并且参加决赛的队伍是二中和五中，则处的比分可以是和（两局结束比赛，根据自己的理解填写比分）；（3）若处的比分是和，处的比分是，，，那么实力最强的是哪两支队伍，请说明理由．14．（2022•济宁）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如图所示）．学生成绩分布统计表成绩分组中值频率780.0583880.375930.275980.05请根据图表信息，解答下列问题：（1）填空：，；（2）请补全频数分布直方图；（3）求这名学生成绩的平均分；（4）从成绩在和的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在和中各一名的概率．15．（2022•青岛）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享．游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．1．（2022•东营）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是A． B． C． D．2．（2022•六盘水）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有种不同的情况．3．（2022•益阳）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有只种候鸟．4．（2022•宜宾）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中：文学类；：科幻类；：军事类；其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求的值；（3）如果选择类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．1．（2022秋•金东区校级月考）已知是平面直角坐标系中的点，其中是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，是从1，2，3，4，5五个数中任取的一个数．定义“点在直线上”为事件，为整数），则当的概率最大时，的所有可能的值为A．5 B．4或5 C．5或6 D．6或72．（2022•西城区校级模拟）“六一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法不正确的是转动转盘的次数1001502005008001000落在“铅笔”区域的次数68108140355560690落在“铅笔”区域的频率0.680.720.700.710.700.69A．当很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70 C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次 D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒3．（2021秋•龙岗区校级期末）在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类，速度类和力量类．其中必测项目为耐力类，抽测项目为：速度类有50米，100米，50米往返跑三项，力量类有原地掷实心球，立定跳远，引体向上（男或仰卧起坐（女三项．市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50米往返跑、引体向上（男或仰卧起坐（女两项的概率是A． B． C． D．4．（2021秋•舞钢市期末）小明和小刚用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分．这个游戏对双方公平吗？若公平，说明理由．若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？5．（2022春•杜尔伯特县期中）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为．（1）计算由、确定的点在函数的图象上的概率．（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若、满足则小明胜，若、满足则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．第23讲概率（精讲）能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件的所有结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率。知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率。TOC\o"1-2"\h\u第23讲概率（精讲） 1考点1：概率的概念及其公式 3考点2：随机事件概率的计算 9课堂总结：思维导图 20分层训练：课堂知识巩固 21考点1：概率的概念及其公式①概率及公式：定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．概率公式：P(A)＝(m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．②用频率可以估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝.③事件的类型及其概率｛事件分类★｝下列判断正确的是A．明天太阳从东方升起是随机事件 B．购买一张彩票中奖是必然事件 C．掷一枚骰子，向上一面的点数是6是不可能事件 D．任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．【解答】解：．明天太阳从东方升起是必然事件，故不符合题意；．购买一张彩票中奖是随机事件，故不符合题意；．掷一枚骰子，向上一面的点数是6是随机事件，故不符合题意；．任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故符合题意；故选：．【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．｛事件分类★｝下列事件为随机事件的是A．四个人分成三组，恰有一组有两个人 B．购买一张福利彩票，恰好中奖 C．在一个只装有白球的盒子里摸出了红球 D．掷一次骰子，向上一面的点数小于7【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．【解答】解：．四个人分成三组，恰有一组有两个人，这是必然事件，故不符合题意；．购买一张福利彩票，恰好中奖，这是随机事件，故符合题意；．在一个只装有白球的盒子里摸出了红球，这是不可能事件，故不符合题意；．掷一次骰子，向上一面的点数小于7，这是必然事件，故不符合题意；故选：．【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．｛事件分类★｝下列事件中，是必然事件的是A．刚到车站，恰好有车进站 B．在一个仅装着白乒乓球的盒子中，摸出黄乒乓球 C．打开九年级上册数学教材，恰好是概率初步的内容 D．任意画一个三角形，其外角和是【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点判断即可．【解答】解：．刚到车站，恰好有车进站，这是随机事件，故不符合题意；．在一个仅装着白乒乓球的盒子中，摸出黄乒乓球，这是不可能事件，故不符合题意；．打开九年级上册数学教材，恰好是概率初步的内容，这是随机事件，故不符合题意；．任意画一个三角形，其外角和是，这是必然事件，故符合题意；故选：．【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握必然事件，随机事件，不可能事件的特点是解题的关键．｛事件分类★｝下列说法中，正确的是A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可．【解答】解：．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故不符合题意；．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故符合题意；．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故不符合题意；．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故不符合题意；故选：．【点评】本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，列表法与树状图法，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．｛事件分类★｝关于“明天是晴天的概率为”，下列说法正确的是A．明天一定是晴天 B．明天一定不是睛天 C．明天的地方是晴天 D．明天是晴天的可能性很大【分析】根据概率的含义即可得出答案．【解答】解：关于“明天是晴天的概率为”，说明明天是晴天的可能性很大．故选：．【点评】此题考查了概率的意义，理解概率是表示事件发生可能性大小的统计量是正确判断的前提．｛事件分类★｝（2018•北京）从甲地到乙地有，，三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路合计5915116612450050501222785004526516723500早高峰期间，乘坐（填“”，“”或“”线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得．【解答】解：线路公交车用时不超过45分钟的可能性为，线路公交车用时不超过45分钟的可能性为，线路公交车用时不超过45分钟的可能性为，线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．（2021•黔东南州）一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列事件属于必然事件的是A．至少有1个球是白色球 B．至少有1个球是黑色球 C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是黑色球【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答．【解答】解：至少有1个球是白球是随机事件，选项不正确；至少有1个球是黑球是必然事件，选项正确；至少有2个球是白球是随机事件，选项不正确；至少有2个球是黑球是随机事件，选项不正确；故选：．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．（2021•贵阳）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则的值可能是A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据必然事件的意义，进行解答即可．【解答】解：根据题意可得，的值可能为4．如果是5、7、6，那么与摸出球上的号码小于5”是必然事件相违背．故选：．【点评】本题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键．（2020•安顺）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是A．B．C． D．【分析】各选项袋子中分别共有10个小球，若要使摸到红球可能性最大，只需找到红球的个数最多的袋子即可得出答案．【解答】解：在四个选项中，选项袋子中红球的个数最多，所以从选项袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大，故选：．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法．（2021•郴州）下列说法正确的是A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯 C．“某彩票中奖概率是”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖 D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．【解答】解：．明天下雨的概率为，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项不符合题意；．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故本选项符合题意；．某彩票中奖概率是，买100张这种彩票中奖是随机事件，不一定会有1张中奖，故本选项不符合题意；．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩不一定在90分以上，故本选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查概率的意义，解题的关键是正确理解概率的意义，本题属于基础题型．考点2：随机事件概率的计算①随机事件概率的计算方法(1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；(2)两步完成：列表法、画树状图法；(3)两步以上：画树状图法｛概率计算★｝一个布袋里装有2个红球，3个黄球和5个白球，除颜色外其他都相同，搅匀后任意摸出一个球，是红球的概率是A． B． C． D．【分析】先求出袋子中球的总个数及确定红球的个数，再根据概率公式解答即可．【解答】袋子中球的总数为红球有2个，则从中任摸一球，恰为红球的概率为．选：．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）．｛概率计算★｝某市准备举行初中生“党史知识竞赛”，学校通过初赛选出了2位男生、和2位女生、共4位选手，准备从4人中任选2人代表学校参加比赛．求所选代表都是女生的概率．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中所选2人都是女生的有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所选2人都是女生的有2种，即、，（所选代表都是女生）．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．｛概率计算★｝将三幅完全相同的图片，分别剪成大小相同的上、中、下三段，每张图片的三段放在一起组成三部分，若从每一部分中抽取一段，则正好拼成一幅完整图片的概率是A． B． C． D．【分析】画树状图，共有27种等可能的结果，其中正好拼成一幅完整图片的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把三幅完全相同的图片分别用甲、乙、丙来表示，画树状图如下：共有27种等可能的结果，其中正好拼成一幅完整图片的结果有6种，正好拼成一幅完整图片的概率为，故选：．【点评】本题考查了列表法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．｛概率计算★｝由三个正方形彼此嵌套组成一个如图所示的图案，其中每个内层正方形的顶点都是其外层正方形边的中点，在该图案上任意取点，恰好取在空白区域的概率是A． B． C． D．【分析】根据面积法：恰好取在空白区域的概率就是空白区域的面积与总面积的比即可解答．【解答】解：观察这个图可知：空白区域占，故其概率等于．故选：．【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．｛概率计算★｝看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马综合指标数如表，每匹马只赛一场，综合指标的两数相比，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为6，4，2．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为马匹等级下等马中等马上等马齐王246田忌135A． B． C． D．【分析】列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为6，4，2时，田忌的马按1，5，3的顺序出场，田忌才能赢得比赛，当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，田忌能赢得比赛的概率为．故选：．【点评】此题考查的是用列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．｛概率计算★｝（2021•德州）如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为．【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：设、、、分别用1、2、3、4表示，画树状图得：共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，能够让灯泡发光的概率为：，故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．正确的画出树状图是解题的关键．｛概率计算★｝为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：：很好；：较好；：一般；：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）此次调查的总人数为20；（2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是；（3）请将条形统计图补充完整；（4）为了共同进步，何老师准备从被调查的类和类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．【分析】（1）根据等级的人数和所占的百分比即可得出答案；（2）用乘以“不达标”所占的百分比即可得出答案；（3）先求出等级的女生和等级的男生，然后补全统计图即可；（4）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）调查的总人数为：（人，故答案为：20；（2），答：扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是；故答案为：36；（3）等级的人数有：（人，等级的女生人数有：（人，等级的男生人数有：（人，补全统计图如下：（4）由题意画树形图如下：从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．所以（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．｛概率计算★｝习总书记指出“垃圾分类工作就是新时尚”．为响应垃圾分类处理政策，改善生态环境，某城市将生活垃圾分为三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为，，，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为，，．（1）小明将垃圾分装在三个袋中分别投放到每个垃圾箱，每袋垃圾仅随机投放到一个垃圾箱，用画树状图或列表的方法求把三个袋子都放错垃圾箱的概率是多少？（2）某学习小组为了了解该城市生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了一些小区某天三类垃圾箱中共100吨的生活垃圾，数据统计如表：（单位：吨）308122.6243.43.22.814调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生600吨生活垃圾．假设该城市每天处理投放正确的垃圾，每天大概可回收多少吨塑料类垃圾的二级原料．【分析】（1）画树状图得出所有等可能结果，从中找到把三个袋子都放错位置的结果数，再根据概率公式计算可得；（2）首先求得可回收垃圾量，然后求得按样本与按规范回收二级原料的吨数，从而得出答案．【解答】解：（1）画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中三袋垃圾都投放错误的情况有2种，三袋垃圾都投放错误的概率为；（2）该城市每天投放正确的“可回收垃圾”为：（吨，则每天大概可回收塑料类垃圾的二级原料为：（吨，答：每天大概可回收20.16吨塑料类垃圾的二级原料．【点评】此题考查了树状图法求概率以及统计表等知识，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．｛概率计算★｝（2021•福建模拟）越野汽车轮胎的质量是根据其正常使用的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于7千小时的为优质品，否则为普通品．某汽修店对，两种不同型号的汽车轮胎做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的扇形统计图和折线图如图所示：根据上述调查数据，解决下列问题：（1）现从仓库中大量的，两种型号的轮胎中各随机抽取1件产品，求其中至少有1件是优质品的概率；（2）汽修店对轮胎实行“三包”，根据多年销售经验可知，轮胎每件产品的利润（单位：元）与其使用时间（单位：千小时）的关系如下表：使用时间（单位：千小时）每件产品的利润（单位：元）200400请从平均利润角度考虑，该汽修店应选择销售哪种轮胎，说明理由．【分析】（1）根据、型轮胎为优质品的频率相同知，各随机抽取一件，型轮胎，“优质品”和“普通品”这两个事件均为等可能事件，再根据从仓库中大量，两种型号的轮胎中各随机抽取1件产品，产生以下“优优”，“优普”，“普优”，“普普”四种等可能结果，利用概率公式求解即可；（2）分别计算出一件、型轮胎的平均利润，比较大小后即可得出答案．【解答】解：（1）样本中，型轮胎为优质品的频率为，型轮胎为优质品的频率为，以此估计，各随机抽取一件，型轮胎，“优质品”和“普通品”这两个事件均为等可能事件．所以从仓库中大量，两种型号的轮胎中各随机抽取1件产品，产生以下“优优”，“优普”，“普优”，“普普”四种等可能结果，所以，至少有1件是优质品的概率为．（2）该汽修店应选择销售型轮胎，理由如下：对于型轮胎，列表如下：使用时间（单位：千小时）频率每件产品的利润（单位：元）200400可估计，一件型轮胎的平均利润为（元，对于型轮胎，列表如下：使用时间（单位：千小时）频率401050每件产品的利润（单位：元）200400可估计，一件型轮胎的平均利润为（元，，该汽修店应选择销售型轮胎．【点评】本题考查的是扇形统计图、折线统计图及列表法求概率，解题的关键是根据扇形统计图和折线统计图得出解题所需数据及加权平均数的概念．（2021•兰州）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为A． B． C． D．【分析】将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到27个小立方体，其中一个面涂色的有6块，可求出相应的概率．【解答】解：将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到（个，有6个一面涂色的小立方体，所以，从27个小正方体中任意取1个，则取得的小正方体恰有一个面涂色的概率为，故选：．【点评】本题考查了概率公式，列举出所有等可能出现的结果数和符合条件的结果数是解决问题的关键．（2021•随州）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为A． B． C． D．【分析】由两个小正方形面积可推出最大正方形的边长及面积，从而可求阴影部分的面积，根据米粒落在图中阴影部分的概率为阴影部分与大正方形面积比即可得到答案．【解答】解：由图可知大正方形中的两个小正方形边长分别为、．大正方形的边长为．则大正方形的面积为，阴影部分的面积为．则米粒落在图中阴影部分的概率为．故选：．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，利用面积求概率是解题的关键．（2021•杭州）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是A． B． C． D．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把3节车厢分别记为、、，画树状图如图：共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，甲和乙从同一节车厢上车的概率为，故选：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．（2022•济南）某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是A． B． C． D．【解答】解：把“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为、、，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为，故选：．2．（2022•枣庄）在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是A． B． C． D．【解答】解：画树状图如图：共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，则两人恰好选中同一主题的概率为．故选：．3．（2022•广州）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是A． B． C． D．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有6种，甲被抽中的概率为，故选：．4．（2022•贵阳）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序、主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是A．小星抽到数字1的可能性最小 B．小星抽到数字2的可能性最大 C．小星抽到数字3的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同【解答】解：张同样的纸条上分别写有1，2，3，小星抽到数字1的概率是，抽到数字2的概率是，抽到数字3的概率是，小星抽到每个数的可能性相同；故选：．5．（2022•北京）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是A． B． C． D．【解答】解：列表如下：红绿红（红，红）（绿，红）绿（红，绿）（绿，绿）所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，故选：．6．（2022•泰州）如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为A． B． C． D．1【解答】解：由题意可知，甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻是必然事件，甲和乙相邻的概率为1，故选：．7．（2022•广西）下列事件是必然事件的是A．三角形内角和是 B．端午节赛龙舟，红队获得冠军 C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况【解答】解：、三角形内角和是，是必然事件，故符合题意；、端午节赛龙舟，红队获得冠军，是随机事件，故不符合题意；、掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上，是随机事件，故不符合题意；、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况，是随机事件，故不符合题意；故选：．8．（2022•苏州）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是A． B． C． D．【解答】解：总面积为，其中阴影部分面积为，飞镖落在阴影部分的概率是，故选：．9．（2022•武汉）班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是A． B． C． D．【解答】解：画树状图为：列表为：4个中每个各有6种等可能的结果数，共有24种等可能的结果数，其中，两位同学座位相邻的结果数为12，故，两位同学座位相邻的概率是．故选：．10．（2022•宁夏）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是．【解答】解：把影片剧照《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡片分别记为、、、，画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为，故答案为：．11．（2022•淄博）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：（1）共有120名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是度；（2）补全调查结果条形统计图；（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．【解答】解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：（名，则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，故答案为：120，99；（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名，则选修“园艺”的学生人数为：（名，补全条形统计图如下：（3）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，画树状图如下：共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．12．（2022•巴中）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．参加四个社团活动人数统计表社团活动舞蹈篮球围棋足球人数503080请根据以上信息，回答下列问题：（1）抽取的学生共有200人，其中参加围棋社的有人；（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．【解答】解：（1）抽取的学生共有：（人，参加围棋社的有：（人；故答案为：200，40；（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有：（人；（3）画树状图如下：所有等可能出现的结果总数为20个，其中抽到一男一女的情况数有12个，恰好抽到一男一女概率为．13．（2022•六盘水）为倡导“全民健身，健康向上”的生活方式，我市教育系统特举办教职工气排球比赛．比赛采取小组循环，每场比赛实行三局两胜制，取实力最强的两支队伍参加决赛，从组的比分胜负表中知道二中胜4场负1场．教职工气排球比赛比分胜负表组一中二中三中四中五中六中一中二中三中四中五中六中（1）根据表中数据可知，一中共获胜2场，“四中五中”的比赛获胜可能性最大的是；（2）若处的比分是和，并且参加决赛的队伍是二中和五中，则处的比分可以是和（两局结束比赛，根据自己的理解填写比分）；（3）若处的比分是和，处的比分是，，，那么实力最强的是哪两支队伍，请说明理由．【解答】解：（1）根据表中数据可知，一中胜2负3；二中胜4负1；三中胜1负3；四中胜0负4；五中胜3负1；六中胜3负1．从数据中可知，四中的能力较差，获胜的可能较小；故答案为：2；五中；（2）若处的比分是和，则五中胜，即五中胜4负1；参加决赛的队伍是二中和五中，在六中三中时，三中胜，处的比分可以是：；，三中胜；故答案为：；；（3）若处的比分是和，则五中胜，四中负；处的比分是，，，则六中胜，三中负；则一中胜2负3；二中胜4负1；三中胜1负4；四中胜0负5；五中胜4负1；六中胜4负1．二中胜六中，输五中；五中胜二中，输六中，六中胜五中，输二中，三队之间都是1胜1负，但胜负局数不一样，二中胜2负3；五中胜2负2；六中胜3负2，实力较强的两支队伍是六中和五中．（答案不唯一）14．（2022•济宁）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如图所示）．学生成绩分布统计表成绩分组中值频率780.0583880.375930.275980.05请根据图表信息，解答下列问题：（1）填空：40，；（2）请补全频数分布直方图；（3）求这名学生成绩的平均分；（4）从成绩在和的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在和中各一名的概率．【解答】解：（1）；；故答案为：40，0.25；（2）频数分布直方图如图示：（3），所以这名学生成绩的平均分为88.125分；（4）用，表示成绩在的学生，用，表示成绩在的学生，树状图如下：选取的学生成绩在和中各一名的概率为：．15．（2022•青岛）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享．游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．【解答】解：所有可能的结果如下：共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果，（小冰获胜），（小雪获胜），（小冰获胜）（小雪获胜），游戏对双方都公平．1．（2022•东营）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是