专题02二次根式的运算(考点剖析)-2018-2019学年浙江省八年级数学下学期期末必考点复习(浙教版)(原卷版+解析)2

专题02二次根式的运算【考点剖析】1、最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．2、分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①；②．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．3、二次根式的运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4、二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．最简二次根式【典例】例1．在、、、、中，最简二次根式的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【巩固练习】1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．下列根式，，，，，中，最简二次根式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．下列式子中：，，，，2，其中属于最简二次根式的有几个（）A．1 B．2 C．3 D．4二次根式的混合运算【典例】例1．计算：•（）（a＞0）例2．计算：（1）2；（2）（15）（x＞0）.例3．计算：（）.【巩固练习】1．计算：2．计算：•3．计算：．4．计算：3．5．计算：23（）．6．计算：．7．计算：．8．计算：（5）．9．化简求值：，其中x＝4，y．分母有理化【典例】例1．阅读理解材料：把分母中的根号去掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化．根据上述材料，（1）化简：（2）计算：（3）．例2．观察下列一组等式，然后解答后面的问题：（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1…（1）观察上面的规律，计算下列式子的值：（）（）．（2）利用上面的规律，试比较与的大小．【巩固练习】1．已知a，b，（1）求ab，a+b的值；（2）求的值．2．在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：1．还可以用以下方法化简：1．这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．分别用上述两种方法化简：．3．观察下面的变形规律：，，，，…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想__________；（2）计算：（）×（）4．观察下列等式：①；②；③…回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：．专题02二次根式的运算【考点剖析】1、最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．2、分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①；②．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．3、二次根式的运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4、二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．最简二次根式【典例】例1．在、、、、中，最简二次根式的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：在所列二次根式中，最简二次根式有，这2个，故选：B．【点睛】根据最简二次根式的定义对二次根式分析判断即可得．本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【巩固练习】1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：，A不是最简二次根式；B，是最简二次根式；3，C不是最简二次根式；a，D不是最简二次根式；故选：B．2．下列根式，，，，，中，最简二次根式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】解：在所列二次根式中，最简二次根式有，这2个，故选：B．3．下列式子中：，，，，2，其中属于最简二次根式的有几个（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：最简二次根式有，2，共2个，故选：B．二次根式的混合运算【典例】例1．计算：•（）（a＞0）【答案】见解析【解析】解：•（）（a＞0）•a2b＝﹣9a2．【点睛】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．例2．计算：（1）2（2）（15）（x＞0）【答案】见解析【解析】解：（1）原式＝264＝4；（2）原式（152x）＝332x＝2x．【点睛】（1）先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并即可；（2）先将二次根式化简，再利用去括号法则去括号，再将被开方数相同的二次根式合并即可．本题主要考查二次根式的加减，解决此类问题的关键是要先将二次根式化简，此外还要注意，只有被开方数相同的二次根式才能合并，当被开方数不相同时是不能合并的．例3．计算：（）【答案】见解析【解析】解：原式1＝21﹣2＝3﹣2．【点睛】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【巩固练习】1．计算：【答案】见解析【解析】解：．2．计算：•【答案】见解析【解析】解：原式••••．3．计算：．【答案】见解析【解析】解：原式＝23（）＝24．4．计算：3．【答案】见解析【解析】解：原式＝234＝22＝3．5．计算：23（）．【答案】见解析【解析】解：原式＝333＝53．6．计算：．【答案】见解析【解析】解：原式2＝2﹣32＝2．7．计算：．【答案】见解析【解析】解：原式4﹣51＝﹣1．8．计算：（5）．【答案】见解析【解析】解：原式＝（53）636．9．化简求值：，其中x＝4，y．【答案】见解析【解析】解：原式23，当x＝4，y时，原式31+1＝2．分母有理化【典例】例1．阅读理解材料：把分母中的根号去掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化．根据上述材料，（1）化简：（2）计算：（3）．【答案】见解析【解析】解：（1）；（2）11；（3）11．【点睛】（1）直接找出有理化因式，进而分母有理化得出答案；（2）利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案；（3）利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案．此题主要考查了分母有理化，正确找出有理化因式是解题关键．例2．观察下列一组等式，然后解答后面的问题：（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1…（1）观察上面的规律，计算下列式子的值：（）（）．（2）利用上面的规律，试比较与的大小．【答案】见解析【解析】解：（1）由题意可得，原式＝（1）•（1）＝（1）•（1）＝2013﹣1＝2012；（2），，∵，∴，∴．【点睛】（1）根据题中给出的式子找出规律，根据此规律即可得出结论；（2）把题中的式子取倒数，再比较大小即可．本题考查的是分母有理数，根据题中给出的例子找出规律是解答此题的关键．【巩固练习】1．已知a，b，（1）求ab，a+b的值；（2）求的值．【答案】见解析【解析】解：（1）∵a，b，∴ab＝（）×（）＝1，a+b2；（2）＝（）2+（）2＝5﹣25+2＝10．2．在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：1．还可以用以下方法化简：1．这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．分别用上述两种方法化简：．【答案】见解析【解析】解：；或：．3．观察下面的