第一次月考押题培优卷(1)(考试范围：第十六-十七章)(原卷版+解析)

第一次月考押题培优卷（1）（考试范围：第十六-十七章）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果，那么（

）A． B． C． D．x为一切实数2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠23．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（

）A． B． C． D．04．下列算式中，运算错误的是（）A． B．C． D．＝35．在将式子（m＞0）化简时，小明的方法是：===；小亮的方法是：；小丽的方法是：.则下列说法正确的是（）A．小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确B．小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确C．小明、小亮、小丽的方法都正确D．小明、小丽、小亮的方法都不正确6．如图，AB，BC，CD，DE是四根长度均为5cm的小木棒，点A、C、E共线．若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（）A．7cm B．6cm C．8cm D．8cm7．正方形的边长为，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（

）A． B． C． D．8．意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为，右图中空白部分的面积为，则下列表示的等式成立的是（

）A． B． C． D．9．如图，在等腰中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则的最小值是（

）A．3 B． C． D．10．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＋200＝12a＋16b＋20c，则△ABC三条角平分线的交点到一条边的距离为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．计算：|－|＋2＝________.12．已知，，求下列各式的值：（1）______；（2）______；（3）______．13．已知a，b，c为三角形三边，则=______．14．如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．15．如图，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为______．16．已知：如图，等边中，，，，则的长为___________．三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．计算(1)(2)19．先化简，再求值：其中，．20．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它恰好落在斜边上，且与重合，求的长．21．如图①，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，过点A作直线AC的垂线交BC于点D．(1)求∠BAD的度数；(2)若AC＝2，求AB的长；(3)如图②，过点A作∠DAC的角平分线交BC于点P，点D关于直线AP的对称点为E，试探究线段CE与BD之间的数量关系，并对结论给予证明．22．在长方形ABCD中，截取如图所示的阴影部分，已知EC＝5，CF＝5，FG＝4，EG＝3，∠EGF＝90°．（1）连接EF，求证：∠FEC＝90°；（2）求出图中阴影部分的面积．23．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是；（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系；（3）利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b＝17，ab＝60，求斜边c的值．24．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，轴，与轴交于点，，且，的长满足．（1）求点A的坐标；（2）若，求的面积；（3）在（2）的条件下，正方形的边上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图1，点A的坐标为(a，2)，点B的坐标为(b，0)，且a，b满足+（b﹣4）2＝0，点C在y轴负半轴上，AC交x轴于点E，点D在x轴正半轴上，且AC⊥AD．（1）判断OAB的形状，并说明理由．（2）探究线段OC，OD，OA之间的数量关系并证明．（3）如图2，点F在x轴负半轴上，∠FAC＝45°，探究BE2，EF2，OF2之间的数量关系并证明．第一次月考押题培优卷（1）（考试范围：第十六-十七章）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果，那么（

）A． B． C． D．x为一切实数【答案】B【详解】∵,∴x≥0,x-6≥0,∴.故选B.2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠2【答案】D【详解】由题意得x≥0，且x﹣2≠0，解得：x≥0，且x≠2，故选D．【点睛】本题考查了二次根式、分式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为0是解题在关键.3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】先根据数轴判断出a、b和a－b的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．【详解】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a－b＜0∴==-a－b＋a－b=故选A．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握利用数轴判断字母符号和二次根式的性质是解决此题的关键．4．下列算式中，运算错误的是（）A． B．C． D．＝3【答案】C【分析】根据二次根式的加减法则，乘法，除法，乘方法则计算判断即可.【详解】解：∵，正确，∴A选项不合题意；∵，正确，∴B选项不合题意；∵，无法计算，∵C选项符合题意；∵＝3，正确，∴D选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式运算的基本法则是解题的关键.5．在将式子（m＞0）化简时，小明的方法是：===；小亮的方法是：；小丽的方法是：.则下列说法正确的是（）A．小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确B．小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确C．小明、小亮、小丽的方法都正确D．小明、小丽、小亮的方法都不正确【答案】C【分析】小明的方法为原式分子分母乘以有理化因式，化简得到结果；小亮的方法为将分子利用二次根式性质化简，约分即可得到结果；小丽的方法为分子利用二次根式性质化简，再利用二次根式除法法则逆运算变形，计算即可得到结果.【详解】在将式子（m＞0）化简时，小明的方法是：＝＝＝，正确；小亮的方法是：＝＝，正确；小丽的方法是：＝＝＝，正确；则小明、小亮、小丽的方法都正确，故选：C【点睛】此题考查了分母有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化.二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子.6．如图，AB，BC，CD，DE是四根长度均为5cm的小木棒，点A、C、E共线．若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（）A．7cm B．6cm C．8cm D．8cm【答案】C【分析】过点作于点，过点作于点，先根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，利用勾股定理可得，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得．【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，，，，，，在和中，，，，，（等腰三角形的三线合一），，，又，（等腰三角形的三线合一），故选：C．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、勾股定理，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．7．正方形的边长为，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2＝S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律Sn＝（）n﹣1，依此规律即可得出结论．【详解】解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，∴S2+S2＝S1．观察，发现规律：S1＝12＝1，S2＝S1＝，S3＝S2＝，S4＝S3＝，…，∴Sn＝（）n﹣1．当n＝2022时，S2022＝（）2022﹣1＝（）2021，故选：B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律Sn＝（）n﹣1．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．8．意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为，右图中空白部分的面积为，则下列表示的等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】左图中空白部分的面积=两个边长分别为a、b的正方形的面积+两个直角边长分别为a、b的直角三角形的面积，右图中空白部分的面积=一个边长为c的正方形的面积+两个直角边长分别为a、b的直角三角形的面积，据此解答即可．【详解】解：，．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的证明、直角三角形和正方形的面积等知识，解题的关键是理解图形提供的信息，正确表示出．9．如图，在等腰中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则的最小值是（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】求两条线段和最小问题，由得出点的运动路径后，再由牧人饮马问题的方法做出对称点化折为直即可得到的最小值．【详解】解：连接、，是等腰直角三角形，在中，为的中点，同理点在的垂直平分线上运动，作关于垂直平分线的对称点，的最小值为，为中点，，在中故选：C【点睛】本题考查了以等腰直角三角形为背景的最短路径问题，找出的运动路径是解决问题的关键．10．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＋200＝12a＋16b＋20c，则△ABC三条角平分线的交点到一条边的距离为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先配方求a，b，c的值，再证明如图，为的三条角平分线的交点，过作垂足分别为则再利用等面积法可得答案.【详解】解：∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c．∴a2-12a+36+b2-16b+64+c2-20c+100=0．∴（a-6）2+（b-8）2+（c-10）2=0．∴a-6=0，b-8=0，c-10=0．∴a=6，b=8，c=10．如图，为的三条角平分线的交点，过作垂足分别为则而又．故选：B．【点睛】本题考查完全平方式的应用，非负数的性质，角平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，解题关键是正确配方求出a，b，c的值并判断三角形是直角三角形．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．计算：|－|＋2＝________.【答案】＋【分析】先去掉绝对值，再合并同类二次根式，计算即可得到结果．【详解】|－|＋2＝-+2=＋.故答案为＋.【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．已知，，求下列各式的值：（1）______；（2）______；（3）______．【答案】

16

【分析】（1）把，代入进行计算即可；（2）先计算，再把化为，再代入计算即可；（3）把化为，再整体代入计算即可．【详解】解：（1）∵，，（2）∵，，∴（3）∵∴故答案为：（1）；（2）16；（3）【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，掌握“利用完全平方公式与平方差公式进行简便运算”是解本题的关键．13．已知a，b，c为三角形三边，则=______．【答案】【分析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．【详解】由三角形的三边关系定理得：则故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理、二次根式的运算，掌握理解三角形的三边关系定理是解题关键．14．如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．【答案】【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到．【详解】解：的垂直平分线交于点F，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）∴∵，是角平分线∴∵∴，∴【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．15．如图，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为______．【答案】【分析】要求金属丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，此时这圈金属丝的周长最小为2AC，∵圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为3dm，∴AB=3dm，BC=3dm，∴在Rt中，由勾股定理得：dm，则2AC=dm，即：这圈金属丝的周长最小为dm．故答案为：.【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．16．已知：如图，等边中，，，，则的长为___________．【答案】【分析】过D作于点D，使得，先证明是等边三角形得，然后利用勾股定理求出，再证明，从而可得出结果．【详解】解：如图1，过D作于点D，使得，，，，，，是等边三角形，，，，在中，，，，，是等边三角形，，，，即，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及性质、勾股定理以及全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造等边三角形和直角三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．计算(1)(2)【答案】(1)2(2)【分析】（1）先计算算术平方根，立方根，再合并即可；（2）先计算乘方运算，化简绝对值，再合并同类二次根式即可．(1)解：(2)【点睛】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的加减运算，掌握“实数的混合运算的运算顺序与二次根式的加减运算运算法则”是解本题的关键．18．先化简，再求值：，其中a，b满足．【答案】【分析】先利用非负数的性质求得a，b的值，然后代入化简后的代数式求值即可．【详解】∵a，b满足．∴a＋1＝0，b﹣＝0，解得a＝﹣1，b＝，当a＝﹣1，b＝时，∴原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确地把所求的代数式化简是解题的关键．19．先化简，再求值：其中，．【答案】ab，-1【分析】先把所给代数式化简，然后把，代入计算即可．【详解】解：原式===ab，当，时，原式=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.20．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它恰好落在斜边上，且与重合，求的长．【答案】3cm【分析】由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：∵在中，两直角边，，由折叠的性质可知：，，设cm，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：．即cm．【点睛】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，一元一次方程的解法，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．21．如图①，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，过点A作直线AC的垂线交BC于点D．(1)求∠BAD的度数；(2)若AC＝2，求AB的长；(3)如图②，过点A作∠DAC的角平分线交BC于点P，点D关于直线AP的对称点为E，试探究线段CE与BD之间的数量关系，并对结论给予证明．【答案】(1)15°(2)2(3)CE=2BD【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠BAC=105°，再由∠DAC=90°，即可得出答案；（2）作AF⊥BC于F，由含30°角的直角三角形的性质得AF=AC=，再由等腰直角三角形的性质得AF=BF，从而求出AB的长；（3）作AF⊥BC于F，设DF=x，则AD=2x，AF=x，AC=x，则BD=BF-DF=x-x，由点D关于直线AP的对称点为E，得AE=AD=2x，可表示出CE的长，从而得出结论．【详解】（1）解：∵∠B=45°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-30°=105°，∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=105°-90°=15°；（2）作AF⊥BC于F，∵∠C=30°，∴AF=AC=，∵∠ABF=45°，∴AF=BF=，∴AB=AF=×=2；（3）CE=2BD，理由如下：作AF⊥BC于F，∵∠DAF+∠CAF=90°，∠CAF+∠C=90°，∴∠DAF=∠C=30°，设DF=x，则AD=2x，AF=x，AC=x，∵BF=AF=x，∴BD=BF-DF=x-x，∵点D关于直线AP的对称点为E，∴AE=AD=2x，∴CE=AC-AE=x-2x，∴CE=2BD．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，用x的代数式表示各线段长，从而发现线段之间的数量关系是解题的关键．22．在长方形ABCD中，截取如图所示的阴影部分，已知EC＝5，CF＝5，FG＝4，EG＝3，∠EGF＝90°．（1）连接EF，求证：∠FEC＝90°；（2）求出图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先求EF，再利用勾股定理的逆定理得出△EFC为直角三角形，即可得证；（2）先求出和的面积，再利用得出阴影部分的面积．【详解】解：（1）∵∠EGF＝90°，根据勾股定理得：EF=，∵，，∴，∴△EFC为直角三角形，∴∠FEC=90°；（2）∵，，∴．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．23．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是；（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系；（3）利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b＝17，ab＝60，求斜边c的值．【答案】（1）（a+b）2=2ab+a2+b2；（2）a2+b2=c2，理由见详解；（3）13【分析】（1）用两种方法表示大正方形的面积，即可得到答案；（2）用两种方法表示中间的正方形的面积，即可得到答案；（3）利用（a+b）2=2ab+a2+b2和a2+b2=c2，代入求值，即可．【详解】解：（1）由图形可知：∵大正方形的面积=2ab+a2+b2，大正方形面积=（a+b）2，∴（a+b）2=2ab+a2+b2，故答案是：（a+b）2=2ab+a2+b2；（2）∵中间正方形的面积=c2，中间正方形的面积=（a+b）2-4×ab=a2+b2，∴a2+b2=c2；（3）由（1）可知：（a+b）2=2ab+a2+b2，∴a2+b2=（a+b）2-2ab=172-2×60=169，又∵a2+b2=c2，∴c2=169，即c=13（负值舍去），【点睛】本题主要考查完全平方公式勾股定理的证明，结合图形，会用代数式表示同一个图形的面积是解题的关键．24．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，轴，与轴交于点，，且，的长满足．（1）求点A的坐标；（2）若，求的面积；（3）在（2）的条件下，正方形的边上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）9；（3）存在，，【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性可求出AE，DE的值，即可得出结果；（2）如图1，过点做轴的垂线，交和的延长线于点和点，利用长方形DCFG即可得解；（3）通过可知，分别讨论M点在四条边上时是否存在即可．【详解】（1），，且，，．，．，．（2）如图1，过点做轴的垂线，交和的延长线于点和点．，，．，，．，．长方形DCFG，，，．长方形DCFG．（3）正方形的边上存在点，使，，，如图2，当点在线段AD上时，当点在线段BC上时，当点在线段CD上时，此时不存在；当点在线段AB上时，可知当点在点A的位置时到CE的距离最近，此时不存在，，．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标，面积以及动点问题，有一定综合性，也有一定难度，需要利用数形结合的思想解题，熟练掌握平面直角坐标系中面积的求解方法是解题的关键．25．如图1，点A的坐标为(a，2)，点B的坐标为(b，0)，且a，b满足+（b﹣4）2＝0，点