重庆市忠县2024年中考适应性考试数学试题（含解析）

重庆市忠县2024年中考适应性考试数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，以O为圆心的圆与直线y=-x+括交于A、B两点，若AOAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（）

21

A.171B.71-----nD.-7T

333

2.下列各组单项式中,不是同类项的一组是（）

A.和B.3xy和——C.5x?y和—2yx?D.-3。和3

3

3.若》=-2是关于x的一元二次方程产+一依一层=。的一个根，则。的值为（)

2

A.-1或4B.-1或一4

C.1或一4D.1或4

4.如图，将△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10,DO=4,平移距离为6,则阴影部分面积为

()

AD

A.42B.96C.84D.48

5.把8a3-8彦+2"进行因式分解，结果正确的是（）

A.2a（4a2-4a+l）B.8a2（a-1）C.2a（2a-1）2D.2a(2a+l)2

6.下列命题中真命题是（）

A.若a2=b）则a=bB.4的平方根是±2

C.两个锐角之和一定是钝角D.相等的两个角是对顶角

7.如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（）

A.直线y=lB.直线X=1c.y轴D.x轴

9.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如

图：一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说：“射线OP就是NBOA的

角平分线.”他这样做的依据是（）

A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D.以上均不正确

10.如图，BD〃AC,BE平分NABD,交AC于点E,若NA=40。，则N1的度数为（）

A.80°B.70°C.60°D.40°

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

3

11.如图，RtAABC中，NC=90。，43=10,cosB=-,则AC的长为

12.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是

13.如图，以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P是切点，AB=12V3,OP=6则劣弧

AB的长为.（结果保留万）

14.计算：甲耳的值是.

15.计算（2百-JI）?的结果等于.

16.AABC内接于圆。，设NA=x，圆。的半径为「，则所对的劣弧长为（用含方厂的代数式表示）.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）（2016湖南省株洲市）某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分

由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%,平时成绩占20%,并且当

综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等.

（1）孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时

成绩各得多少分？

（2）某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？

（3）如果一个同学综合评价要达到A等，他的测试成绩至少要多少分？

18.（8分）我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相

交成任意的角8（0。<3<180。且to#90。），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为」斜坐标系的坐标轴,

公共原点称为斜坐标系的原点，如图1,经过平面内一点尸作坐标轴的平行线和PN,分别交x轴和y轴于点M,

N.点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做尸点的x坐标和y坐标，有序实数对（x,y）称为点尸的斜坐标，

记为P（x,J）.

（1）如图2,8=45。，矩形04"C中的一边04在x轴上，3c与y轴交于点O,OA=2,OC=l.

①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A,B,C.

②设点尸（x,j）在经过0、3两点的直线上，则y与x之间满足的关系为.

③设点。(X,j)在经过A、。两点的直线上，则y与x之间满足的关系为

(2)若8=120。，。为坐标原点.

①如图3,圆M与y轴相切原点O,被x轴截得的弦长。4=4b，求圆M的半径及圆心M的斜坐标.

②如图4,圆M的圆心斜坐标为M(2,2),若圆上恰有两个点到y轴的距离为1,则圆M的半径r的取值范围是

19.(8分)在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，

这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元.求每张门票原定的票价；根据实际情况，活

动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.

20.(8分)如图1,B(2m,0),C(3m,0)是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m>0,E(0,n)为y

轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD,使AB=2BC,画射线OA,把AADC绕点C逆时针旋转90。得

AA'D'C,连接ED，，抛物线y=。必+6X+。(「/())过E,A，两点.

(1)填空：ZAOB=°,用m表示点A，的坐标：A，(,)；

BP1

(2)当抛物线的顶点为A，，抛物线与线段AB交于点P,且——=—时，AD9E与AABC是否相似？说明理由;

AP3

(3)若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M,过M作MNLy轴，垂足为N：

①求a,b,m满足的关系式；

②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10,请你探究a的取值范围.

21.(8分)已知平行四边形.必?CD.

尺规作图：作的平分线交直线于点,•，交「延长线于点

(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；在(1)的条件下，求证：CE=CF.

22.(10分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(3,4).

(1)画出AABC关于y轴的对称图形△AiBiCi,并写出Bi点的坐标；

(2)画出AABC绕原点。旋转180。后得到的图形AA2B2c2,并写出B2点的坐标；

(3)在x轴上求作一点P,使APAB的周长最小，并直接写出点P的坐标.

23.(12分)如图，在RtAABC中，ZC=90，点。在边上，DE-LAB，点E为垂足，AB=7,ZDAB=45°,

3

tanB=­,

4

⑴求。E的长；

⑵求NCDA的余弦值.

D

24.在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分

别装入标有数字1,2,3,4的四个和标有数字1,2,3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如

果所摸出的球上的数字之和小于5,那么小王去，否则就是小李去.用树状图或列表法求出小王去的概率；小李说：“这

种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1,C

【解析】

过点。作OELAB,

Vy=-X+A/3,

；.D#,0）,C（0市）,

:.COD为等腰直角三角形，NO。。=45°,

G>E=OD-sin450=V3--=—，

22

••,△Q钻为等边三角形,

:.ZOAB=60°,

，AO=&=旦3=6.

sin60°26

：,AB=2TI-r=2后7i•—=n-故选C.

360063

2、A

【解析】

如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项.

【详解】

根据题意可知：x2y和2xy2不是同类项.

故答案选：A.

【点睛】

本题考查了单项式与多项式，解题的关键是熟练的掌握单项式与多项式的相关知识点.

3、C

【解析】

3

试题解析：•••x=-2是关于x的一元二次方程/+—仪—Y=o的一个根，

2

3

/.(-2)2+—ax(-2)-a2=0,即a2+3a-2=0,

2

整理，得(a+2)(a-1)=0,

解得ai=-2,a2=l.

即a的值是1或・2.

故选A.

点睛：一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有

一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

4、D

【解析】

由平移的性质知，BE=6,DE=AB=10,

AOE=DE-DO=10-4=6,

；・S四边形ODFC=S梯形ABEO=—(AB+OE)*BE=——(10+6)x6=l.

22

故选D.

【点睛】

本题考查平移的性质，平移前后两个图形大小，形状完全相同，图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的

距离就是平移的距离.

5,C

【解析】

首先提取公因式2a,进而利用完全平方公式分解因式即可.

【详解】

解：8a3-8a2+2a

=2a(4a2-4a+l)

=2a(2a-l)2,故选C.

【点睛】

本题因式分解中提公因式法与公式法的综合运用.

6、B

【解析】

利用对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】

A、若a2=b)贝！|a=±b,错误，是假命题；

B、4的平方根是±2,正确，是真命题；

C、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；

D、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题.

故选B.

【点睛】

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义，难度不大.

7、A

【解析】

试题分析：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面中间有一个正方形.

故选A.

【考点】简单组合体的三视图.

8、C

【解析】

根据顶点式y=a(x-h)2+k的对称轴是直线x=h,找出h即可得出答案.

【详解】

解：二次函数y=x2的对称轴为y轴.

故选:C.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，解题关键是顶点式y=a（x-h）2+k的对称轴是直线x=h,顶点坐标为（h,k）.

9、A

【解析】

过两把直尺的交点C作CFLBO与点F,由题意得CELAO,因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF,再

根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分NAOB

【详解】

如图所示：过两把直尺的交点C作CFLBO与点F,由题意得CELAO,

1•两把完全相同的长方形直尺，

.\CE=CF,

AOP平分NAOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），

故选A.

【点睛】

本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理.

10、B

【解析】

根据平行线的性质得到ZABD=140°,根据BE平分NA3。，即可求出N1的度数.

【详解】

解：'：BD//AC,

AZABD+ZA=180°,

ZABD=140°,

•.•3E平分NA3O,

AZl=-ZABD=-x140°=70°

22

故选B.

【点睛】

本题考查角平分线的性质和平行线的性质，熟记它们的性质是解题的关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、8

【解析】

Be3

在R3ABC中，cosB=—=—,AB=10,可求得BC,再利用勾股定理即可求AC的长.

AB5

【详解】

•.•RtZkABC中，ZC=90°,AB=10

BC3

..cosB=-----=一，得MBC=6

AB5

由勾股定理得BC=7AB2-BC2=V102-62=8

故答案为8.

【点睛】

此题主要考查锐角三角函数在直角三形中的应用及勾股定理.

12、aV2且aRL

【解析】

利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围.

【详解】

试题解析：••・关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，

.,.△=b2-4ac>0,即4-4x(a-2)xl>0,

解这个不等式得，a<2,

又•.•二次项系数是(a-1),

故a的取值范围是a<2且arL

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a的取值范围，同时

方程是一元二次方程，二次项系数不为零.

13、87t.

【解析】

试题分析：因为AB为切线，P为切点，

OP±AB,AP=BP=6A/3

OP=6,OB=VOP2+PB2=12

OP1AB,OB=2OP

ZPOB=60°,ZPOA=60°

劣弧AB所对圆心角亘遥懑凝仃

,1202.c0

Z-1/YZ=-12=81

u1803

考点：勾股定理;垂径定理;弧长公式.

14、-1

【解析】

解：V-64--1.故答案为：一1.

15、22-4而

【解析】

根据完全平方公式进行展开，然后再进行同类项合并即可.

【详解】

解：(275-A/2)2

=20-4而+2

=22-4回.

故填22-4丽.

【点睛】

主要考查的是完全平方公式及二次根式的混合运算，注意最终结果要化成最简二次根式的形式.

90—xx—90

16、---------7ir或--------nr

9090

【解析】

分0°<x。学0。、90。〈乂。刍80。两种情况，根据圆周角定理求出NDOC,根据弧长公式计算即可.

【详解】

解：当0。<*%90。时，如图所示：连接OC,

由圆周角定理得，ZBOC=2ZA=2x°,

.,.ZDOC=180°-2x°,

,I,(180-2x)i厂(90-x)n

：.ZOBC所对的劣弧长-----------=-------,

18090

当90。<*。/180。时，同理可得，NOBC所对的劣弧长=(2XT80)%=(x—90)乃.

18090

ET八出亡”90—xx—90

故答案为：-------nr或--------nr.

9090

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算，掌握弧长公式、圆周角定理是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)孔明同学测试成绩位90分，平时成绩为95分；(2)不可能；(3)他的测试成绩应该至少为1分.

【解析】

试题分析：(D分别利用孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，分别得出

等式求出答案；

(2)利用测试成绩占80%,平时成绩占20%,进而得出答案；

(3)首先假设平时成绩为满分，进而得出不等式，求出测试成绩的最小值.

x+y=185x-90

试题解析：(D设孔明同学测试成绩为X分，平时成绩为y分，依题意得：｛。八。；cc。,「J解之得：｛nc-

80%x+20%y=91y-95

答：孔明同学测试成绩位90分，平时成绩为95分；

(2)由题意可得：80-70x80%=24,244-20%=120>100,故不可能.

(3)设平时成绩为满分，即100分，综合成绩为100x20%=20,设测试成绩为a分，根据题意可得：20+80%aN80,

解得：a>l.

答：他的测试成绩应该至少为1分.

考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用.

18、（1）①（2,0）,（1,立），（-1,0）；②y=J^x；③y=V^x,y=-—x+,/2;⑵①半径为4,M（述，

23

②G-l〈r<6+1.

3

【解析】

(1)①如图2-1中，作BE〃OD交OA于E,CF〃OD交x轴于F.求出OE、OF、CF、OD、BE即可解决问题；

②如图2-2中，作BE〃OD交OA于E,作PM〃OD交OA于M.利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；③

如图3-3中，作QM/7OA交OD于M.利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；

(2)①如图3中，作MFLOA于F,作MN〃y轴交OA于N.解直角三角形即可解决问题；②如图4中，连接OM,

作MK〃x轴交y轴于K,作MN_LOK于N交。M于E、F.求出FN=NE=1时，G>M的半径即可解决问题.

【详解】

(1)①如图2-1中，作BE〃OD交OA于E,CF〃OD交x轴于F,

:.BD=OE=1,OD=CF=BE=72，

AA（2,0）,B（1,0）,C（-1,叵）,

故答案为(2,0),(1,亚),(-1,0)；

②如图2-2中，作BE〃OD交OA于E,作PM〃OD交OA于M,

VOD/7BE,OD〃PM,

ABE/7PM,

.BEOE

,,PM-OM'

.V2_1

••———,

y尤

:乎及X；

③如图2-3中，作QM〃OA交OD于M,

.x_42-y

’《一丁

•'•y=--X+72，

2

故答案为y=&x,y=-5x+&；

(2)①如图3中，作MF_LOA于F,作MN〃y轴交OA于N,

,,,<0=120°,OM_Ly轴，

/.ZMOA=30°,

•.•MF±OA,OA=4若

；.OF=FA=2逝遂，

：.FM=2,OM=2FM=4,

；MN〃y轴，

•\MN±OM,

・・・MN=—,ON=2MN=—,

33

②如图4中，连接OM,作MK〃x轴交y轴于K,作MN_LOK于N交。M于E、F.

；MK〃x轴，w=120°,

，/MKO=60°,

VMK=OK=2,

/.△MKO是等边三角形,

.*.MN=5

当FN=1时，MF=G-1,

当EN=1时，ME=G+L

观察图象可知当。M的半径r的取值范围为6-l<r<73+1.

故答案为：73-l<r<V3+l.

【点睛】

本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面直角坐标系等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题.

19、(1)1(2)10%.

【解析】

试题分析：(1)设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为(x-80)元，根据“按原定票价需花费6000

元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；

(2)设平均每次降价的百分率为y,根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可.

试题解析：(1)设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为(x-80)元，根据题意得

6000_4800

xx-80'

解得X=l.

经检验，X=1是原方程的根.

答：每张门票的原定票价为1元；

(2)设平均每次降价的百分率为y,根据题意得

1(1-y)2=324,

解得：yi=0.1,y2=1.9(不合题意，舍去).

答：平均每次降价10%.

考点：1.一元二次方程的应用；2.分式方程的应用.

20、(1)45；(m,-m)；(2)相似；(3)@b=—l—am；®—a<\.

4

【解析】

试题分析：(1)由B与C的坐标求出OB与OC的长，进一步表示出BC的长，再证三角形AOB为等腰直角三角形,

即可求出所求角的度数；由旋转的性质得，即可确定出A，坐标；

BP1

(2)ADfOE^AABC.表示出A与B的坐标，由——=—,表示出P坐标，由抛物线的顶点为A。表示出抛物线

AP3

解析式，把点E坐标代入即可得到m与n的关系式，利用三角形相似即可得证；

(3)①当E与原点重合时，把A与E坐标代入'=以2+法+。，整理即可得到a,b,m的关系式；

②抛物线与四边形ABCD有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，分两种情况考虑：

若抛物线过点C(3m,0),此时MN的最大值为10,求出此时a的值；若抛物线过点A(2m,2m),求出此时a的

值，即可确定出抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围.

试题解析：(1)VB(2m,0),C(3m,0),.*.OB=2m,OC=3m,即BC=m,：AB=2BC,，AB=2m=0B,>NABO=90。,

...△ABO为等腰直角三角形，.•.NAOB=45。，由旋转的性质得：OD，=D，A，=m,即A，(m,-m)；故答案为45；m,

-m；

(2)△DrOE^AABC,理由如下：由已知得：A(2m,2m),B(2m,0),AP(2m,-m),为

AP32

抛物线的顶点，，设抛物线解析式为y=a(x-m)2-m,,抛物线过点E(0,n),/.n-«(0-zn)2-m,即m=2n,

AOE：OD^BC：AB=1：2,VZEODf=ZABC=90°,/.△D,OE^AABC；

n—0

(3)①当点E与点O重合时，E(0,0),•抛物线丁=。必+"；+。过点E,A,：,{,,整理得：

am2+bm+〃=—m

am+b=-1,即Z7=—1一am；

②•・,抛物线与四边形ABCD有公共点，.••抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，若抛物线过点C(3m,

113

0),此时MN的最大值为10,，a(3m)2-(1+am)*31«=0,整理得：am=—,即抛物线解析式为y=0xx,

22m2

y=x

由A(2m,2m),可得直线OA解析式为y=x,联立抛物线与直线OA解析式得：｛123，解得：x=5m,

V=-----X——X

2m2

y=5m,即M(5m,5m),令5m=10,即m=2,当m=2时，a=—；

4

若抛物线过点A(2m,2m),则a(2加工—(1—〃加).2加=2加，解得：am=2,Vm=2,Aa=l,则抛物线与四边形ABCD

有公共点时a的范围为!

考点：1.二次函数综合题；2.压轴题；3.探究型；4.最值问题.

21、(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

试题分析：(1)作NBAD的平分线交直线BC于点E,交DC延长线于点F即可；

(2)先根据平行四边形的性质得出AB〃DC,AD/7BC,故N1=N2,Z3=Z1.再由AF平分NBAD得出N1=N3,

故可得出N2=N1,据此可得出结论.

试题解析：(1)如图所示，AF即为所求；

(2)•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃DC,AD〃BC,/.Z1=Z2,Z3=Z1.

；AF平分NBAD,：.Z1=Z3,：.Z2=Z1,.".CE=CF.

考点：作图一基本作图；平行四边形的性质.

22、(1)画图见解析；(2)画图见解析；(3)画图见解析.

【解析】

试题分析：(1)、根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点Ai、Bi、G的位置，然后顺次连接即可；(2)、根据网

格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；(3)、找出点A关于x轴的对称点

N,连接A，B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、B