专题1.1等腰三角形（专项训练）-2022-2023学年八年级数学下册《考点解读专题训练》（北师大版）2

专题1.1等腰三角形（专项训练）1．等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．条件不够无法计算【答案】B【解答】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立，当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为3+6+6＝15．故选：B．2．若（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．8或10【答案】C【解答】解：根据题意得，a﹣2＝0，b﹣4＝0，解得a＝2，b＝4，①a＝4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，∵4、4、2能组成三角形，∴三角形的周长为10，②a＝2是腰长时，三角形的三边分别为4、2、2，不能组成三角形，综上所述，三角形的周长为10．故选：C．3．若一个等腰三角形有一个内角为82°，则它的底角为（）A．82° B．16° C．82°或49° D．82°或36°【答案】C【解答】解：有两种情况：①底角是82°，②顶角是82°，则底角是×（180°﹣82°）＝49°，所以底角为82°或49°，故选：C．4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是∠ABC的角平分线，则∠ADB的度数等于（）A．70° B．100° C．105° D．120°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，又∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝35°，∴∠ADB＝180°﹣（40°+35°）＝105°．故∠ADB的度数为105°．故选：C．5．木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（）A．角平分线定理 B．等腰三角形的三线合一 C．线段垂直平分线定理 D．两直线垂直的性质【答案】B【解答】解：木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，当重锤经过等腰三角形的底边的中点时，就能检查出这根横梁水平，否则就不水平，所以解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一，故选：B．6．如图，AB∥CD，∠GFD＝32°，EG＝EF，则∠EFG的度数等于（）A．64° B．32° C．62° D．96°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∠GFD＝32°，∴∠EGF＝∠GFD＝32°，∵EG＝EF，∴∠EFG＝∠EGF＝32°．故选：B．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的角平分线，∠C＝70°，则∠BDC＝（）A．30° B．40° C．70° D．75°【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝35°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，故选：D．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，DA⊥AB．设∠CAD＝38°，则∠ADB＝（）A．60° B．62° C．64° D．66°【答案】C【解答】解：∵DA⊥AB，∴∠BAD＝90°，∵∠CAD＝38°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝128°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝26°，∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝64°，故选：C．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AC边的垂直平分线DE分别交AC、AB边于点D、E，连接CE，则∠ECB的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵DE垂直平分AC，∴AE＝CE，∴∠ACE＝∠A＝40°，∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝70°﹣40°＝30°．故选：B．10．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中的等腰三角形共有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴△ABC是等腰三角形．∴∠C＝∠ABC＝72°．∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴△ABD是等腰三角形．∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°＝∠C，∴△BDC是等腰三角形．即共有3个等腰三角形．故选：B．11．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）个．A．5 B．6 C．8 D．9【答案】C【解答】解：如图所示，分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的6个交点即为所求；作OA的垂直平分线，与坐标轴的2个交点即为所求；综上所述，满足条件的点P有8个．故选：C．12．如图所示，点E、F为网格中的格点，△DEF为等腰三角形，且点D是网格中的格点，则符合条件的三角形点D有（）A．4个 B．6个 C．9个 D．10个【答案】C【解答】解：P点位置如图所示：故符合条件的P点有9个，故选：C．13．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，则△AMN的周长为（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】B【解答】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝14．故选：B．14．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（）A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．求不出来【答案】C【解答】解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里），∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，∴∠C＝∠NAC，∴BC＝AB＝30海里．即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选：C．15．如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，AB于M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD＝AC+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（）A．①② B．①③ C．①②③ D．③④【答案】B【解答】解：由AB＝AC，∠A＝36°知∠ABC＝∠C＝72°，∵MN是AB的中垂线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠DBC＝36°，∴∠C＝∠CDB＝72°，∴△CDB是等腰三角形，∴①正确，又∵∠ABC＝72°，∴∠ABD＝36°，∴线段BD是△ACB的角平分线，∵三角形的角平分线是线段，∴②错误，由AD＝BD，AB＝AC知，△BCD的周长＝BC+CD+BD＝AC+BC，∴③正确，∵AM⊥MD，而△BCD为锐角三角形，∴④错误，∴正确的为：①③．故选：B．16．如图，∠ABC的平分线BE交AC于点E，点D在AB上，且DB＝DE．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠A＝36°，AB＝AC，求∠BEC的度数．【解答】（1）证明：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∵DB＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠EBC＝∠DEB，∴DE∥BC；（2）解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠DBE＝∠EBC＝∠ABC＝×72°＝36°，∴∠BEC＝∠A+∠DBE＝36°+36°＝72°，即∠BEC的度数为72°．17．（2022秋•江宁区校级月考）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行证明．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点．求证：△ABC是等腰三角形．（用两种不同的方法证明）方法一：方法二：【解答】证明：方法一：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，∵D是BC中点，∴BD＝CD，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；方法二：延长AD，使DE＝AD，连接BE，∵D是BC中点，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴∠CAD＝∠BED，AC＝EB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BED＝∠BAD，∴AB＝EB，∵AC＝EB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDE和△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，∵∠B+（∠BED+∠BDE）＝180°，∠DEF+（∠BED+∠BDE）＝180°，∴∠B＝∠DEF，∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝（180°﹣50°）＝65°，∴∠DEF＝65°．19．在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．（1）求证：△BCD是等腰三角形．（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．【解答】（1）证明：∵AE＝AF，∠A＝∠A，∠ABE＝∠ACF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACF，即∠DBC＝∠DCB，∴△BCD是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝（180°﹣40°）＝70°，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠DBC＝∠DCB，∴△DBC是等边三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠ABE＝10°，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°，∵AB＝10cm，∴AM＝AB﹣BM＝10﹣2t，AN＝t；（2）∵△AMN是以MN为底的等腰三角形，∴AM＝AN，即10﹣2t＝t，∴当t＝时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形；（3）当MN⊥AC时，MN∥BC．∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°∵MN∥BC，∴∠NMA＝30°∴AN＝AM，∴t＝（10﹣2t），解得t＝，∴当t＝时，MN∥BC，CN＝5﹣×1＝．21．（2021秋•上城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．【解答】（1）证明：∵AB＝A