2025年高考数学一轮复习：基本不等式 专项训练原卷版

2.2.1-基本不等式-专项训练（原卷版）

基础巩固练

1.若实数a,b满足a+b=L则ab的最大值为（）.

A.2B.1C.工D.-

24

2.函数y=>1）的最小值为（）.

x—1

A.4B.2V3-3C.2V3D.2V3+3

3.已知正实数％,y满足:+；=1,则4町一3%-6y的最小值为（）.

A.2B.4C.8D.12

4.若一1<%<1,则y=与罕有（）.

2x—2

A.最大值—1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

5.下列不等式恒成立的是（）.

1

A.%H—22B.a+b>2^ab

X

C.映）2>D.a2+b2>2ab

6.若用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，规定车厢宽度为2m,则

车厢容积的最大值为（）.

A.（38-3V73）m3B.16m3C.4V2m3D.14m3

7.最大视角问题是德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般

被称为“米勒问题”.如图，树顶2离地面12米，树上另一点B离地面8米，若

某人站在高台上仰视此树，其双眼在离地面2米的C处，贝ijtan乙4cB的最大值

为（）.

8.已知正实数a,b满足ab+a+b=2,则a+2b的最小值为（）.

A.2V6-3B.2V2C.1D.V2

综合提升练

9.（多选题）已知a,5是两个正数，4是2a与16b的等比中项，则下列说法正确

的是（）.

A.ab的最小值为1B.ab的最大值为1

C.工+，的最小值为1D.工+，的最大值为：

ab4ab2

10.（多选题）以下说法正确的是（）.

A.若%>0,则2—3%一三的最大值为一4

X

B.当a2+乂=4时，a+匕W2-\/2

C.关于x的不等式/+2x>ax在［1,2］上有解等价于（/+2x）min>（ax）min在

［1,2］上成立

D.当久C（0A）时，sin久+心-的最小值为2加

2sinx

11.设%,y€>1,匕>1,若谈=b'=6,2a+I=16,则工+工的最大值为

xy

12.（双空题）已知实数X,y,z不全为0,则w=筌岩的最小值为二工，最

大值为

应用情境练

13.某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费（单位：万元）与

供热站到社区的距离（单位：千米）成反比，每月供热费（单位：万元）与供热

站到社区的距离成正比.如果在距离社区20千米处建立供热站，自然消费与供热

费分别为0.5万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社

区千米处.

14.毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一

个可以无限重复的树形图形（如图1）.现由毕达哥拉斯树部分图形作出图2,

△4BC为锐角三角形，面积为1,乙4cB=£以△ABC的三边为边长的正方形的

2

中心分别为如,“2,“3,则|时也2『+|M2M3|+|M3Mli2的最小值为

图1图2

创新拓展练

15.已知a>0,b>0,曲线/(K)=In%-2%+4在％=1处的切线为2,若点

M(a,b)在直线I上，贝?+★的最小值为1.

16.已知函数/(%)=mx2+nx(m>0).

(1)若=且九>一2,求三Y+2的最小值.

m+ln+2

(2)求证：函数y=/(x)在［1,2］上单调的充要条件是/(2)/(4)N0.

2.2.1-基本不等式-专项训练（解析版）

基础巩固练

1.若实数a,b满足a+b=l,则ab的最大值为（D）.

A.2B.1C.工D.-

24

［解析了・,。力<），a+b=19

・•・ab<（工）,ab<当且仅当a=b=工时，等号成立，

\2/42

・••（ab）max=:故选D.

2.函数y=3%+Co>1）的最小值为（D）.

X—1

A.4B.2V3-3C.2V3D.2V3+3

［解析］因为％>1,所以y=3（%—l）+C+3223（%—1）•二+3=2g+3,

X—1Yx—i

当且仅当3（%—1）=—-，即％=1+q时，等号成立，所以函数y=3%+>

x13x1

1）的最小值为2旧+3.故选D.

3.已知正实数”,y满足:+；=1,则4%y-3久一6y的最小值为（C）.

A.2B.4C.8D.12

21

［解析］由汽>0，丫>0且1+,=1,可得第y=x+2y,

所以4xy—3x-6y=4x+8y—3x-6y=x+2y=（：+：）Q+2y）=4+

竺+224+2方=8,

Xy\Xy

当且仅当竺=工，即％=4,y=2时，等号成立.故选C.

xy

4.若—1<%<1,则y=与竿有（A）.

2x—2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

［解析］由-得0<1—%<2,

所以y=_；.i^il=T（17）十±］W_；x2j（l-%）.W=T，当且仅

当1一%=即％=0时，等号成立，所以当％=0时，y==2：2有最大值一1.

1—x2x—2

故选A.

5.下列不等式恒成立的是（D）.

A.%+->2B,a+b>2y［ab

X

C.然）2>D.a2+b2>2ab

［解析］对于A,当“<0时，不等式显然不成立，故A错误；

对于B,（ia+b>2面”成立的条件为“a>0,b>0",故B错误；

对于C,当a=-时，不等式显然不成立，故C错误；

对于D,由a?+/—2ab=（a—6）220,得a2+b2、2ab,故D正确.

故选D.

6.若用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，规定车厢宽度为2m,则

车厢容积的最大值为（B）.

A.（38-3V73）m3B.16m3C.4A/2m3D.14m3

［解析］设长方体车厢的长为％m,高为/im,则2%+2・2九+2%九=32,即X+

2h+xh-16,

16—x+2h+xh>2>j2xh+xh,即xh+2>j2xh—16<0,

解得。〈标W2V2,

:.0<xh<8,

车厢的容积V—2xh<16（m3）,当且仅当x—2九,即x—4,/i=2时，等号成立，

车厢容积的最大值为16m3.故选B.

7.最大视角问题是德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般

被称为“米勒问题”.如图，树顶2离地面12米，树上另一点B离地面8米，若

某人站在高台上仰视此树，其双眼在离地面2米的C处，则tan乙4cB的最大值

为（C）.

A.空B・包C.迤D.江

5101510

［解析］如图，过点C作。。148,交AB于点、D,则43=4/。=10乃。=6.

设乙在△中，

BCD=a,CD=%(%>0),RtBCDtana=—CD=x

在Rt△ACD中，tan^ACD=—=—.

4,4

所以tanz■力=tan(乙4C。—a)=

1+--

即％=2后时，等号成立，故tan乙4cB的最大值为逗.故选C.

8.已知正实数a,匕满足ab+a+b=2,则a+2b的最小值为（A）.

A.2V6-3B.2V2D.V2

［解析］因为a>0/>0,ab+a+b-2,

所以则

a(b+1)=2—b,a=b+1

由得令则

a=b+l>0,0<b<2,t=b+1,1<CV3,b=t—1,

所以a+2b=---+2b=~~~&~~~+2(t—1)=—+2t—3之2［―,2t-3=

b+itt\t

2V6-3,

当且仅当：=23即”乎，5=乎一1时，等号成立，

则a+2b的最小值为2遥一3.故选A.

综合提升练

9.（多选题）已知a,5是两个正数，4是2a与16b的等比中项，则下列说法正确

的是（BC）.

A.ab的最小值为1B.ab的最大值为1

C.1+石的最小值为ID.1+］的最大值为Q

［解析］因为2a•16b=42,所以2。+4b=23

所以a+45=422A/4ab,可得abWl,当且仅当a=4b,即a=2,b=1■时，等

号成立，

所以ab的最大值为1,故A错误，B正确.

/I,1\-7、11乙，…钻，a、i

因为工+7=6+/.9z+4m%=1(1+4+1+],5+2=-x

ab-I4

(5+4)=1,当且仅当竺=*即。=：乃=:时，等号成立，所以工+：的最小值为之

4ab33ab4

无最大值，故C正确，D错误.故选BC.

10.(多选题)以下说法正确的是(AB).

A.若%>0,贝IJ2—3久一三的最大值为一4

X

B.当a?+^2=4时，a+bW2A/2

C.关于X的不等式%2+2x>ax在［1,2］上有解等价于(/+2%)min>(a%)min在

［1,2］上成立

D.当％e(0A)时，sin%+3的最小值为2鱼

2sin%

［解析］对于A,因为％>0,所以3久十三223%/=6(当且仅当3%=三，即％=1

X7XX

时，等号成立)，所以2—3%—4—4,所以2—3%—的最大值为-4,故A正

XX

确；

对于B,因为次+b222ab,所以2(次+62)之(q+瓦)2,所以@+力42世，

当且仅当a=b=鱼时，等号成立，故B正确；

对于C,关于％的不等式/+2x>ax在［L2］上有解等价于a<(立")在［L2］

上成立，故C错误；

对于D,当第W(0微)时，sin%E(0,1)，令力=sin第C(0,1),/(t)=t+由对

勾函数的性质易知/(t)=t+：在(0,1)上单调递减，所以sin久十高在(0弓)上无

最值，故D错误.故选AB.

11.设％,yeR,a>1,5>1,若a*=67=6,2a+b=16,贝壮+工的最大值为

xy

51oge2.

［解丽因为谈=/=6,所以％=loga6,y=log/,6,

又1嗝6・log6a=翳需=Uog匕6・log6b=翳1=1，

所以：=log6a3=log6b.

xy

2

因为a>l/>1,根据基本不等式有2abW(等)=64,

当且仅当2a=b,即a=4,b=8时，等号成立，

所以ab432,

11

所以-+-=log6a+log6b=log6ab<log32=51og2,

xy66

所以—I—的最大值为51og62.

xy

12.（双空题）已知实数％,y,z不全为0,则卬=广产的最小值为二工,最

大值为L

［解析］-当且仅当y=。，％=z时，等号

成立，所以w的最小值为—1.

W=广广zqJ+%：+z：=i,当且仅当％=z时，等号成立，所以W的最大值为

xz+yz+zzxz+yz+zz

1.

应用情境练

13.某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费（单位：万元）与

供热站到社区的距离（单位：千米）成反比，每月供热费（单位：万元）与供热

站到社区的距离成正比.如果在距离社区20千米处建立供热站，自然消费与供热

费分别为0.5万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社

区分千米处.

［解析］设供热站建在离社区久千米处，自然消费为=，万元，供热费力=k2%万

元，

由题意得，当％=20时，y1=0.5,丫2=8,

所以的=20x0.5=10,e

匕乙、，io2

所以为=—,y2=-%,

所以两项费用之和为yi+y2=，+?之2•蓝=4,

当且仅当〃=g，即第=5时，等号成立，

所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处.

14.毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一

个可以无限重复的树形图形（如图1）.现由毕达哥拉斯树部分图形作出图2,

△2BC为锐角三角形，面积为1,乙4cB=g以△ABC的三边为边长的正方形的

6

2

中心分别为a,M2,M3,则+\M2M3\+中3Mli2的最小值为22-4Vl.

图1图2

［解析］由题意知，1,^ACB

SAABC==P

设^ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

1-11

因为SAABC=-ctbsinZ-ACB,1=-ab-所以ab=4,

由余弦定理得c?=a2+b2-2abcosZ-ACB=a2+b2—4V3.

在△”24”3中，MM2|=—b,\AM3\=—C^M2AM3=^BAC+-9

1

2+722V2-V2-7

c-D2c2D

由余弦定理可得|M2M3/2・3（皿。+£）二手+

bcsinZ-BAC,

1kZI2

又538。=方A$也287^=1，所以bcsinNBZC=2，贝U|M2M3『=r2・

同理，=?+2,|M3Mli2=，+2.

222222

故+\M2M3\+|M3Mli2=a+b+c+6=2(a+b)+6-4V3>

4ab+6-4A/3=22-4V3,当且仅当a=b=2时，等号成立，所以+

222

|M2M3|+|M3Mli2>22-4V3,&|M1M2|+|M2M3|+|M3Mli2的最小值为

22-4V3.

创新拓展练

15.已知a>0,b>0,曲线/(为)=In%-2%+4在久=1处的切线为2,若点

M(a力)在直线I上，则工+上的最小值为1.

aD+1—

［解析］由f(x)=In%—2%+4,得/(%)=［-2,

/'(I)=1-2=-1,

又/(1)=2,直线1：y—2=-1•(%—1),即％+y=3.

•・,点M(a力)在直线［上，.•・a+>=3.

11