专题04几何中的三点共线问题（原卷版）-中考数学压轴大题专项突破

专题04几何中的三点共线问题几何压轴题中的三点共线问题，一般有两种考查方式：一是：假设某三点共线，探究线段的长度、线段的数量与位置关系、三角形或四边形的形状、面积等。在这一类题型，一般都是讲三点共线作为条件使用：（1）在探究线段的长度，线段的数量关系时，多是利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，进行转化求解，或者利用勾股定理和锐角三角函数进行求解。（2）在探究三角形或四边形的形状时，一般先是利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理或者锐角三角函数求出相应的边长，再根据几何图形的判定进行求解即可。（3）在探究面积问题时，一般先是利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理或者锐角三角函数求出相应的边长，再利用面积公式进行计算即可。（4）在把三点共线作为条件使用时，要注意，在未明确三点位置关系时，要进行分类讨论，否则会出现漏解的情况。二是证明三点共线：证明三点共线常用到以下几种方法：（1）证明以位于中间点为顶点形成两个角的和为180°。（2）先连接两点，证明第三个点在连线上，具体可以证明三点连线重合（先证平行，再证有公共点），也可以以某一点为顶点构造角，证明角相等（如图：证明∠DCB=∠DCA，在证点B在AC上）。 （2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒．(1)点D到边的距离为__________；(2)用含t的代数式表示线段的长；(3)连结，当线段最短时，求的面积；(4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值．（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；（2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解；（3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得到当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，即可求解；（4）分两种情况讨论：当点位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点（）位于CM的延长线上时，此时点P在BD上，即可求解．【答案】(1)3(2)当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，；(3)(4)或【详解】（1）解：如图，连接DM，∵AB=4，，点M为边的中点，∴AM=BM=2，DM⊥AB，∴，即点D到边的距离为3；故答案为：3（2）解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上，；当1＜t≤2时，点P在BD边上，；综上所述，当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，；（3）解：如图，过点P作PE⊥DM于点E，∵作点A关于直线的对称点，∴A′M=AM=2，∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，∴当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上，∴，根据题意得：，，由（1）得：DM⊥AB，∵PE⊥DM，∴PE∥AB，∴△PDE∽△ADM，∴，∴，解得：，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴；（4）解：如图，当点M、、C三点共线时，且点位于M、C之间时，此时点P在AD上，连接AA′，A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则AA′⊥PM，∵AB为直径，∴∠A=90°，即AA′⊥A′B，∴PM∥A′B，∴∠PMF=∠ABA′，过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N，在中，AB∥DC，∵DM⊥AB，∴DM∥CN，∴四边形CDMN为平行四边形，∴CN=DM=3，MN=CD=4，∴CM=5，∴，∵M=2，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即PF=3FM，∵，，∴，∴，即AF=2FM，∵AM=2，∴，∴，解得：；如图，当点（）位于CM的延长线上时，此时点P在BD上，，过点作于点G′，则，取的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作HK⊥AB于点K，过点P作PT⊥AB于点T，同理：，∵HK⊥AB，，∴HK∥A′′G′，∴，∵点H是的中点，∴，∴，∴，∴，∴，即MT=3PT，∵，，∴，∴，∵MT+BT=BM=2，∴，∴，解得：；综上所述，t的值为或．本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意得到点的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点．(1)如图1，当点在上，在上，求的值为多少；(2)将正方形绕点逆时针方向旋转，如图2，求：的值为多少；(3)，，将正方形绕逆时针方向旋转，当，，三点共线时，请直接写出的长度．（1）根据题意可得，根据平行线分线段成比例即可求解；（2）根据（1）的结论，可得，根据旋转的性质可得，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；（3）分两种情况画出图形，证明△ADG∽△ACE，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．【答案】(1)2(2)(3)或【详解】（1）解：正方形与正方形有公共点，点在上，在上，四边形是正方形（2）解：如图，连接，正方形绕点逆时针方向旋转，，（3）解：①如图，，，,,，三点共线，中，，，由（2）可知，

，．②如图：由（2）知△ADG∽△ACE，∴，∴DG=CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=8，AC=，∵AG=AD，∴AG=AD=8，∵四边形AFEG是正方形，∴∠AGE=90°，GE=AG=8，∵C，G，E三点共线．∴∠AGC=90°∴CG=，∴CE=CG+EG=8+8，∴DG=CE=．综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为或．本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．1．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟）在中，，，点为线段上一动点（点不与、重合），连接，分别以，为斜边向右侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接．(1)当点在的外部时，求证：∽；(2)如图，当，，三点共线时，求的面积；(3)如图，当点在的延长线上时，其它条件不变，连接，若，求的长．2．（2022·四川成都·校考三模）在矩形中，点E为射线上一动点，连接．(1)当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G．①如图1，若，求的度数；②如图2，当，且时，求的长．(2)在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点三点共线时，求的长．3．（2022·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，，，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连接AF，DF，点G是AF的中点，连接DG．(1)当点D是AB中点时，①如图1，点E与点C重合，求证：D，G，C三点共线．②如图2，若，求DG的长．(2)如图3，若，当时，求CE的长．4．（2022·河北张家口·一模）如图1，在中，，点A，D是射线上的点，以为一边在内作矩形，点C在边上．(1)当点B在边上时，求的长；(2)如图2，若A，B，O三点共线，且是以为腰的等腰三角形，①__________；②求的长；(3)在图2的基础上，点A向右移动得到图3连接，若和相似，直接写出的长．（注：三角形全等可视为三角形相似的特殊情况）5．（2022·山东烟台·统考一模）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，BC=3BD，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α（0°＜α＜180°），连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．(1)如图1，求证：△CAF∽△CBE，并求出的值；(2)如图2，当B，E，F三点共线时，连接AE，请判断四边形AECF的形状，并说