专题05一元二次方程（讲义）中考数学一轮复习2

专题05一元二次方程1．能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；2．会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系；3．知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题；4．能根据具体问题的实际意义检验方程的解是否合理，建立模型观念。考点1：一元二次方程的有关概念一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

注：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．考点2：一元二次方程的解法1.基本思想一元二次方程一元一次方程2.基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．注：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．考点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.注：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．2.一元二次方程根与系数的应用很多：（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；（2）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；（3）已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．考点4：列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答(写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.注：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【题型1：一元二次方程的概念】【典例1】（2023·江苏镇江·统考中考真题）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为．【答案】5【分析】：把代入方程，求出关于m的方程的解即可．【详解】把代入方程，得，解得．故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．1．（2012上·江苏常州·九年级阶段练习）关于的一元二次方程有一根为0，则．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义，将已知根代入方程，求得待定参数值．【详解】解：由题意，，∵方程一根为0，∴，解得（舍去），．故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，方程根的定义，解方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2．（2023·江苏宿迁·统考二模）若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是．【答案】【分析】把代入原方程，可得，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程的一个解是，∴，∴，∴．故答案为：2023【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．3．（2023·江苏·模拟预测）若是关于的一元二次方程的解，则的值为．【答案】【分析】将代入原方程得，然后运用整体代入的思想即可得出答案．【详解】解：将代入原方程得：，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，运用整体代入的思想解题是本题的关键．4．（2023·江苏扬州·统考一模）若关于x的方程的一个根为3，则m的值为．【答案】【分析】根据题意把3代入方程，得到关于m的方程，解方程即可得．【详解】解：依题意得，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．【题型2：一元二次方程的解法】【典例2】（2023·江苏无锡·统考中考真题）（1）解方程：

（2）解不等式组：【答案】（1），；（2）【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】（1）解：∵，∴，∴解得：，；（2）解不等式①得：解不等式②得：∴不等式组的解集为：【点睛】本题考查了解一元二次方程，求不等式组的解集，熟练掌握公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式组是解题的关键．1．（2012上·山东临沂·九年级阶段练习）方程的解为．【答案】【分析】此题考查了解一元二次方程，将一次项移到等式左边，利用因式分解法解方程，由此得到一元二次方程的解，正确确定一元二次方程的解法是解题的关键．【详解】解：∴，故答案为：．2．（2012·江苏无锡·统考一模）解方程：．【答案】，【分析】先利用配方法将原式化为完全平方的形式，再用直接开平方法解答．【详解】解：原式可化为即，开方得，，解得，．【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法以及直接开平方法，难度较小．3．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）（1）解方程：；（2）解不等式组：．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解；（2）分别解两个不等式得到和，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【详解】解：（1），∵，∴，∴，∴，；（2），解不等式得，解不等式得，所以不等式组的解集为．【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了解一元一次不等式组．4．（2023·江苏苏州·校考二模）解方程：．【答案】，【分析】方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以得：，整理得：，解得：，，检验：当，时，，原方程的根为，．【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解法是解题的关键．【题型3：一元二次方程根与系数关系】【典例3】（2023·江苏泰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程的两根之和为．【答案】【分析】利用根与系数的关系进行求值．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握．1．（2023·江苏盐城·校考二模）已知、是关于x的方程的两个实数根，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式可判断A，利用一元二次方程的解的含义可判断B，利用一元二次方程根与系数的关系可判断C，D，从而可得答案．【详解】解：∵、是关于x的方程的两个实数根，∴，∴，故A不符合题意；∵、是关于x的方程的两个实数根，∴，，∴，，∴，故B符合题意；∵、是关于x的方程的两个实数根，∴，，故C，D不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上基础知识是解本题的关键．2．（2023上·江苏南京·九年级统考期末）设、是方程的两个根，则．【答案】3【分析】利用根与系数的关系即可求解．【详解】解：在中，，，、是方程的两个根，，故答案为：3．【点睛】本题考查了根与系数的关系：熟记、是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．3．（2023·江苏宿迁·校考三模）设，是一元二次方程的两个根，则．【答案】【分析】利用根与系数的关系可求得和的值，利用完全平方公式变形，再整体代入求值即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．4．（2023·江苏盐城·统考二模）若方程的两根为，，则的值为．【答案】2023【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解的概念可得，，再代入进行计算即可得到答案．【详解】解：方程的两根为，，，，，故答案为：2023．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解的概念，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．【题型4：一元二次方程的应用】【典例4】（2023·江苏·统考中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？

【答案】【分析】设页边距为，根据题意找出等量关系列方程，解方程即可解题．【详解】解：设页边距为则列方程为：，解得：，（舍去），答：页边距为．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程式解题的关键．1.（2023·江苏盐城·校联考二模）我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2021年我国约为115万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，2023年我国约达135万亿元，将增长率记作x，可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用2023年我国的年我国的×（1+我国每年的增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得：．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2023·江苏盐城·统考三模）在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少．2022年上学期每天作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天作业时长为．设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为．【答案】【分析】根据2022年上学期每天作业平均时长为，经过两学期降低后到了平均每天作业时长为，即可得出关于一元二次方程，即可得出．【详解】解∶依题意得：，答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2018上·江苏南京·九年级统考期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若某天该商品每件降价3元，则商场日销售量增加___________件，当天可获利___________元？(2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）；(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？【答案】(1)6，1692(2)，(3)每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元【分析】（1）根据“盈利单件利润销售数量”即可得出结论；（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；（3）根据“盈利单件利润销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．【详解】（1）销售量增加：件，当天盈利：（元）．故答案为：6；1692．（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元．故答案为，；（3）根据题意，得：，整理，得：，解得：，∵商城要尽快减少库存，∴．答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．【点睛】考查了列代数式、有理数混合运算的实际应用、一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出数量关系列出一元二次方程（或算式）．4．（2011·江苏南京·统考中考模拟）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．(1)填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是______________吨；(2)该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？【答案】(1)60(2)200元【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨．（2）设售价定为每吨元，根据利润=每吨的利润×销售量列出方程求解即可．【详解】（1）当每吨售价是240元时，此时的月销售量是吨；故答案为：60；（2）设售价定为每吨元，由题意，可列方程．化简得．解得，．当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．1．将方程化为一般形式后，二次项系数为1，则常数项为（

）A．2 B． C．5 D．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的常数项．正确的表示一元二次方程的一般式是解题的关键．由题意知，方程的一般式为，然后作答即可．【详解】解：由题意知，方程的一般式为,∴常数项为2，故选：A．2．用配方法解方程，配方正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得，掌握配方的步骤是解题的关键．【详解】解：移项得，，配方得，，即，故选：．3．一元二次方程根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是利用一元二次方程的根与的关系判断．【详解】解：，方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，则m的值可以是（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．本题考查了根的判别式，熟记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，取，故选：A．5．喜迎国庆佳节，某商品原价300元，连续两次降价后售价为225元，下列所列方程中，正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】解：本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．根据题意可知，第一次降价后的售价为元，则第二次降价后的售价为元，据此列出方程即可．【详解】解：∵某商品原价300元，连续两次降价后售价为225元，∴，故选D．6．若是关于的一元二次方程，则．【答案】1【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案．【详解】解：由题意知：且，解得，故答案为：．7．一元二次方程有一个根为，则．【答案】0【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把代入方程是解题的关键．【详解】解：把代入方程得．故答案为：．8．已知是关于的一元二次方程的两个根，且，则该一元二次方程是．【答案】【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系可得出，，即可得出结论．【详解】解：该方程的两个根，满足，，，则，，此时该方程为．故答案为：．9．若是一元二次方程的一个根，则．【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程的解，理解并掌握一元二次方程解的含义，代入求值即可，解题的关键是将代入方程，变形为．【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，∵，∴将代入，原式，故答案为：．10．《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是.

【答案】【分析】设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，根据整个挂图的面积是列出方程即可，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键．【详解】解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽就为，根据题意得：，故答案为：．11．运用适当的方法解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了一元二次方程的解法应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）解：，整理得：，，，，，．（2）解：，，，，，．12．解下列一元二次方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用公式法求解即可．【详解】（1）解：∴．（2）解：，即：∴．（3）解：∵∴∴．13．嘉淇同学解方程的过程如下表表示．解方程：．解：，……第一步，……第二步，．……第三步(1)嘉淇同学是用（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，从第步开始出现错误．(2)请你用不同于（1）中的方法解该方程．【答案】(1)配方法，二(2)【分析】（1）利用配方法求解方程时，注意变形时要保证等式左右两边的值不变；（2）可使用公式法求解．【详解】（1）解：由解方程步骤可知：嘉淇同学是用的配方法求解第二步等式右边没有加，出现错误故答案为：配方法，二（2）解：公式法：，，．，，即，．【点睛】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．14．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，长和宽共60步，问长比宽多多少步？请你解答上面的问题．【答案】长比宽多12步【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设长为x步，则宽为步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值，再将其代入中即可求出结论．【详解】解：设矩形的长为x步，列方程得．解得，．∴矩形的长为36步，宽24步，(步)．答：长比宽多12步．15．某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．(1)求平均每次降价盈利减少的百分率；(2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？【答案】(1)平均每次降价盈利减少的百分率为(2)每件应降价60元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设每次下降的百分率为x，根据题意，得：，即可求解；（2）设每件应降价元，由题意得方程，进而求解．【详解】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为，依题意，得，解得（不合题意，舍去）．答：平均每次降价盈利减少的百分率为．（2）设每件应降价元，则每天可售出件，依题意，得，解得：，．要尽快减少库存，．答：每件应降价60元．1．已知函数的图象上有两点和，则的值等于（）A．22 B．20 C．17 D．0【答案】A【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．由题意可得m，n是方程的两个根，则有，，即，又由，将所求式子变形为，然后再求值即可．【详解】解：∵函数的图象上有两点和，，把代入得，，∵函数的图象上有两点和，∴m，n是方程的两个根，，，，∴．故选：A．2．若是一元二次方程的两个实数根，且满足不等式，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；已知是一元二次方程的两个实数根，可推出根据根与系数的关系可得且满足不等式代入即可得到一个关于的不等式，由此可解得的取值范围．【详解】解：∵方程有两个实数根，解得由根与系数的关系，得∵，解得故选：A．3．古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的解法公式法，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，要根据方程的特点进行选择即可．先根据勾股定理求得的长，再求的长，根据可得列方程即可求解．【详解】∵，根据题意可得：，，即即解得：或（舍），故选：C．4．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程的参数同时满足和．且该方程与互为“同伴方程”，则的值为（

）A．1或 B． C．1 D．2【答案】A【分析】由和可得关于x的方程两个实数根为，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或．掌握“同伴方程”的定义是解题的关键．【详解】解：∵同时满足和，关于的方程两个实数根为，或，的根为或，与互为“同伴方程”，或．故答案为：1或．5．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（）A．只有①② B．只有①③④ C．只有②③ D．只有①②④【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，按照方程的解的含义，一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式对各选项分别讨论，即可得到答案．【详解】解：①当时，，那么一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时成立，那么①一定正确；②方程有两个不相等的实数根，则，那么，故方程必有两个不相等的实数根，进而推断出②正确；③由是方程的一个根，得，当，则，当，则不一定等于0，那么③不一定正确；④，由，得，由是一元二次方程的根，则成立，那么④正确．综上所述：说法正确的有①②④，故选：D．6．对于一切不小于的自然数，关于的一元二次方程的两个根为，（），则．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，难度较大，关键是根据一元二次方程根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为，（），∴，，∴，则，∴.故答案为：.7．已知：抛物线与直线有两个不同的交点，若两个交点的横坐标是分别为、，若，则的取值范围是．【答案】//【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式、二次函数的性质．根据抛物线与直线有两个不同的交点，则方程中的，解出可得的取值；由根与系数的关系得：，，把变形后，得，即可得出答案，运用了恒等变换的思想．掌握一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：令，∴，∵抛物线与直线有两个不同的交点，∴，∴，∵两个交点的横坐标是分别为、，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．8．已知关于x的一元二次方程的根是，，的根是，，（其中，，），如果，则.【答案】9【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，绝对值的意义，利用直接开平方法解方程，求得，，，，由，得出，，则根据，得到，解得．得到关于的方程是解题的关键．【详解】解：关于的一元二次方程的根是，，，，同理，，，，，，，，．故答案为：9．9．图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于．【答案】【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，一元二次方程的解法，如图，延长交轴于，求解反比例函数为：，证明，设正方形的边长为，可得，再解方程可得答案．熟练的利用图形面积建立方程是解本题的关键．【详解】解：如图，延长交轴于，∵点在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数为：，∴，∴，设正方形的边长为，，∴，，∴，整理得，解得：，（不符合题意，舍去），∴正方形的面积为．故答案为：．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别落在y轴、x轴的正半轴上，，．若反比例函数经过C，D两点，则k的值为．【答案】【分析】过点C作轴于点M，易证，根据相似三角形的性质可得，设，根据，，表示出点C坐标，再根据平移的性质可得点D坐标，再根据点C和点D都在反比例函数上列方程，求出x的值，进一步可得点C坐标，即可确定k的值．【详解】解：过点C作轴于点M，如图所示：则，∵矩形的顶点A，B分别落在y轴、x轴的正半轴上，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，设，∵，，∴，，∴，，∴点C坐标为，根据平移，可得点D坐标为，∵反比例函数经过C，D两点，∴，解得或（舍去），∴点C坐标为，将点C坐标代入，得，故答案为：24．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求解析式等，本题综合性较强，难度较大．11．已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．(2)若该方程的两个根为和，且满足，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法，掌握根的判别式的含义是解本题的关键；（1）先计算，从而可得结论；（2）由根与系数的关系可得，再代入，建立方程求解即可．【详解】（1）证明：，无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）由根与系数的关系，得．，，即，解得．12．今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”，若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病．(1)每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？(2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？【答案】(1)每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡；(2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会超过500只．【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程和算式求解是解题的关键．（1）设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健康的蛋鸡被传染，第二轮中有只健康的蛋鸡被传染，根据经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病列出方程求解即可；（2）根据（1）所求求出三轮传染后，患病的蛋鸡的数量即可得到答案．【详解】（1）解：设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健康的蛋鸡被传染，第二轮中有只健康的蛋鸡被传染，根据题意得：，整理得：，解得：（不符合题意，舍去），答：每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡；（2）解：（只），∵，∴如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会超过500只．13．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降了x元．每天的销售量/件每件衬衫的利润/元降价前降价后(1)完成下列表格（用含x的式子填空）．(2)当衬衫的单价降多少元时，商场销售这批衬衫每天可盈利元，且对消费者更有利？(3)能否通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利元？【答案】(1)；；(2)元；(3)不能通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利元；【分析】（1）本题考查列代数式，根据衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件列式即可得到答案；（2）本题考查一元二次方解决实际应用问题，根据利润列方程求解即可得到答案；（3）本题考查一元二次方解决实际应用问题，根据利润列方程求解即可得到答案；【详解】（1）解：由题意可得，降价后每天的销售量：件，每件衬衫利润为：元，故答案为：；；（2）解：由题意可得，，整理得，，解得：（不符合题意舍去），，答：当衬衫的单价降元时，商场销售这批衬衫每天可盈利元；（3）解：由题意得，，整理得，，此方程没有实数根，答：不能通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利元．14．已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动．(1)如果、分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？(2)如果、分别从，同时出发，那么几秒后，与相似？【答案】(1)秒后，的长度等于．(2)或秒后，与相似．【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理，找出关于的一元二次方程是解答本题的关键．（1）设运动时间为秒，则，，，利用勾股定理得到关于的一元二次方程，解方程得到答案．（2）分，两种情况，利用相似三角形的判定定理，可以得到关于的一元二次方程，解方程得到答案．【详解】（1）解：设运动时间为秒，则，，，，即，整理得：，解得：（舍去），，答：秒后，的长度等于．（2）当时，，即，解得：；当时，，即，解得：．答：或秒后，与相似．15．阅读理解：一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4．请同学们思考以下问题：(1)已知代数式，此代数式有最值（填“大”或“小”），且值为．(2)已知代数式，此代数式有最值（填“大”或“小”），且值为．(3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论．【答案】(1)小，(2)大，13(3)当时，此代数式有最小值【分析】本题考查了配方法的应用，平方的非负性，解题的关键是掌握完全平方公式．（1）先将该式化为，再根据完全平方公式进行配方即可解答；（2）先将该式化为，再根据完全平方公式进行配方即可解答；（3）先将该式化为，再根据完全平方公式进行配方即可解答．【详解】（1）解∶，∵，∴当时，此代数式有最小值，故答案为：小，；（2）解：，∵，∴，∴当时，此代数式有最大值13，故答案为：大，13；（3）解：，∵，∴，∴当时，此代数式有最小值．1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．【详解】解：由题意得：．故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2022·江苏淮安·统考中考真题）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，∴，∴，故选：A.【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．3．（2022·江苏南通·统考中考真题）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（

）A．10.5% B．10% C．20% D．21%【答案】B【分析】设每月盈利的平均增长率为x，根据今年1月盈利3000元，3月盈利3630元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设每月盈利的平均增长率为x，依题意，得：3000（1＋x）2＝3630，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝−2.1（不合题意，舍去）．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2021·江苏无锡·统考中考真题）在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（

）A．点P是三边垂直平分线的交点 B．点P是三条内角平分线的交点C．点P是三条高的交点 D．点P是三条中线的交点【答案】D【分析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则=，可得P(2，)时，最小，进而即可得到答案．【详解】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，设P(x，y)，则===，∴当x=2，y=时，即：P(2，)时，最小，∵由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：，AC边上中线所在直线表达式为：，又∵P(2，)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式，∴点P是三条中线的交点，故选D．【点睛】本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是解题的关键．5．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（

）

A． B． C． D．1【答案】A【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案．【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：

根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形，，直线与轴交于点，当时，，即，与双曲线分别相交于点，联立，即，则，由，解得，，即，解得，故选：A．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．6．（2022·江苏徐州·统考中考真题）若一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，则c的取值范围是．【答案】/【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．7．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是尺．【答案】8【分析】设门高尺，则竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，根据勾股定理即可求解．【详解】解：设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，∴，解得：或（舍去），故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键．8．（2023·江苏扬州·统考中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为．

【答案】96【分析】由题意知，，由，可得，计算求出满足要求的，然后求，根据每个直角三角形的面积为，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，∵，∴，解得，（舍去），∴，∴每个直角三角形的面积为，故答案为：96．【点睛】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用．9．（2023·江苏连云港·统考中考真题）若（为实数），则的最小值为．【答案】【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．【详解】解：===∵为实数，∴∴的最小值为,故答案为：．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．10．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，．过点作，延长到，使，连接．若，则．（结果保留根号）

【答案】/【分析】如图，过作，交的延长线于点，设，可得，证明，，为等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程组可得答案．【详解】解：如图，过作，交的延长线于点，

设，∵，，∴，∵，∴，，为等腰直角三角形，∴，∴，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，经检验不符合题意；∴；故答案为：．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．11．（2022·江苏徐州·统考中考真题）（1）解方程：；（2）解不等式组：【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】（1）解：，，∴，；（2）解：，解不等式①得：，解不等