人教版九年级数学上册专项复习：正多边形和圆

24.3正多边形和圆

【提升训练】

-、单选题

1.如图，六边形A5CDEE是正六边形，点P是边AE的中点，PC,P£）分别与助交于点M,N,

则S&PBM•S4PCD的值为（）.

2.如图，与正五边形ABCDE的两边相切于A,C两点，则NAOC的度数是（）

A.144°B.130°C.129°D.108°

3.如图，点。为正六边形ABCDEE对角线ED上一点，5~加=8,S^CD0=2,则S正六边形的⑺后尸的值

是）

C.40D.随点。位置而变化

4.在圆内接正六边形A8CDEF中，正六边形的边长为2,则这个正六边形的中心角和边心距分别是（）

A.30°,1B.45°,0C.60°,GD.120°,2

5.如图，点A,B,C在上，若BC,AB，AC分别是。内接正三角形.正方形，正〃边形的一

A.9B.10C.12D.15

6.尺规作图是初中数学学习中一个非常重要的内容.小明按以下步骤进行尺规作图：①将半径为厂的

六等分，依次得到AB,C,D,E,F六个分点；②分别以点为圆心，AC长为半径画弧，两弧交于点G；

③连结OG.则。G的长是（）

。厂I、。H

E

c.4irD.&r

7.如图，正方形A3CD内接于。。.点E为BC上一点,连接班、CE,若NCBE=15°,BE=3,

则BC的长为（）

A.-\/6B.^/2C.3,\/3D.3^2

8.正六边形的边心距为百，则该正六边形的外接圆半径为（）

A.邪＞B.2C.3D.2上

9.若正方形的外接圆半径为2,则其边长为（）

A.0B.20c叵D.1

2

10.如图，有公共顶点。的两个边长为3的正五边形（不重叠）,以。点为圆心，半径为3作圆，构成一个

蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（）

5

C.3万D.—71

2

A.正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2：1

B.正六边形的边长等于其外接圆的半径

C.圆的外切正多边形的边长等于其边心距的2倍

D.各边相等的圆的外切四边形是正方形

12.如图，等边三角形ABC的边长为4,点。是△ABC的中心，ZFOG=120°,绕点、O旋转/FOG,分别

交线段A3、BC于D、E两点，连接OE,给出下列四个结论：①OD=OE；②^ODE=SABDE;③四边形。。BE

4r~

的面积始终等于g百；④石周长的最小值为6.上述结论中不正确的个数是（）

G

A.1B.2C.3D.4

13.如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度6=3c机，则螺帽边长。等于

（）

A.6cmB.2^/3cmC.2cmD.yf2cm

14.如图，正三角形PMN的顶点分别是正六边形ABCDEF三边的中点，则三角形PMN与六边形ABCDEF

的面积之比（）

A.1：2B.1：3C.2：3D.3：8

15.边长为2的正六边形的边心距为（）

A.1B.2C.6D.273

16.如图，。是正六边形ABCDEF的外接圆，P为CAD上除C,D外的任意一点，贝Ucos/CPD的值

为（）

17.如图，在面积为135cMi2的正六边形ABCAEF中有两个等边三角形组成的菱形AMON.则剪掉这个菱形

后剩余部分的面积为（）

BC

A.75c/n2B.70cm2C.65cm2D.60cm2

18.下列关于正多边形的叙述，正确的是（）

A.正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形

B.存在一个正多边形，它的外角和为720°

C.任何正多边形都有一个外接圆

D.不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形

19.如图所示，ABC为；。的内接二角形，AB=2,NC=：30。，则、O的内接正方形的面积（）

乃

A.2B.4C.8D.16

20.已知正六边形ABCDEE内接于若一。的直径为2,则该正六边形的周长是（）

A.12B.66C.6D.3百

21.如图，圆内接正方形的边长为2,以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）

A.4B.2乃一4

C.InD.2+»

22.如图，有一个半径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边

C.26cmD.4cm

23.如图，正六边形A5CDEF内接于。，连接AC,则44c的度数是（）

D

A.60°B.50°C.40°D.30°

24.正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为在，则这个正多边形为（）

2

A.正十二边形B.正六边形C.正四边形D.正三角形

25.。。内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（）

A.1：72B.6：夜C.3：2D.1：2

26.如图，。。是正六边形ABCDEF的外接圆，。。的半径长为。，下列说法中不正确的是（）

A.正六边形ABC。所的中心角等于60。

B.正六边形ABCOEb的周长等于6〃

正六边形ABCDEF的边心距等于且。

C.

2

D.正六边形428£斤的面积等于361

27.公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长.如图所示，他首先在圆内

画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周

长.刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所

失矣.”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元.小牧通过圆内接正〃边形，使用刘

徽割圆术，得到兀的近似值为（）

A.幽

B.2“.si'C.2n.sin^D.

2nn2nn

28.图，已知正五边形ABCDE内接于，连接BD，CE相交于点F,则NBFC的度数（

A.60°B.72°C.78°D.45°

29.如图，在。。中，点B是弧AC上的一点，ZAOC=140°,则NABC的度数为（）

B

A.70°B.110°C.120°D.140°

30.如图，四边形ABCD为。O的内接正四边形，△AEF为。O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个

内接正n边形的一边，则n的值为（）

A.8B.10C.12D.15

二、填空题

31.如图，直线尸。经过正五边形舫CDE的中心。，与AB、8边分别交于点P、。，点G是点。关

于直线尸。的对称点，连接CC-AC”则的度数为,

32.如图是四个全等的正八边形和一个正方形拼成的图案，已知正方形的面积为4,则一个正八边形的面积

33.如图，点。为正八边形A3CDEFGH的中心，则NAFO的度数为

H

34.下图是某经营摄影器材公司的/og。（公司的徽标）它由六个全等的直角三角形拼成，根据所学知识求

35.如图，已知A3为。O直径，若C£）是。。内接正〃边形的一边，是。。内接正（〃+4）边形的一边,

BD=AC,贝！]n=_.

三、解答题

36.如图，正方形A3CD内接于O,P为上的一点，连接。P，CP.

（1）求NCP。的度数；

（2）当点尸为的中点时，。?是（。的内接正“边形的一边，求九的值.

37.如图，六边形ABCDE尸是C。的内接正六边形.

（1）求证：在六边形A8CDEF中，过顶点A的三条对角线四等分NfiAF.

S.

（2）设。的面积为S],六边形ABCDEF的面积为邑，求心的值.

38.如图正六边形A5CDEF的边长为1,请分别在图1,图2中使用无刻度的直尺按要求画图.

图1图2

（1）在图1中，画出一条长度为0.5的线段，

（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形.

39.已知：如图，A为。。上一点；求作：。。的内接正方形ABCD

40.如图，正五边形ABCDE内接于CO,P为OE上的一点（点尸不与点。,E重合），求NCPD的余角

的度数.

41.如图M、N分别是。。的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…

的边AB、BC上的点，且BM=CN,连接OM、ON

(1)求图1中NMON的度数

(2)图2中/MON的度数是,图3中NMON的度数是

(3)试探究NMON的度数与正n边形边数n的关系是一

42.已知四边形ABCD是圆内接四边形，Zl=112°,求/CDE.

B

43.如图，正方形ABCD内接于。，E为CD任意一点，连接。E、AE.

(1)求/AED的度数.

(2)如图2,过点3作跳7/。石交，。于点P，连接AF,AF=1，AE=4,求。石的长度.

44.已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且NA：ZB：NC=2：3：4.

(1)求/A、NB的度数；

(2)若D为的中点，AB=4,BC=3,求四边形ABCD的面积.

c

45.如图，。是「A6c的外接圆，AB=AC.点D在AC上，连结AD,BD,延长CD至点E.

46.如图，A,2是。。上两点，ZAOB=120°,C为弧AB上一点.

（1）求NACB的度数；

（2）若C是弧A8的中点，求证：四边形OACB是菱形.

47.已知已知正六边形ABCDEF,请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图.

（1）在图①中，以AB为边作等边三角形；

（2）在图②中，作一个含30。的直角三角形.

48.如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA4,求四边形A3CD的

面积.

49.如图，已知AB是［O的直径，弦CD，于点E,F是AD上的一点，AF,CD的延长线相交于点G.

(1)若］。的半径为3后，且/。回C=45。，求弦CD的长.

(2)求证：ZAFC=ZDFG.

50.如图，已知A、B、C、D四点都在。O上.

(1)若/ABC=120。，求NAOC的度数；

(2)在(1)的条件下，若点B是弧AC的中点，求证：四边形OABC为菱形.

51.如图，四边形ABCD内接于AB=AC,BD±AC,垂足为E.

(1)若NB4c=40。，求/AOC的度数;

(2)求证：ZBAC=2ZDAC.

52.如图，。的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点〃，N.

(1)当=时，求证NADC=NABC；

(2)当NA/=NN=42时，求NA的度数；

(3)若/DMC=a,NBNC=0&a于/3,请你用含有。、夕的代数式表示NA的度数.

53.如图，已知A、B、C、£)、E是。上五点，0的直径BE=2g，A为的中点，延长朋到点P,

使胡=”，连接PE.

(1)求证：直线PE是O。的切线.

(2)若NBCD=120。，求线段的长.

54.已知：如图，A3是一。的直径，弦CDLAB于点E,G是AC上一点，AG与。C的延长线交于

点F.

(1)求证：Zl=Z2.

(2)当。C=6,BE=1时，求。的半径.

55.如图，：。的直径AB为10,弦为6,。是AC的中点，弦BD和CE交于点歹，且

(1)求证：EB=EF-,

(2)求CE的长.

56.如图，在《。中的内接四边形ABC。中，AB=AD,E为弧AD上一点.

(1)若NC=110°,求㈤。和NE的度数；

(2)若NE=NC,求证：△A3。为等边三角形.

57.如图，四边形ABC。内接于圆，AD,BC的延长线交于点E,尸是8。延长线上任意一点，AB=AC.

(1)求证：DE平分/CDF；

(2)求证：ZACD=ZAEB.

58.如图，四边形A8CD是。。的内接四边形，8c与的延长线相交于点E,>DC=DE.

（2）连接0E,交CD于点F,DCLOE,求证：△ABE是等边三角形.

59.如图①，ABC的内