专题16.1二次根式（学生版）

专题16.1二次根式1.了解二次根式的概念；理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；2.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简；知识点01二次根式的相关概念【知识点】1.二次根式的定义：我们把形如（）的式子叫做根式；叫做被开方数；叫做二次根号；根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【知识拓展1】二次根式的识别例1．（2022·云南昭通·八年级期中）在下列代数式中，不是二次根式的是（

）A． B． C． D．【即学即练】1．（2022·辽宁大连·八年级期末）下列各式中是二次根式的为（

）A．a+b B． C． D．【知识拓展2】根据二次根式的定义求字母的值例2．（2022·广东惠州·八年级期末）使是整数的正整数的最小值为___________．【即学即练】2．（2022·北京朝阳·八年级期末）若是整数，则正整数n的最小值是（）A．3 B．7 C．9 D．63【知识拓展3】根据二次根式有意义条件求范围例3．（2022·安徽·定远县八年级阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是（）A． B． C． D．且【即学即练3】3．（2022·河北保定·八年级期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【知识拓展4】根据二次根式有意义条件求值例4．（2022·重庆市八年级期中）若，则的值是（

）A．5 B．1 C． D．2【即学即练4】4．（2022·广西贺州·八年级期中）若，则等于（

）A．－1 B．1 C． D．0知识点02二次根式的性质【知识点】二次根式的性质：①，（双重非负性）【知识拓展1】二次根式的性质化简绝对值（1）例1．（2022·湖北十堰·八年级阶段练习）已知x满足|2021﹣x|+＝x，那么x﹣20212的值为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【即学即练1】1．（2022·福建龙岩·七年级期中）已知，求的值．【知识拓展2】二次根式的化简绝对值（2）例2．（2022·山东淄博·八年级期末）已知等式成立，化简|x﹣6|+的结果为_____．【即学即练2】2．（2022·浙江杭州·八年级期中）在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣3c D．2a3.（2022·福建·福鼎市第四中学八年级阶段练习）计算的值为（

）A． B． C． D．【知识拓展3】复合二次根式的化简（二重根号）例3．（2022·福建·柘荣县八年级阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使并且，则将变成，开方，从而使得化简．例如：化简：∵∴仿照上例化简下列各式：(1)(2)【即学即练3】3．（2022·湖南怀化·八年级期末）同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：，反之，，∴，∴求：（1）；（2）；（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．4．（2022·湖北随州·八年级期中）阅读下面材料，回答问题：(1)在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同；小张的化简如下：小李的化简如下：请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．(2)请你利用上面所学的方法化简．(3)计算：．题组A基础过关练1．（2022·四川·泸县五中八年级期中）下列式子中是二次根式的是(

)A． B． C． D．2．（2022·广西钦州·八年级期中）若，为实数，且，则代数式的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．53．（2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末）下列各式中，无意义的是（

）A． B． C． D．4．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则的值为（

）A．3 B．3 C．2 D．25．（2022·陕西西安·八年级期中）化简得(

)A． B． C． D．6．（2022·浙江杭州·八年级期末）当a＝3时，二次根式的值是______．7．（2022·河南驻马店·九年级期中）中变量x的取值范围是________．8．（2022·北京密云·八年级期末）若，则可化简为______________．9．（2022·河南·安阳县北郭乡第一初级中学八年级阶段练习）已知，都是实数，如果，那么的值是_______．10．（2022·湖北孝感·八年级阶段练习）若2﹣x，则x的取值范围是_____．题组B能力提升练1.（2022·山东烟台·八年级期末）若是整数，则正整数的最小值是（

）A．1 B．3 C．6 D．122．（2022·山东威海·八年级期中）若成立，且b>0，则a取值范围是(

)A．a<0 B．a>0 C． D．3．（2022·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是_______________．4．（2022·湖北·嘉鱼县教学研究室八年级期末）代数式的最小值为__________．5．（2021·贵州黔西·九年级期末）当时，化简___________．6．（2022·河北邢台·八年级期末）若是二次根式，则a的取值范围是______；若是正整数，则正整数a的最小值是______．7．（2022·四川绵阳·八年级期中）若a，b为实数，，则_________．8．（2022·山东济宁·八年级期中）已知a满足．(1)有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______．(2)根据（1）的分析，求的值．9．（2022·山东·德州市八年级期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简∶解∶隐含条件，解得：∴∴原式【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简【类比迁移】（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．（3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简：10．（2022·广东·佛山市八年级期中）先阅读材料，然后回答问题(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下，①②③④在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________(2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒题组C培优拔尖练1．（2022·山东临沂·八年级期末）若成立，则a，b满足的条件是(

)A．且 B．且 C．且 D．a，b异号2．（2022·湖北武汉·八年级期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_____．3．（2022·四川乐山·九年级期中）若三角形的三边长为、、，化简_______．4.若z适合，求z的值．EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT45．（2022·福建漳州·九年级期中）求代数式，，如图是小亮和小芳的解答过程：(1)______的解法是正确的；(2)化简代数式，（其中）；(3)若，直接写出的取值范围．6．（2022·全国·九年级专题练习）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：（1）点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为；（2）化简：7．（2022·河南安阳·八年级阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数，使，