专题09勾股定理（专题强化）-2021-2022学年八年级数学下学期核心考点(沪科版)

专题09勾股定理和性质应用一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2021·山东章丘·八年级期中）直角三角形的边长分别为a，b，c，且∠C＝90°，若a2＝9，b2＝16，那么c2的值是（）A．5 B．7 C．25 D．49【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，即可求解．【详解】解：∵直角三角形的边长分别为a，b，c，且∠C＝90°，∴c2=a2+b29+16=25，故选C．【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握直角三角形中，直角边的平方和等于斜边长的平方，是解题的关键．2．(本题4分)（2022·山东黄岛·一模）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则A、C两点间的距离是（）A．4 B． C． D．2【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质即可求出答案．【详解】在矩形OABC中，OB＝AC，∵B（1，3），∴，故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理．3．(本题4分)（2021·福建省漳州第一中学八年级期中）下列各组数中，是勾股数的是（

）A．1，2，3 B．8，15，17 C． D．1，2，【答案】B【解析】【分析】根据勾股数的定义（可以构成一个直角三角形三边的一组正整数）逐项判断即可得．【详解】解：A、，则这组数不是勾股数，不符题意；B、，则这组数是勾股数，符合题意；C、这组数都是分数，不满足勾股数的定义，不符题意；D、是无理数，不是整数，不满足勾股数的定义，不符题意；故选：B．【点睛】本题考查了勾股数，熟记定义是解题关键．4．(本题4分)（2021·四川东坡·八年级期中）如图，黑色部分长方形的面积为（

）A．24 B．30 C．40 D．48【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，再利用长方形面积公式进行求解即可．【详解】解：在直角三角形中，两直角边为6和8，∴直角三角形的斜边为，∴长方形面积为：，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，长方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理．5．(本题4分)（2021·北京市十一学校七年级期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的过长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（

）A．AB＝2 B．∠BAC＝90°C．△ABC的面积为10 D．点A到直线BC的距离是2【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、，选项不符合题意；B、，，，，是直角三角形，，选项不符合题意；C、，选项符合题意；D、设点到直线的距离为，，，，，即点到直线的距离是2，选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，求出AB、BC的长是解题的关键．6．(本题4分)（2021·江苏邗江·八年级期中）如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合，若BC=5，AC=6，则BD的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由翻折的性质可得：△ABD≌△CBD，得出∠ADB=∠CDB=90°，进一步在Rt△BCD中利用勾股定理求得BD的长即可．【详解】解：∵将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB=90°，AD=CD=，在Rt△BCD中，BD===4．故选D．【点睛】本题考查了翻折的性质：翻折是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，翻折前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；以及勾股定理的运用．7．(本题4分)（2018·山东岚山·八年级期末）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则下列说法错误的是（）A．a2＝b2﹣c2 B．c2＝2a2 C．a＝b D．∠C＝90°【答案】A【解析】【分析】根据三角形内角和定理分别求出∠A、∠B、∠C，根据勾股定理、等腰三角形的概念判断即可．【详解】解：设∠A、∠B、∠C分别为x、x、2x，则x+x+2x＝180°，解得，x＝45°，∴∠A、∠B、∠C分别为45°、45°、90°，∴a2+b2＝c2，A错误，符合题意，c2＝2a2，B正确，不符合题意；a＝b，C正确，不符合题意；∠C＝90°，D正确，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．8．(本题4分)（2020·江苏·苏州草桥中学八年级期中）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则的值为（

）A．60 B．79 C．84 D．90【答案】D【解析】【分析】根据图形表示出小正方形的边长为，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出，然后利用完全平方公式计算即可；【详解】由图可知，，∴，∴．故答案选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，准确分析是解题的关键．9．(本题4分)（2022·四川·成都新津为明学校八年级期中）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（

）A．50cm B．40cm C．30cm D．20cm【答案】C【解析】【详解】试题解析：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB==30cm．故选C10．(本题4分)（2020·陕西城固·八年级期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度．【详解】解：如图，由题意可得：AD2=0.72+2.42=6.25，在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC，∴AB2+1.52=6.25，∴AB=±2，∵AB＞0，∴AB=2米，∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）．故选：D.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2020·浙江·七年级期末）如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是_____．【答案】【解析】【分析】由于数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数，所以根据数轴上两点间距离的公式便可解答．【详解】解：由勾股定理得：正方形的对角线为，设点A表示的数为x，则2x=，解得x=，故答案为：．【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题时求数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数即可．12．(本题5分)（2020·广西·南宁市第四十四中学八年级期末）如图，中，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为______．（平方单位）【答案】14【解析】【分析】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．【详解】解：S阴影=直径为AC的半圆面积+直径为BC的半圆面积+S△ABC直径为AB的半圆面积======14故答案为：14．【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．13．(本题5分)（2020·辽宁·沈阳兴华实验中学八年级阶段练习）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=cm，楼梯宽1cm，则地毯的面积至少需要______平方米．【答案】3+【解析】【分析】据含30°的直角三角形求出BC，得出AC＋BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．【详解】在Rt△ABC中，θ=30°∴AB=2BC，AB2=BC2+AC2，即4BC2=BC2+（）2解得BC=3，（负值舍去）∴AC＋BC＝＋3（米），∴地毯的面积至少需要1×（＋3）＝＋3（平方米）；故答案为：＋3．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算，根据含30°的直角三角形求出BC是解决问题的关键．14．(本题5分)（2021·浙江诸暨·八年级期中）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是_____秒．【答案】18【解析】【分析】过点A作AC⊥ON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失．【详解】如图，过点A作AC⊥ON于N，∵∠MON＝30°，OA＝80米，∴AC＝40米，当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB＝50米，由勾股定理得：（米），第一台拖拉机到D点时噪音消失，所以CD＝30米，由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响．所以影响时间应是：90÷5＝18（秒）．答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒．故答案为：18．【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题(共90分)15．(本题8分)（2021·全国·八年级）如图，一个梯子长25米，顶端靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端与墙角距离为7米．（1）求梯子顶端与地面的距离的长；（2）若梯子的顶端下滑到，使，求梯子的下端滑动的距离的长．【答案】（1）24米；（2）梯子的下端滑动的距离的长为8米．【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理得出AC的长；（2）利用勾股定理得出CD的长进而得出答案．【详解】解：（1）在中，米，米，故米，（2）在中，米，米，故米，故米．答：梯子的下端滑动的距离的长为8米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．16．(本题8分)（2021·湖北·武汉市武珞路中学八年级期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺，1尺=米），这段话翻译城现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少米？请你用所学知识解答这个问题．【答案】4米【解析】【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：设水池里水的深度是x尺，由题意得，x2+52=（x+1）2，解得：x=12，米答：水池里水的深度是4米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键．17．(本题8分)（2022·浙江嘉兴·八年级期末）如图，在7×7的正方形网格中，A，B两点都在格点上，连结AB，请完成下列作图：(1)在图1中找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形（作一个即可）；(2)在图2中找一个格点D，使得△ABD是以AB为直角边的直角三角形（作一个即可）．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）直接利用等腰三角形的定义得出符合题意的答案；（2）直接利用直角三角形的性质得出符合题意的答案．(1)解：AB=，BC=5，如图所示：△ABC即为所求；(2)解：AB=，AD=，BD=，∵52+52=()2，∴AB2+AD2=BD2，∴△ABD是等腰直角三角形，且AB为直角边，如图所示：△ABD即为所求；,【点睛】本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握等腰直角三角形的性质是解题关键．18．(本题8分)（2021·重庆永川·八年级期末）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点的位置上．若，．（1）求、的度数；（2）求长方形纸片ABCD的面积S．【答案】（1）∠2=60，∠3=60；（2）【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得，由平行线的性质可得，即可求解；（2）由（1）可得，根据直角三角形的性质可得，勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：在长方形ABCD中，AD=BC，∠A=90，AD//BC∴∠1=∠2=60，由折叠可知，BE=DE∵=60（2）在△ABE中，∠A=90，∴∠ABE=30∴BE=2AE=4，∴AD=AE+DE=AE+BE=6，∵∴∴∴长方形ABCD的面积【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．19．(本题10分)（2021·山东莱州·七年级期中）如图所示，一桥洞的上边是半圆，下边是长方形．已知半圆的直径为2m，长方形的另一边是1m，有一辆厢式小货车，高1.5米，宽1.6米，这辆小货车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．【答案】能，理由见解析【解析】【分析】设半圆的圆心为O，于是得到OA=×1.6=0.8（米）．过点A作直径的垂线，交半圆于点B，交长方形另一边于点C，根据勾股定理即可得到答案．【详解】解：设半圆的圆心为O，（米）．过点A作直径的垂线，交半圆于点B，交长方形另一边于点C．在中，由勾股定理可得：，即．所以米．所以（米）．由于1.6米＞1.5米，所以小货车能通过此桥洞．【点睛】本题考查了勾股定理的应用：建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．20．(本题12分)（2022年广东省第十四届中学生数理化综合实践活动八年级数学应用知识展示试题（A卷））问题背景：在中，已知，，三边长为，，，求这个三角形的面积．小辉在答题时先建立一个正方形网格（每个小正方形边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．(1)若三边的长分别为，，（），请运用构图法求出的面积；(2)若三边的长分别为，，（，，且），试运用构图法求出的面积；(3)已知，都是正数，，求的最小值．【答案】(1)；(2)(3)【解析】【分析】（1）用三角形所在的长方形的面积减去四个直角三角形的面积即可；（2）先画出图形，然后再用三角形所在的长方形的面积减去四个直角三角形的面积即可；（3）由题意可得已知，，，，，当在一条直线上时，最小，过点A作AF∥BD，交ED延长线于点F，可得，，最后运用勾股定理解答即可．(1)解：构造所示，．(2)解：构造所示，．(3)解：如图，已知，，，，，当在一条直线上时，最小，过点A作AF∥BD，交ED延长线于点F，∴，，∴，∴AC+CE的最小值为，即的最小值为．【点睛】本题主要考查了勾股定理、求三角形的面积等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．21．(本题12分)（2022·山东广饶·九年级期末）如图，某货船以20海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经过16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里时的速度由A向北偏西60°的方向移动，距台风中心200海里的区域会受到影响．(1)B处是否受台风影响?说明理由；(2)若受台风影响，受影响的时间有多长?(3)为避免受到台风影响，该船应在多少小时内卸完货?（精确到个位，）【答案】(1)会受台风影响，理由见解析(2)受影响的时间为6小时(3)为避免受到台风影响，该船应约在4小时内卸完货【解析】【分析】（1）过点B作BD⊥AC交AC于点D，由题意求得∠BAC=30°，AB=320海里，根据含30°角的直角三角形的性质求得BD=160海里，进而作出判断即可；（2）设台风到达点E时货船开始受到影响，根据勾股定理分别求得AD、DE，再利用时间=路程÷速度求解即可；（3）根据题意，只需求出台风到达点E经过的时间即可．(1)解：如图，过点B作BD⊥AC交AC于点D，∵在Rt△ABD中，∠BAC＝90°﹣60°＝30°∴BD＝AB∵AB＝20×16＝320海里∴BD＝×320＝160海里．∵160＜200，∴会受台风影响；(2)解：设台风到达点E时货船开始受到影响，则BE＝200海里，在Rt△ADB中，AB＝320海里，BD＝160海里，则AD＝160海里，在Rt△BDE中，DE＝＝＝120海里，台风速度为40海里/小时，故受影响的时间为：＝6（小时）；(3)解：要使卸货不受台风影响，则必须在点B距台风中心第一次为200海里前卸完货，如图，BE＝200海里，DE＝120海里，则AE＝（160﹣120）海里，台风速度为40海里/小时，则时间t＝＝（4﹣3）≈4（小时），答：为避免受到台风影响，该船应约在4小时内卸完货．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意，找到受台风影响的分界点是解答的关键．22．(本题10分)（2021·四川·达州中学八年级期中）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点P1（，），P2（，）其两点间的距离P1P2=，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|−|或|−|．（1）已知A(1，4)、B(3，2)，试求A、B两点间的距离；（2）已知一个三角形各顶点坐标为D(1，4)、E(2，2)、F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗?说明理由：（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使得∆PDF是以DF为底的等腰三角形，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）是直角三角形；（3）．【解析】【分析】（1）根据题目中给出的两点间的距离P1P2=，代入求解即可；（2）根据两点间距离公式分别求出DE，DF，EF的长度，即可判断此三角形的形状；（3）设点P的坐标为(x，0)，根据两点间距离公式分别表示出PD和PF的长度，根据列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵两点间的距离P1P2=，A(1，4)、B(3，2)，∴；（2）∵三角形各顶点坐标为D(1，4)、E(2，2)、F(3，2)，∴，，，∵，，∴，∴是直角三角形；（3）设点P的坐标为(x，0)，∵∆PDF是以DF为底的等腰三角形，∴，∴，即，整理得：，解得：．∴点P的坐标为．【点睛】此题考查了两点间距离公式